- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
- •1.3. Простые числа
- •1.5. Основная теорема арифметики
- •1.6. Сравнения
- •1.7. Кольцо классов вычетов
- •1.8. Малая теорема Ферма
- •2. ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
- •2.2. Подгруппы
- •2.4. Смежные классы по подгруппе
- •2.5. Теорема Лагранжа
- •2.8. Криптосистема RSA
- •2.9. Кольца. Подкольца и идеалы колец
- •2.10. Делимость в кольце многочленов
- •2.11. Основы теории полей
- •Литература
GLn (R) – множество квадратных невырожденных матриц порядка n >1 с |
|||||||
вещественными коэффициентами относительно операции матричного умноже- |
|||||||
ния является неабелевой группой. |
|
|
|
|
|
|
|
По количеству элементов группы делятся на конечные и бесконечные. |
|||||||
Определение 2.6. Порядком конечной группы называется количество |
|||||||
элементов этой группы. Если G – конечная группа, то |
|
G |
|
– ее порядок. |
|
||
|
|
|
|||||
Пример 2.6. Группа (Z / nZ, ) является конечной |
|
абелевой аддитивной |
|||||
группой из n элементов; в силу теоремы 1.7.1 множество (Z / nZ )* обратимых |
|||||||
относительно умножения классов вычетов по модулю n, где n – натуральное |
|||||||
число, большее единицы, образует группу порядка ϕ(n). |
|
|
|
У |
|||
2.2. Подгруппы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
||
|
|
|
|
|
|
||
Определение 2.7. Подгруппой в группе (G, ) называется всякое непустое |
|||||||
подмножество H элементов множества G, которое в свою очередь является |
|||||||
|
|
|
|
|
Н |
|
|
группой относительно той же операции. |
Б |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Тот факт, что H есть подгруппа группы G отмечают так: H ≤ G или |
|||||||
H < G , есть включение H G – строгое. |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.7. Аддитивные группы целых, рациональных, вещественных и |
комплексных чисел образуют систему подгрупп: (Z, +)<(Q, +)<(R, +)<(C, +).
Подмножество всех целых чисел, делящ хся на натуральное число n >1, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
образует подгруппу в группе целых ч сел с операц ей сложения. Эту подгруп- |
||||||||
пу обозначают через (nZ, +). Следовательно, |
|
место бесконечные цепочки |
||||||
|
|
|
|
|
|
имеют |
|
|
аддитивных подгрупп типа (Z, +)>(2Z, +)>(4Z, +)>…. |
||||||||
Теорема 2.1 (кри ерий п |
|
). Непустое подмножество H группы |
||||||
(G, ) является подгруппой |
|
дгруппы |
|
|
||||
гда и т лько тогда, когда для произвольных эле- |
||||||||
ментов a,b H имеет мес |
оовключение a b−1 H . |
|||||||
Пример 2.8. В с лу кр |
|
|
в любой группе G подмножество {e} из од- |
|||||
|
|
|
терия |
|
|
|
||
ного нейтрального элемента e этой группы является подгруппой. |
||||||||
Определение 2.8.иПодгруппа H группы G называется собственной, если |
||||||||
H ≠ G и H ≠ {e}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
||
Пример 2.9. С помощью критерия легко убедиться, что SLn (R) – под- |
||||||||
|
квадратных матриц порядка n с определителем, равным 1, образуют |
|||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
подгру у в GLn (R). Действительно, для произвольных матриц A, B SLn (R) |
||||||||
по свойствампопределителей det(B−1 )=1 и det(AB−1 )= det A det(B−1 )=1. Следо- |
||||||||
ват льно, A, B−1 SL |
|
(R) и согласно критерию 2.3.1 SL (R) является подгруп- |
||||||
множество |
|
n |
|
|
|
|
|
n |
пой в группе GLn (R). |
|
|
|
|
|
|
||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2.2. Пусть a – фиксированный элемент произвольной группы G. Пусть a ={a0 = e, a, a2 ,K, a−1, a−2 ,K} – множество всевозможных степеней элемента a. Тогда a – подгруппа группы G, причем абелева.
19
|
|
|
|
Доказательство |
|
следует |
из |
|
критерия подгруппы: |
для |
произвольных |
|||||||||||||||||||||||||||||
ak , a−e a |
произведение ak a−e |
= ak −e принадлежит, очевидно, |
множеству |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Определение 2.9. Подгруппа |
|
a из теоремы 2.2 называется циклической |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
подгруппой группы G, порожденной элементом a. Если в группе G найдется |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
такой элемент b, что G = b |
, то такую группу называют циклической. |
У |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пример 2.10. Следующие группы являются циклическими: (Z,+)= 1 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(Z / nZ,+)= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для не- |
|||||||
|
|
|
|
Теорема 2.3. Пусть элемент a G обладает свойством: |
an |
= e |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
которого целого n и ak ≠ e для всех целых k, 1 ≤ k < n . Тогда циклическая под- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
группа |
a |
имеет порядок n и |
a = {a, a2 ,K, an = e}. |
|
|
Т |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Доказательство. Для целых k, 1 ≤ k < n, (ak )−1 = an−k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Определение 2.10. Величина n из теоремы 2.3 называется порядком эле- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мента a G . Если же для элемента a |
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
G такого n не существует, то гово- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рят, что элемент имеет бесконечный порядок. |
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пример 2.11. Любое ненулевое целое ч сло |
меет бесконечный порядок |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в аддитивной группе целых чисел. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пример 2.12. Возьмем мат ицу A = |
0 |
|
GL (R). |
Здесь A2 = |
|
0 |
1 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A |
3 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
; …. Степени ма рицы A п парно различны и образуют бесконеч- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≠ 0 . |
A |
−1 |
|
|
||||||||||||
ную последовательность. Определи ель матрицы A равен 1 |
|
= |
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
−2 |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
A−2 = |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
, …. Так м образом, циклическая подгруппа, порожденная мат- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= группе |
|
3 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
рицей A в |
|
|
|
|
|
GL |
(R), является бесконечной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
нотеореме 2.3 подгруппа |
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
степени |
|||||||||||||||||||
есть конечная подгруппа порядка четыре. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пример 2.13. |
Матрица |
H |
GL |
2 |
(R) |
вида |
H |
= |
|
имеет |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 0 |
|
|
0 −1 |
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
−1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
H |
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
– единичная матрица. Соглас- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
; H |
|
|
1 |
01 |
; |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
= E |
||||||||||||||||||||
Р |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Теорема 2.4. Всякая циклическая группа – абелева. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 2.5. Всякая подгруппа циклической группы является цикличе- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ской. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, в любой группе много циклических подгрупп: каждый элемент порождает свою циклическую подгруппу. Тем не менее, следует заметить, что чаще группы циклическими не являются. Например, все некоммутативные
20
группы не могут быть циклическими. Циклическими не являются аддитивные и мультипликативные группы вещественных и комплексных чисел в силу их несчетности. Множество рациональных чисел счетно, то есть равномощно множеству целых чисел. Однако абелева группа (Q, +) в отличие от группы (Z, +) из примера 2.10 также не циклична, т.к. для каждого рационального числа
q = |
n |
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
2n |
|
|
|
3n |
|
|
|
|
||||
|
подгруппа |
q = 0;± |
|
;± |
|
|
;± |
|
|
;K |
не содержит рациональных |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
m |
|
m |
|
|
|
|
m |
|
|
|
У |
|
несократимых дробей |
, r Z, s N |
, у которых знаменатель |
Т |
||||||||||||||||||||||
s > m , следова- |
|||||||||||||||||||||||||
тельно, q ≠ (Q,+). |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Теорема 2.6. Для каждого простого числа p мультипликативная группа |
|||||||||||||||||||||
Z / pZ * содержит p – 1 элементов и является циклической. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
Проблема нерешенная [16]: конечно или бесконечно множество про- |
|||||||||||||||||||||
стых |
чисел p, для |
|
которых |
Z / pZ* = |
|
2 |
, |
т.е. мультипликативная группа |
|||||||||||||||||
Z / pZ * совпадает с циклической подгруппой, порожденнойНклассом вычетов |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Смежные классы по подгруппе |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Определение 2.11. Пусть H – собственная подгруппа группы (G, ). |
|||||||||||||||||||||
Пусть a G . Через aH обозначим множество элементов {ah | h H} |
и назо- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оронними |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вем его левым смежным классом г уппы G по подгруппе H. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Если |
существует |
|
b G, b H aH , |
можно построить |
новый |
левый |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
смежный класс bH и так далее. Аналргично строят правые смежные классы. Ес- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ли каждый левый смежный класс с впадает с правым: aH = Ha , то тогда смеж- |
|||||||||||||||||||||||||
ные классы называют двус |
|
|
|
|
. Такими являются смежные классы в лю- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
бой абелевой группе G. Смежные классы обладают рядом важных свойств, ко- |
|||||||||||||||||||||||||
торые отражает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Теорема 2.7. Пусть H – собственная подгруппа группы G. Тогда: |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1) каждый элемент g G принадлежит какому-нибудь левому смежно- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
п |
|
|
подгруппе H; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
му классу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2) два элемента a,b G |
принадлежат одному левому смежному классу |
||||||||||||||||||||
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b H ; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
тогда и только тогда, когда a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Р |
3) любые два левых смежных класса либо не пересекаются, либо совпа- |
||||||||||||||||||||||||
дают; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) для всякого a G мощности множеств aH и H совпадают; |
|
||||||||||||||||||||||||
5) G есть объединение попарно непересекающихся левых (правых) смеж- |
|||||||||||||||||||||||||
ных классов по подгруппе H. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пример 2.14. Пусть G = M1×4 (Z / 2Z ) – множество всевозможных строк- |
матриц с четырьмя координатами из Z / 2Z . Это группа по сложению. Обычно
ееобозначают через V4 . Легко проверить, что множество
21
|
|
|
0 0)(, 1 0 1 1),(0 |
|
1),(1 1 1 |
|
|
H = |
(0 |
0 |
1 0 |
0) |
образует подгруппу в |
||
|
14243 14243 14243 14243 |
|
|||||
|
|
0 |
e1 |
e2 |
e1 +e2 |
|
|
|
|
|
|
группе V4 . Очевидно, G = 24 =16, H = 4 . Согласно теореме 2.7 группа G пред-
ставляет собой объединение четырех смежных классов по подгруппе H. Эти классы представлены в таблице.
|
|
|
Смежные классы группы G по подгруппе H |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
№ |
Класс a + H |
|
|
|
|
a + |
0 |
|
|
|
a + |
e1 |
|
|
|
a + |
e2 |
|
|
a +( |
e1 |
+ |
e2 |
) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0101) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
+ H = H |
|
|
|
|
(0000) |
|
(1011) |
|
|
|
|
(1110) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1101) |
|
|
У |
|
||||||||||||||
|
2 |
|
(1000)+ H |
|
|
|
|
(1000) |
|
(0011) |
|
|
|
|
(0110) |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1001) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3 |
|
(0100)+ H |
|
|
|
|
(0100) |
|
(1111) |
|
|
|
|
(1010) |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|||||
|
4 |
|
(0010)+ H |
|
|
|
|
(0010) |
|
(1001) |
|
|
(0111) |
|
|
(1100) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Лемма 2.3. Пусть H – собственная подгруппа группы G. Мощности |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
множеств всех левых и соответственно правых смежных классов группы G по |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
подгруппе H равны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Доказательство. Построим соответствие между названнымиБ |
множествами |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
по правилу gH ↔ Hg . Очевидно, |
|
ввести |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
такое соответствие является взаимно одно- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
значным, что и доказывает лемму. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Доказанное утверждение позволяет |
|
следующее |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
Определение 2.12. Индексом подг уппы H в группе G называется мощ- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
ность множества всех смежных класс в г уппы G по данной подгруппе и обо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
значается через |
|
G : H |
|
. |
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Пример 2.15. Индекс п дгруппы (nZ, +) в группе (Z, +) равен n. Действи- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
тельно, в данном случае множес |
всех смежных классов есть множество |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
{nZ.1+nZ,2 +nZ,K, (n −1) |
|
|
во |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
+nZ}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Замечание. |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Табл цы смежных классов играют важную роль в теории и |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
практике помехоустойч вого кодирования. Простейший метод коррекции оши- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
бок базируется на снове таблиц смежных классов, аналогичных приведенной |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
выше. В с временныхзцифровых каналах связи принято информацию переда- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
вать в виде дв ичных блоков с определенной фиксированной длиной n, то есть |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n- |
|
|
|
|
|
|
с координатами из Z / 2Z . Они получаются разбиением ис- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ходной информации, уже преобразованной в двоичный текст, на блоки по k |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
двоичныхпсимволов, k < n . К каждому k-мерному блоку присоединяется специ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
альным образом |
n −k проверочных разрядов. |
В результате предназначенные |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
для передачи слова принадлежат некоторому k-мерному подпространству H |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
мерных |
|
|
|
всех n-мерных векторов. С точки зрения теории групп H – |
||||||||||||||||||||||||||||
|
пространства Vn |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
подгруппа аддитивной группы V . Ее называют группой кодовых слов. В про- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цессе передачи по каналу связи конкретного кодового слова h может наложиться «шум» – некоторый n-мерный двоичный вектор e Vn . Тогда принятое
по каналу связи слово-сообщение x = h +l является одним из элементов таблицы смежных классов группы Vn , образующая смежного класса и есть наложив-
22