Раздел II. ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ ЦВМ

Тема 4. Системы счисления

Счислением называется совокупность приёмов наименования и записи чисел. Системы счисления делятся на две группы:

непозиционные;

позиционные.

Примером непозиционной системы является римская система счисления, в которой определённым числам соответствуют буквы латинского алфавита: 1 – I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M. Остальные числа строятся по следующим правилам:

1)несколько стоящих подряд одинаковых чисел означает их сумму (II – 2, XX -20);

2)пара чисел, в которой меньшее стоит слева от большего, означает их разность (IX – 9, XL - 40);

3)пара чисел, в которой меньшее стоит справа от большего, означает их сумму (VI – 6, CX - 110).

Пример:

MMCCCLXXXVI – 2386, CXIX – 119.

Данная система чрезвычайно неудобна для крупных расчётов, поэтому сейчас почти не используется.

Основными представителями позиционных систем являются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная.

Основанием позиционной системы называется количество цифр, используемое в ней. Остальные числа записываются в виде последовательности цифр. Целая и дробная части разделяются десятичным разделителем (точкой или запятой). Значение цифры в числе определяется её позицией, собственно поэтому эти системы и называются позиционными.

Вес единицы в каждой позиции числа является степенью основания системы.

Пример:

256,35 = 2 102 +5 101 +6 100 +3 10−1 +5 10−2 .

Однако, для десятичной системы нет необходимости каждый раз подобным образом раскладывать числа, так как любой человек со школы знает таблицы сложения и умножения для десятичной системы.

Вообще, десятичная система является наиболее распространённой из всех позиционных. Так сложилось исторически, поскольку древние люди всё считали на пальцах. Но десятичная система оказалась крайне неудобной для построения цифровой вычислительной техники, так как пришлось бы вводить десять различимых состояний физического элемента памяти, а это плохо с точки зрения помехозащищённости.

Гораздо более удобной оказалась двоичная система. В этом случае в ЭВМ играет роль не величина напряжения, а его наличие или отсутствие (а точнее говоря, высокий или низкий уровень).

Таблицы сложения и умножения для двоичной системы имеют вид:

Многоразрядные двоичные числа складываются и умножаются по тем же правилам, что и десятичные.

Пример:

При программировании часто используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Восьмеричная система использует восемь цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7.

В шестнадцатеричной системе кроме десяти известных арабских цифр используются шесть первых букв латинского алфавита: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

При записи чисел для различия между системами будем использовать нижний индекс.

Пример:

10102=1010, 118=910, F16=1510.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

1. Перевод целых чисел

Для перевода целого числа из системы с основанием p в систему с основанием q необходимо это число последовательно делить на q до тех пор, пока не станет меньше q. Результат будет состоять из остатков от деления, начиная с последнего снизу вверх.

Пример:

Перевести в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы число 5310.

11

5310=3516

Обратный перевод в принципе можно осуществлять по тому же правилу, однако мы не имеем опыта умножения и деления двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел, поэтому для перевода чисел из этих систем в десятичную воспользуемся следующей формулой:

q – основание системы, в которой записано число.

Пример:

а) Перевести из двоичной системы в десятичную:

10100011,112 =1 27 +0 26 +1 25 +0 24 +0 23 +0 22 +1 21 +1 20 +1 2−1 +1 2−2 = =128 +32 + 2 +1+0,5 +0,25 =163,75.

б) Перевести из восьмеричной системы в десятичную:

235,78 = 2 82 +3 81 +5 80 +7 8−1 =128 +24 +5 +0.875 =157,875

в) Перевести из шестнадцатеричной системы в десятичную:

18F,216 =1 162 +8 161 +15 160 +2 16−1 = 256 +128 +15 +0,125 = 399,125 .

Для того, чтобы избежать операций возведения в степень, можно воспользоваться формулой Горнера, которая позволяет вычислять значение полинома рекуррентным способом. В общем виде формула записывается так:

N (x) = a1 xn +a2 xn−1 +a3 xn−2 ... +an x + an+1 =.(..((a1 x +a2 )x +a3 )x +... + an )x + an+1

Аналогичным способом преобразуется и формула (4.1).

Пример:

Перевести из двоичной системы в десятичную число 10011102: 1001110 =.(((((1 2 +0)2 +0)2 +1)2 +1)2 +1)2 +0 = 78 .

12