КР№3 НАША ПО МАТЕМАТИКЕ

П

(x 3z)dxdydz

;

T

T1

T2

T3

T4

,

(x

3z)dxdy

(x 3z)dxdy

0;

T3

T4

(x

3z)dxdy

xdxdy;

T1

G

(x

3z)dxdy

(x 6

x

2 y)dxdy;

T2

G

3

6 2 y

П

(6 x

2 y)dxdy

dy

(6 x

2 y)dx

G

0

0

3

2 y)2

(6 2 y)2

1

3

2 y)2 dy 18.

(6

dy

(6

2

2

0

0

O

6

x

1)

f (t)

0 при t 0 ;

2)

существуют

такие постоянные M 0 и S0 0 , что

f (t)

MeS0 t

для всех t;

53

ция F( p) комплексного переменного p

i

, определяемая

равенством F ( p)

e pt f (t)dt . Если f (t)

– оригинал, интеграл

0

в правой части последнего равенства сходится при Re p

S0 .

Тот факт, что F( p)

является изображением оригинала

f (t) , бу-

.

.

дем обозначать так:

F( p) L( f (t)) или F ( p) f (t), F ( p)

f (t) .

.

Таблица 3.1

Изображение основных элементарных функций

f (t) при t

0

L( f (t))

1

1

p

t n

n!

pn

1

e t

1

p

sin

t

p 2

2

cos t

p

p 2

2

sh

t

p 2

2

ch

t

p

p 2

2

t sin

t

2 p

( p2

2 )2

t cos

t

p2

2

( p2

2 )2

54

1. Теорема линейного изображения.

Для любых оригиналов

f (t) и g(t)

и любых чисел a, b

L(af (t) bg(t)) aL( f (t)) bL(g(t)) .

Пусть всюду в дальнейшем L( f (t))

F( p) .

2.

Теорема подобия (изменения масштаба). Для любого

постоянного C

0

L( f (Ct))

1

F

p

.

C

C

3.

Теорема смещения. Для любого числа

: L(e t f (t)) F( p

) .

4.

Теорема о дифференцировании оригинала. Если функции

f (t), f

(t), , f (n) (t)

являются оригиналами, то

L( f (t))

pF( p)

f (0);

L( f (t))

p2 F ( p)

pf (0)

f (0);

L( f (n) (t))

pn F ( p) pn

1 f (0)

pn

2 f

(0)

f (n 1) (0).

5.

Теорема о дифференцировании изображения.

L(t n f (t))

( 1)n F (n) ( p), n

1,2, .

6.

Теорема об интегрировании оригинала.

t

F ( p)

L f (s)ds

.

0

P

7.

Теорема об интегрировании изображения.

L

f (t)

F ( y)dy

(если интеграл сходится).

t

p

8.

Теорема запаздывания. L( f (t t0 ))

e

pt0 F ( p)

,

t0 0 .

9.

Теорема об изображении свертки двух функций.

t

L( f1 * f2 )

F1( p)F2 ( p) , где

f1 * f2

f1(s) f2 (t

s)ds

– свертка

0

функций f1(t) и f2 (t) , F1( p)

L( f1(t)), F2 ( p) L( f2 (t)) .

Пример 1. Найти изображения функции shat sin bt .

Решение. Известно, что

L(sin bt)

b

F( p);

sh at

1

(eat

e at ) . Тогда

p2

b2

2

55

shat sin bt

1

e

at

sin bt

1

e

at

sin bt . По теореме линейности

2

2

имеем L(sh at sin bt)

1

L(eat sin bt

1

L(e at sin bt) . В каждом из

2

2

1

F( p

a)

1

F( p a)

1

b

1

b

.Это и

2

2

2 ( p

a)2

b2

2 ( p

a)2

b2

есть искомое изображение.

Пример 2. Найти свертку функций t и e t и ее изображение.

t

t

t

Решение.

t * et

set

s ds

set e

s ds

et

se

s ds . Вычис-

0

0

0

ляя интеграл, имеем tet

et (1

te t

e t ) . По теореме об изобра-

жении свертки L(t * et )

L(t)L(et )

1

.

p2 ( p 1)

Пример 3. Найти L(te 2t

sin t) .

Решение. Найдем F( p)

L(sin t)

1

. По теореме о

p2

1

дифференцировании изображения

L(sin t

t)

F ( p)

1

2 p

G( p) . Наконец, по

p2

1

( p2

1)2

теореме смещения L(e 2tt sin t)

G( p

2)

2( p

2)

.

(( p2

1)2

1)2

функцией p :

F( p)

u( p) / v( p) , где u( p) и v( p)

– многочлены

от p соответственно степени m и n, причем m n . Если разложе-

ние

v( p)

на

простейшие

множители

имеет

вид

v( p) ( p p )k1

( p p )k2

( p

p )kr , k k

2

k

r

n ,

то,

1

2

r

1

Ajs

ных дробей вида

;

j 1, r; s

1, k j . Итак,

( p

p j )k j

s 1

r

k j

Ajs

F ( p)

(3.1)

j 1s 1 ( p p j )k j

s 1

Все коэффициенты могут быть найдены по формуле

Ajs

1

lim

d s

1

[( p

p j )

k

j F ( p)]

.

(3.2)

(s

dps

1

1)! p p j

ся: v( p) ( p

p1)(p

p2 ) ( p

pn );

( p j

pk

при j

k) ;

n

Aj

u( p j )

F ( p)

, где

Aj

.

(3.3)

j 1 p

p j

v ( p j )

После отыскания тем или иным способом разложения F( p)

на простейшие дроби оригинал

f (t) находится так:

а) в случае кратных корней знаменателя

r

k j

t k j

s

p

j

t

f (t)

Ajs

e

;

(3.4)

(k j

j

1 s

1

s) !

б) в случае простых корней знаменателя v( p)

f (t)

r

u( p

j

)

e

p j t

.

(3.5)

j

1 v ( p j )

Пример

1. Найти

оригинал

f (t) ,

если

известно, что

F ( p) L( f (t))

p

1

.

p( p

1)( p

2)( p 3)

Решение.

У изображения

F( p)

в данном случае все корни

u( p)

p 1;

v( p)

p( p 1)( p 2)( p

3)

p 4

6 p3

11 p 2

6 p; v ( p) 4 p3

18 p 2 22 p 6.

Корни

v( p) : p1

0;

p2

1;

p3

2;

p4

3;

u( p1 )

1

;

v ( p1 )

6

u( p2 )

1;

u( p3 )

3

;

u( p4 )

2

.

v ( p2 )

v ( p3 )

2

v ( p4 )

3

Отсюда

по

формуле

(3.5)

находим

f (t) :

f (t)

1

e

t

3

e

2t

2

e

3t

.

6

2

3

Пример

2.

Найти

оригинал

f (t)

по

его

изображению

F( p)

p

.