Задача 4.
a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
и .
Построим графики данных кривых:
Найдём точки пересечения данных кривых:
Тогда по формуле
имеем:
Окончательно имеем:
b) Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной кривыми
и .
Построим графики данных кривых:
Для отыскания и воспользуемся формулами:
Найдём точки пересечения кривых: и , тогда ,
Имеем:
Откуда
Задача 5. Найти модуль и аргумент комплексного числа и изобразить на плоскости:
По общим формулам для определения модуля и аргумента комплексного числа находим, что
Тогда . Это означает, что
Изобразим на плоскости комплексное число
Задача 6. Найти область определения функции .
Решение. Логарифмическая функция определяется только при положительном значении аргумента, поэтому , или .
Значит, границей области будет линия , т.е. парабола.
Из неравенства получаем, что областью определения данной функции является заштрихованная часть плоскости без точек параболы.
Задача 7. Найти частные производные 1-го порядка функции .
Решение. Находим частную производную по x данной функции, считая y постоянной и используя формулу дифференцирования сложной функции одной переменной:
,
аналогично вычисляем производную по y.
.
Задача 8. Даны функция , точка А(-1;0), вектор .
Найти:
а. grad z в точке А;
b. производную функции f(x,y) в точке А в направлении ;
c. уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z=f(x,y) в точке
Решение.
а. По определению grad z=.
Вычислим частные производные и их значения в точке А.
; ; ; .
Следовательно: grad .
b. Справедлива формула (1) , где - угол, образованный вектором с осью OX.
Здесь ; .
Тогда, применяя формулу (1), получим:
.
c. Найдём значение функции в точке А(-1;0). . Тогда С(-1;0;1).
Уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке имеет вид
, (2)
а уравнение нормали –
. (3)
Подставим найденные значения частных производных в точке А(-1;0) в формулу (2), найдём уравнение касательной плоскости в точке С(-1;0;1): или , а уравнение нормали на основании формулы (3) запишется в виде: .
Задача 9. Найти экстремум функции .
Решение. Находим стационарные точки функции. Для этого вычисляем первые частные производные данной функции:
; .
Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений
,
из которой определяем стационарные точки данной функции:
, , ,.
Теперь воспользуемся достаточными условиями экстремума. Вычислим вторые частные производные:
, , ,
.
Имеем: для точки , т.е. экстремума нет, для точки , т.е. экстремума нет, для точки , т.е. экстремума нет, для точки , , т.е. имеем точку локального минимума функции, в которой .
Задача 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области , ограниченной линиями x=0, y=0, x+y-1=0.
Решение. Область задания функции представляет собой треугольник, ограниченный координатными осями и прямой x+y =1.
Выясним, существуют ли стационарные точки, лежащие внутри данной области , т.е. внутри треугольника ОАВ.
Имеем
х=-10, у=-3
Получили точку М(-10; 3). Она не принадлежит области , следовательно значение функции в ней не учитываем.
Исследуем значения функции на границе области . Поскольку граница состоит из трёх участков, описанных тремя разными уравнениями, то приходится исследовать функцию на каждом участке отдельно.
Исследуем функцию на участке ОА, где А(1;0). Уравнением связи является у=0. С учётом его функция представима в виде z=3х. Так как , то стационарных точек на отрезке ОА нет. Найдём значение функции z=3x в точке О и А соответственно , .
Исследуем функцию на участке ОВ, где В(0;1). Уравнением связи является у=0. С учётом его функция представима в виде . Тогда . Находим стационарную точку из уравнения ; получаем, что у=2. Стационарная точка не принадлежит области . Значение функции в точке В .
Исследуем функцию вдоль участка прямой х+у=1. Подставляя у=1-х в выражение для функции, получим: , тогда , -4х+2=0, , . Стационарная точка принадлежит области . Значение функции в ней .
Сравниваем значения , , , , заключаем, что 3,5 – наибольшее значение функции, достижимое в точке , а 0 – наименьшее значение, достигаемое в точке (0,0).
, .
Задача 11. Вычислить повторный интеграл
.
Решение. Чтобы вычислить повторный интеграл, нужно вычислить внутренний, а потом – внешний [1, с. 382], при этом при вычислении внутреннего интеграла переменная интегрирования внешнего интеграла (в данном случае переменная ) считается постоянной. Следовательно,
=
.
Задача 12. Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах:
а) ; б) .
Решение. Для решения следует изучить [1, с. 382-384].
а) Изобразим область интегрирования на чертеже (рис. 1): она ограничена линиями , , , .
Рис. 1
Эта область является правильной и в направлении оси , однако ее правая граница задается двумя линиями: отрезками прямых и , поэтому ее придется разбить на две части. Следовательно
.
б) Область интегрирования ограничена линиями , , , (рис. 2).
Рис. 2
Она является правильной и в направлении оси , но ее верхняя граница состоит из двух линий: дуги параболы и дуги окружности . Следовательно, ее придется разбить на две части, поэтому
.
Задача 13. а) Вычислить двойной интеграл , где область ограничена линиями , , , .
б) Вычислить двойной интеграл , где область ограничена линиями , , , (рис. 2).
Решение. Изобразим область интегрирования на чертеже. Она является правильной в направлении оси . Поэтому
.
б) область является правильной в направлении оси . Следовательно,
Задача 14. Вычислить криволинейный интеграл
по контуру треугольника , где , , .
Литература: [1, с.402-403].
Решение. Так как контур треугольника состоит из трех отрезков (сторон треугольника), то
,
при этом мы предполагаем, что контур обходится против часовой стрелки.
Рассмотрим отдельно каждый интеграл.
а) Уравнение , , тогда , , т.е. считаем, что – параметр. Следовательно
.
б) Уравнение , тогда , поэтому
.
в) Уравнение , , тогда , , поэтому
.
Отв.: .
Замечание. Этот интеграл равен площади плоской фигуры, ограниченной контуром . Легко видеть, что площадь треугольника равна 21 кв. ед.
Задача 15. Вычислить криволинейный интеграл
,
пробегая против часовой стрелки верхнюю дугу окружности .
Решение. Если точка пробегает верхнюю дугу окружности против часовой стрелки, то параметр изменяется от до : . Так как , , то
.
Отв.: .