- •Теория вероятностей и математическая статистика Основные понятия теории вероятностей Рекомендуемая литература
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Области применения теории вероятностей
- •1.3. Краткая историческая справка
- •1.4. Испытания и события. Виды событий
- •1.5. Алгебра событий
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Основные формулы комбинаторики
- •Лекция №2. Основные понятия и определения
- •2.1. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты
- •2.2. Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность
- •2.3. Геометрические вероятности
- •2.4. Теорема сложения вероятностей
- •2.5. Полная группа событий
- •2.6. Противоположные события
- •2.7. Принцип практической невозможности маловероятных событий
- •2.8. Произведение событий. Условная вероятность
- •2.9. Теорема умножения вероятностей
- •2.10. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий
- •2.10. Вероятность появления хотя бы одного события
- •Лекция №3 следствия теорем сложения и умножения
- •3.1. Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •3.2. Формула полной вероятности
- •3.3. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса
- •4. Повторение испытаний
- •4.1. Формула Бернулли
- •4.2. Предельные теоремы в схеме Бернулли
- •4.3. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа
- •4.3. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •5. Случайные величины
- •5.1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины
- •5.2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения
- •5.3. Биномиальное распределение
- •5.4. Распределение Пуассона
- •5.5. Геометрическое распределение
- •5.6. Гипергеометрическое распределение
- •6. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •6.1. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •6.2. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •6.3. Вероятностный смысл математического ожидания
- •6.4. Свойства математического ожидания
- •6.5. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях
- •7. Дисперсия дискретной случайной величины
- •7.1. Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины
- •7.2. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания
- •7.3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •7.4. Формула для вычисления дисперсии
- •7.5. Свойства дисперсии
- •7.6. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях
- •7.7. Среднее квадратическое отклонение
- •7.8. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин
- •7.9. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •7.10. Начальные и центральные теоретические моменты
- •8. Закон больших чисел
- •8.1. Предварительные замечания
- •8.2. Неравенство Чебышева
- •8.3. Теорема Чебышева
- •8.4. Сущность теоремы Чебышева
- •8.5. Значение теоремы Чебышева для практики
- •8.6. Теорема Бернулли
- •Функция распределения вероятностей случайной величины
- •9.1. Определение функции распределения
- •9.2. Свойства функции распределения
- •9.3. График функции распределения
- •10. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •10.1. Определение плотности распределения
- •10.2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •10.3. Закон равномерного распределения вероятностей
- •11. Нормальное распределение
- •11.1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •11.2. Нормальное распределение
- •11.3. Нормальная кривая
- •11.4. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой
- •11.5. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
- •11.6. Вычисление вероятности заданного отклонения
- •11.7. Правило трех сигм
- •11.8. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы
- •11.9. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс
- •11.10. Функция одного случайного аргумента и ее распределение
- •11.11. Математическое ожидание функции одного случайного аргумента
- •11.12. Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения
- •11.13. Распределение «хи квадрат»
- •11.14. Распределение Стьюдента
- •11.15. Распределение f Фишера – Снедекора
- •12. Показательное распределение
- •12.1. Определение показательного распределения
- •12.2. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины
- •§ 3. Числовые характеристики показательного распределения
- •12.4. Функция надежности
- •12.5. Показательный закон надежности
- •12.6. Характеристическое свойство показательного закона надежности
2.5. Полная группа событий
Теорема. Сумма вероятностей событий А1, А2, …, Аn, образующих полную группу, равна единице:
Р(А1) + Р(А2) + …+ Р(Аn) = 1 или . (2.5)
Доказательство. Так как появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события равна единице, то
Р(А1 + А2 +…+ Аn) = 1 (2.6)
Любые два события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения:
Р(А1 + А2 +…+ Аn) = Р(А1) + Р(А2) + …+ Р(Аn). (2.7)
Сравнивая (2.6) и (2.7), получим
Р(А1) + Р(А2) + …+ Р(Аn) = 1.
Пример. Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В – 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.
Решение. События «пакет получен из города А», «пакет получен из города В», «пакет получен из города С» образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:
0,7 + 0,2 + p = l.
Отсюда искомая вероятность р = 1 – 0,9 = 0,1.
2.6. Противоположные события
Определение. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать .
Например, попадание и промах при выстреле по цели – противоположные события. Если А – попадание, то – промах.
Пример. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» – противоположные.
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
.
Доказательство. Противоположные события образуют полную группу, а сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.
Следствие 1: Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.
Замечание 1. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают через q. Таким образом, в силу предыдущей теоремы p + q = 1.
Пример. Вероятность того, что день будет дождливым, р =0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным.
Решение. События «день дождливый» и «день ясный» – противоположные, поэтому искомая вероятность
q =1 – р = 1 – 0,7 = 0,3.
Замечание 2. При решении задач на отыскание вероятности события А часто выгодно сначала вычислить вероятность события , а затем найти искомую вероятность по формуле
.
Пример. В ящике имеется n деталей, из которых m стандартных. Найти вероятность того, что среди к наудачу извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная.
Решение. События «среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная» и «среди извлеченных деталей нет ни одной стандартной» – противоположные. Обозначим первое событие через А, второе – через . Очевидно,.
Найдем . Общее число способов, которыми можно извлечьk деталей из n деталей, равно . Число нестандартных деталей равноn – m; из этого числа деталей можно способами извлечьk нестандартных деталей. Поэтому вероятность того, что среди извлеченных k деталей нет ни одной стандартной, равна .
Искомая вероятность
.