Задание_к_контрольной
.pdfjTi 2 л 4 1 „ и n n=l n
3" |
f , |
nt |
h |
|
* |
|
* |
I t i W t f n +U
Задание i J. Найти область сходимости степенного рада.
Варианты
£ з"г»».+и |
Й |
V» |
п«1 |
' Лп |
п |
||||
4. у |
. 5. У t l |
^ L . |
6. f f 3« + IX* - l/v . |
|
? A ( 2 * + ! / |
' |
+ Ъ)щ |
9 у № х п |
|
3/1-2 ' |
|
|
"Si |
|
Задание 8,4. Разложить функцию /(х) в рад Фурье на заданном промежутке и исследовать его на сходимость.
|
|
|
|
|
Варианты |
|
|
|
1. /(х) = 4х-3. |
-5 < х <5. |
2. /(х)~ |х|, |
-2 |
^х<2 . |
||||
|
|
f-3, |
- 2 < х < 0; |
Глч- 1, - 2 <*< 0; |
||||
|
|
1, 0 < * < 2 . |
L -1, |
0< х < 2. |
||||
|
|
[-<?*, |
|
|
|
[ -1/2, |
~ 6 £ х £ 0; |
|
5. /у* j = < |
|
|
|
6. f ix) — < |
|
|
||
|
|
[ ех, |
|
0< х < я. |
I I |
|
0< д* < 6. |
|
„ |
= |
f - 2 - л, - 2 < дг < 0; |
, |
~ л <х< л. |
||||
7- f(x) |
[ 1-Х, |
л |
0<х<2. |
a f(x) = *2, |
||||
9 /(х)= |
|
|
|
|
|
|||
|
3-1x1, |
-5 <х< 5. |
10. /(X) ~ 2х- 3, «3 ^х<3 . |
|||||
56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Методические указания к решению задач но теме "Ряды*
Пример А/. Исследовать на сходимость числовой знакоположитель-
ныйряд |
п2 |
£ —. |
|
|
п~1 е |
Решение, Для исследования ряда Уип , ип г 0, на сходимость еле -
л-1
применить какой-либо ш достаточных признаков сходимости числовых знакоположительных рядов. Применим признакДаламбера.
• |
е |
, |
о «и |
|
If |
'П |
|
|
|
> |
|
• - = |
м |
— |
2 |
|
|
= /imj |
яЯ )/ |
Ит - |
= - < 1 . |
||
|
|
•Л-И^«Л |
е# |
iЛ-*«0 |
# |
# |
Отсюда, согласно признакуДаламбера, следует, что данный ряд сходится.
Пример 8.2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд f м / * 1
Решение. Данный ряд знакочередующийся.
Проверим выполнение условий теоремы Лейбница, согласно которой
|
0D |
|
|
|
|
|
знакочередующийся ряд ]Г (~ \)п |
1 ип |
сходится, если выполняются |
||||
|
n^i |
|
|
|
|
|
условия: I) и „ >и n+J, Vn eN; |
2) nlimu„ |
~ |
0. |
|
||
о |
1 |
, и |
- |
7 |
1 |
. |
В нашем случае и „ ~ |
|
|
||||
|
In(n f \) |
|
т( п ч 2) |
|
||
Выполнение первого |
условия следует из неравенства |
|||||
|
I |
|
I |
|
|
|
|
ln(n+ |
I) |
1п(п + 2) |
|
||
Так как htn и п -- hm |
! |
|
- 0. то выполнено и второе усло- |
|||
*••-->« |
/п(п+\) |
|
|
|
|
|
вие теоремы Лейбница и, следовательно, исходный знакочередующийся ряд сходится.
57
Чтобы выяснить, является ли эта сходимость абсолютной или условной, исследуем на сходимость соответствующий ряд с положи-
00 1
тельными членами У/-— . nZ\1п(п+1)
Гак как |
\п(п + 1)<п + I, |
то |
^ |
> — |
|
|
« |
I |
|
!п(п+1) |
л + 1 |
|
|
|
|
||
Но поскольку Т |
есть гармонический ряд и онрасходится, |
||||
|
|
*> |
I |
|
|
то по признаку сравнения ряд У |
— также расходится. |
||||
Таким образом, исходный ряд сходится условно.
Пример &.3. Найти область сходимости степенного ряда
£ |
(*+УП |
|
. |
и ? " |
|
|
«о |
|
Решение. Радиус сходимости степенного ряда Тап |
-(х-х0)п |
|
находим по формуле
R = l i m M в-»» k+ii'
где а„ ,ая+1 - коэффициенты п-го и (п+1)- го членов ряда соответственно.
Имеем «„ - V (п -Г), аяН = 1/ (п+ 1)Г+' ,
Л = |
lim |
(n+l)- |
2n+l |
n~2n |
= 2 lim (l+—)= 2. |
||
п-+<х> \an+Y J |
П-+О0 П |
||
Так как x0 - -2, x0-R |
~ -4, x0 + R-O, то данный ряд сходится при |
||
хв (-4, 0) ирасходится при х е (~щ -4') ls(0,
Исследуем сходимость ряда на концах интервала, т.е. в точках
х= -4, х = О.
При х ~ -4 получим ряд Т -—— = V 5—--, который сходится
условно, так как удовлетворяет условиям теоремы Лейбница:
lim 1/п = О и члены ряда монотонно убывают. Следовательно, точку
«"•СО
х = - 4 включаем в интервал сходимости ряда.
58
ГТ |
£ 2Л |
• |
i |
Прих - 0 получим ряд |
jT |
~ 21 |
который расходится, |
|
п=т-2п |
|
|
поскольку является гармоническим. Следовательно, точка х = О не входит в интервал сходимости ряда.
Таким образом, окончательно получаем, что исходный ряд сходится прих ef-4, 0) и расходится прих е (-aot ~ 4) и/О, +
Пример 8.4, Разложить вряд Фурье функцию fo, ~3 £ *<0;
[х, 0£х<Ъ и исследовать его на сходимость.
Решение. Продолжим определение функции /(х) на всю числовую ось "периодическим образом т.е. так, чтобы /(х) - f(x + б) для Vx € Я.
-9 |
Z |
. |
J |
- |
J |
- |
-6 |
-3 |
|
|
|
|
Так как /(х) кусочно-гладкая на отрезке [-3, 3], то она разлагается в ряд Фурье:
• '(*>=T |
+ U a k e o ( |
т*)+ь>*(Тя)1 |
где I - полупериод функции
Коэффициенты ряда определяются по формулам: j /
71 \f (*)<&'>
В рассматриваемом примере 1-3.
59