Основной текст

У

Т

Н

Б

й

и

р

о

т

Рис. 1.4.

Таким образом, под ме

д м М нжа понимается параллельное ортого-

и

нальное проецирован е ф гуры на две взаимно перпендикулярные плоскости

проекций, одна

из

которых вер икальна, а вторая горизонтальна, с последую-

щим поворотом гор онтальной плоскости на 90° до совмещения с вертикаль-

ной.

о

Линия А1А2 , с единяющая на чертеже две проекции одной и той же точ-

п

А1А2 ХО.

ки, называется линией связи.

Так й чертеж является обратимым, т.к. повернув плоскость П1 в обрат-

ные

ном на равлении и произведя операции обратные проецированию восстановим

динств нное

оложение точки А.

Р

Н обходимо отметить, что сама точка-оригинал на чертеже отсутствует.

чертеж в системе трех проекций является трехкартинным.

У

На комплексном чертеже положение точки в пространстве определяется

при помощи отрезков прямых, графически показывающих расстояние от точки

до соответствующей плоскости проекций. Длины этих отрезков, измеренные

установленной единицей длины, называют координатами точки.

Н

Расстояние от точки до плоскости П1

А2Аx = А3Аy = Z - аппликата.

Расстояние от точки до плоскости П2

А1Аx = А3Аz = Y - ордината.

Б

Расстояние от точки до плоскости П3

А2Аz = А1Аy = X - абсциссаТ.

й

и

р

о

т

и

з

о

п

е

Р

Рис. 1.11

У

Рис.

1.12

Б

Т

Три координаты точки в совокупности составляют определительНточки,

условная запись которого А ( X,Y,Z ). Положение соответствующей проекции

точки определяют две координаты:

фронтальную проекцию на плоскости П2 определяют координаты X и Z -

А2

( X, Z);

р

горизонтальную проекцию на плоскостийП1 определяют координаты X и

Y –

А1 ( X, Y);

о

профильную проекцию на пл ск

стиП3 определяют координаты Y и Z –

димости элементов.

принадлежат

А3

(Y, Z).

Две точки, которые

дному проецирующему лучу, называют

рис

конкурирующими. На

. 1.13 э точки С и М, лежащие на одной горизон-

тально проецирующей прямой. Они могут использоваться для определения ви-

з

о

п

е

Р

сверху видимой является точка М.

У

Из двух фронтально-конкурирующих точек на фронтальной плоскости про-

екций будет видна та, которая будет расположена ближе к наблюдателю, стоя-

П2.

Н

Б

Лекция 2

2.

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ

КАК ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО

й

ПРОСТРАНСТВА

Проекции прямой. Прямые

и частногоиположения. Следы прямой.

Относительное положение двух п ямых. Плоскость. Способы задания плоскости.

2.1.

р

Пр екции прямой линии

бщего

Прямая линия в пространстве определяется двумя точками, а так как про-

екция прямой –

прямая, то на чертеже она может быть задана проекциями двух

ее точек ( рис. 2.1).

и

Очевидно,

пара проекций прямой a1 и a2 определяет в пространстве

единственную

з

рямую. Действительно, если a1=Σ ∩ П1 и a2=Γ ∩ П2 , то a=Σ ∩ Γ

( рис. 2.2.). что

Если точка

ринадлежит прямой, то ее горизонтальная проекция будет

принадлпжать горизонтальной проекции прямой, а фронтальная проекция –

фронтальной проекции прямой (рис.2.2.), т.е. А1 a1 , A2 a2 и A1A2 XO.

Еслижехотя бы одна проекция точки не совпадает с соответствующей проек-

цией прямой, то данная точка не принадлежит прямой.

На рис. 2.2. точка М не принадлежит отрезку АВ, т.к. ее фронтальная про-

Р

екция М2 не принадлежит фронтальной проекции отрезка А2В2.

У

Т

Рис.2.1.

Н

Рис. 2.2.

ции точки делят соответствующие проекции прямой. Согласно этому свойству

параллельного проецирования АС : СВ = А1С1 : С1В1, но и АС : СВ = А2С2 :

й

С2В2, тогда А1С1 : С1В1 = А2С2 : С2В2 ( рис 2.3). Следовательно, для того, чтобы

найти на чертеже проекцию точки, которая в пространствеБделит отрезок АВ в

и

отношении 1:3, достаточно разделить только одну проекцию.

р

о

т

и

з

о

п

Рис. 2.3.

прямые

В зависимости от положения прямой относительно плоскостей проекций

д лятся на прямые общего и частного положения.

Прямые общего положения наклонены ко всем плоскостям проекций, част-

ного – параллельны одной или двум плоскостям проекций.

Прямые, параллельные одной плоскости проекций, называются прямыми

Руровня, параллельные двум и, как следствие, перпендикулярные третьей плос-

кости проекций –

проецирующими.

Чертеж прямой частного положения отличается от чертежа прямой общего

положения. На рис. 2.4 показана прямая a, параллельная горизонтальной плос-

кости проекций –

горизонталь. Ее определяющим признаком является фрон-

У

Т

Н

Рис. 2.4.

Б

плоскости

На рис. 2.5. показана вторая часто встречающаяся линия частного поло-

жения – фронталь, которая параллельна

П2. Ее горизонтальная про-

екция параллельна оси ОХ.

р

й

о

Следовательно, если прямая f // П2,

то ее горизонтальная проекция f 1 // OX.

Таким образом, у прям й ур вня нап авление одной из проекций посто-

янно - параллельно оси

координат

.

и

з

о

п

е

Р

Таблица 1.1

Положение

Наглядное

Характерный

прямой в

Чертеж

признак на

изображение

пространстве

чертеже

h // П1

-

У

горизонталь-

А2В2 //ХО

ная

А1В1 //АВ

Т

прямая

| А1В1| = |АВ|

Н

f // П2 -

Б

А1В1

// ХО

фронтальная

А2В2 // АВ

прямая

| А2В2| = |АВ|

и

n П1 -

р

й

А2В2

ХО

горизонтально

о

А1 ≡ В1

проецирую-

| А2В2| = |АВ|

т

щая прямая

m П2

з

-

и

о

А1В1

ХО

фронтально

п

А2 ≡ В2

проецирую-

| А1В1| = АВ

щая рямая

е

А1В1 _- произ-

l - прямая

вольно

А2В2 - произ-

общего поло-

Ржения

вольно

три точки пересечения с плоскостями Π1, Π2

и Π3 соответственно.

У

Прямые частного положения имеют два ( прямые уровня ) или даже один

след ( проецирующие прямые ).

Т

Для того, чтобы найти точку пересечения прямой общего положения с

плоскостью П1 – горизонтальный след, необходимо:

Н

1. Продлить фронтальную проекцию прямой до пересечения с осью ОХ.

a2 ∩ ОX = M2

Б

2.

Провести перпендикуляр к оси ОХ до пересечения с горизонтальной про-

екций прямой

й

М2М ОХ; М2М∩a1 = М1

Проекции М1 и

М2 – определяют

положение

горизонтального следа, при

этом сам след совпадает со своей горизонтальной проекцией.

Для нахождения фронтального следа необход мо:

1. Продлить горизонтальную п

ю п ямой до пересечения с осью ОХ.

a1 ∩ XO = N1

оекц

т

2.

Провести перпендикуляр к рси ОХ до пересечения с фронтальной про-

екций прямой

и

N1N XO;

N1N

∩a2 = N2 .

з

N1

и N2

– проекц

фронтального следа, при этом сам след совпадает со сво-

о

ей фронтальной проекц ей.

п

е

Р