Вопросы к экзамену по высшей математике

Вопросы к экзамену по высшей математике (ПСФ, 1-ый курс, осенний семестр)

1. Матрицы, операции над матрицами.

2. Определители, их свойства и вычисления. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки (столбцы).

3. Обратная матрица и ее существование. Способы нахождения обратной матрицы.

4. Ранг матрицы, способы его определения. Теорема о базисном миноре (без доказательства). Элементарные преобразования матриц.

5. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Теорема Кронекера-Капелли (без доказательства). Зависимость решений СЛАУ от ранга матриц. Однородные СЛАУ. Фундаментальная система решений.

6. Решение СЛАУ. Метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных). Матричный метод решения невырожденных СЛАУ. Формулы Крамера.

7. Линейные пространства (ЛП). Примеры ЛП. Пространства Rⁿ. Векторы. Геометрическая интерпретация векторов и линейных операций над ними.

8. Линейная зависимость и независимость вектора в ЛП. Пространства R², R³.Базис, размерность ЛП. Векторный базис на плоскости, в пространстве. Разложение вектора по базису. Системы координат на плоскости, в пространстве.

9. Евклидово пространства. Норма вектора. Ортонормированный базис. Скалярное произведение в Rⁿ , его свойства. Механический смысл скалярного произведения. Расстояние, угол между векторами.

10. Векторное произведение векторов, его свойства. Простейшие приложения в задачах механики, физики. Условия коллинеарности двух векторов.

11. Смешанное произведение и достаточное условие компланарности трех векторов.

12. Линейные операторы. Ядро, матрица, характеристическое уравнение линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы операторов.

13. Уравнение линии на плоскости. Прямая на плоскости. Взаимное расположение прямых.

14. Эллипс, эксцентриситет эллипса.

15. Гипербола, асимптоты, эксцентриситет гиперболы.

16. Парабола, фокальные свойство параболы.

17. Уравнение поверхности в пространстве. Взаимное расположение плоскостей.

18. Уравнение линии в пространстве. Уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости.

19. Метод параллельных сечений исследования формы поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, цилиндрические и конические поверхности.

20. Квадратичные формы. Критерий Сильвестора. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

21. Множества, операции над множествами. Числовые множества. Отношения, их классификация. Отношение эквивалентности.

22. Высказывания, предикаты, логические операции. Прямая, обратная теорема. Необходимое, достаточное условие.

23. Комплексные числа (КЧ), действия над ними. Формы представления КЧ.

24. Отображение, оператор, функции. Область определения, множества значений, способы задания, график функции. Основные характеристики функций.

25. Основные элементарные функции: линейная, квадратичная, степенная, дробно-линейная, показательная, логарифмическая. Их свойства и графики (обзор).

26. Основные элементарные функции: тригонометрические и гиперболические. Их свойства и графики (обзор).

27. Числовая последовательность (ЧП), предел ЧП, его вычисление. Основные приемы раскрытия неопределенностей.

28. Предел функции в точке, при Х ±∞. Определение предела по Коши и по Гейне. Односторонние пределы. Вычисление предела, раскрытие неопределенностей.

29. Бесконечно малые т бесконечно большие функции. Свойства, сравнение бесконечно малых функций. Символы о и О.

30. Первый и второй замечательные пределы.

31. Основные теоремы о пределах функций, последовательностей.

32. Непрерывность функции в точке на множестве. Классификация точек разрыва функции. Непрерывность основных элементарных функций. Равномерная непрерывность.

33. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование промежуточных, наибольшего, наименьшего значения, Теорема Больцано-Коши

34. Производная функции. Механический и геометрический смысл производной. Односторонние производные. Уравнение касательной и нормали. Таблица производных.

35. Дифференцируемость функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Дифференциал функции, его смысл.

36. Сложная функция, ее производная и дифференциал. Инвариантность формы дифференциала.

37. Правила дифференцирования функции.

38. Обратные, неявные функции. Их дифференцирование. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

39. Производные и дифференциалы высших порядков.

40. Теорема Роля.

41. Теорема Лагранжа, ее применение. Теоремы Коши, Ферма.

42. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

43. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, в форме Лангранжа. Представление по формуле Маклорена функций: е^х, .

44. Монотонные функции. Условия монотонности функции.

45. Экстремум функции. Необходимое условие существования экстремума.

46. Достаточные условия существования экстремума.

47. Исследование функций на выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты графика функций.

48. Общая схема исследования функции. Экстремумы. Наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке.

Мелешко А.Н.