Так, при

j = 0

u

=

ui+1,0 +ui−1,0

. Таким образом, получаем

i,1

2

u

= 1

(u

+u

)= 1 (0,5878 +0)= 0,2939 ,

11

2

20

00

2

u = 1

)= 1

(u +u

(0,8090 +0,3090)= 0,5590 и т.д.

21

2

30

10

2

слое по формуле u

=

ui+1,1 +ui−1,1

. Подобным образом опре-

i,2

2

деляем последовательно значения

ui, j при t = 0,005; 0,010;

0,015; 0,020; 0,025 .

%

(x,t )= e

−π2t

sinπx

задачи и модуля разно-

точного решения u

сти

u −u

при t = 0,025 , что говорит о точности предложен-

%

ного метода.

Таблица 3.1

x

i

t

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0

0

0

0,3090

0,5878

0,8090

0,9511

1,0000

1

0,005

0

0,2939

0,5590

0,7699

0,9045

0,9511

2

0,010

0

0,3795

0,5316

0,7318

0,8602

0,9045

3

0,015

0

0,2658

0,5056

0,6959

0,8182

0,8602

4

0,020

0

0,2528

0,4808

0,6619

0,7780

0,8182

5

0,025

0

0,2404

0,4574

0,6294

0,7400

0,7780

0,025

u (x,t )

0

0,2414

0,4593

0,6321

0,7454

0,7813

%

%

0,025

0

0,0010

0,0019

0,0027

0,0031

0,0033

u −u

∂u

=

∂2u

,

удовлетворяющее

условиям

u (x,0)= 4x (l − x )=

∂t

∂ x2

= f (x) , u (0,t )= µ1 (t )= 0 , u (a,t )= u (1,t )= µ2 (t )= 0 .

Решение

Возьмем h =

0,1, τ = 0,01 и

h2

τ

=1.

Найдем значения u (x,t ) на слое t = 0,01 .

Прямой ход. Записываем в строке

ui,0 табл.

3.2 значения

функции

f (xi )

(i = 0,K,10), находим по формулам

a1, j+1

=

1

; b1, j+1 = µ1 (t j+1 )+ λu1, j , λ = h2

,

µ1 (t j+1 )= 0 ,

2

+

λ

τ

при j = 0

числа

a

= 1

, b

= u = 0,36 .

1,1

3

1,1

1,0

Запишем по формулам

ai, j+1

1

,

2 +λ −a

i

−1, j+1

bi, j+1 = ai−1, j+i bi−1, j+1 +λui, j, i =

,

2,n

при

j = 0

a

21

=

1

= 0,375; b

= a b

+ a

20

= 0,760;

3 − a11

21

11 11

1

a

=

= 0,381; b

= a

b

+u

=1,125 и т.д.

31

3 −a21

31

21 21

30

i

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ui,0

0

0,360

0,640

0,840

0,960

1,000

0,960

0,840

0,640

0,360

0

ai,1

0,333

0,375

0,381

0,382

0,382

0,382

0,382

0,382

0,382

bi,1

0,360

0,760

1,125

1,389

1,530

1,544

1,430

1,186

0,813

ui,1

0

0,310

0,572

0,764

0,882

0,921

0,882

0,764

0,571

0,310

0

Обратный

ход. Из краевых условий получаем u10,1 = 0,

un, j = µ2 (t j ).

Значения u i,1 (i = 9, 8,...,1) вычисляются по

формулам

u9,1 = (u10,1 + b9,1 )

a9,1 = 0,813 0,382 = 0,310,

u8,1 = (u9,1 +b8,1 )

a8,1 = (0,310 +1,186) 0,382 = 0,571,

сти ∂u

=

∂2u

c начальным условием u (х,0)= f (х) и гранич-

∂ x2

∂t

ными условиями u (x,t )= a,

u (1,t )= b.

Номер

f (x)

a

b

c

d

вари-

анта

1

x

(

)

0

0

x −1

2

1 + x2

1

2

3

x2 + x +1

1

3

4

1− x2

1

0

5

1,2

3,5

0,15

1

6

1,6

3,5

0,55

1

7

9,0

4,0

21,00

0,05

8

11,0

6,0

23,00

0,35

9

7,0

15,5

0,20

0,45

10

5,0

17,0

0,30

0,55