7. Устойчивость.
Задача 7.1.
Стальной стержень сжимается продольной расчетной нагрузкой F. Расчетное сопротивление материала стержня R=200МПа, модуль продольной упругости Е=200ГПа.
Требуется:
подобрать размеры поперечного сечения стержня из условия устойчивости;
определить значение коэффициента запаса устойчивости.
F=210кН;
l=1,7 м;
µ=1. Рис.7.1. Схема стержня и его поперечное сечение.
Решение.
Размеры поперечного сечения определим исходя из условий устойчивости:
где - коэффициент снижения расчетного сопротивления материала при продольном изгибе.
В расчетной формуле имеются две неизвестные величины – коэффициент и искомая площадь А. Поэтому при подборе сечения необходимо использовать метод последовательных приближений.
Выразим геометрические характеристики через величину а.
Так как потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, определяем минимальный момент инерции:
тогда площадь поперечного сечения:
Приближение 1. В первом приближении коэффициент изгиба принимают тогда
Расчетная гибкость стержня:
По таблице (Приложение 5) определяем значение коэффициента соответствующего гибкости:
Путем линейной интерполяции получим:
Проверим выполнение условия устойчивости в первом приближении:
,
.
Перенапряжение составляет , что недопустимо. Необходимо уточнение размеров.
Приближение 2. За новое значение коэффициента принимаем среднее арифметическое первых двух:
тогда площадь сечения
радиус инерции
Определим гибкость стержня
Коэффициент рассчитываем для гибкости:
Проверим выполнение условий устойчивости:
Перенапряжение составляет: что недопустимо.
Приближение 3.
Определим коэффициент продольного изгиба:
Площадь поперечного сечения
радиус инерции
гибкость колонны
Определим значение коэффициента :
Расчетное сопротивление
Недонапряжение составляет , что допустимо.
Окончательно принимаем размеры сечения 44х66мм ()
Находим величину критической силы.
Так как , т.е.126,7>100, то используем формулу Эйлера для определения критической силы:
Определим коэффициенты запаса устойчивости:
Задача 7.2
Стальной стержень сжимается продольной расчетной нагрузкой F. Расчетное сопротивление материала стержня R=200МПа, модуль продольной упругости Е=200ГПа.
Требуется:
подобрать размеры поперечного сечения стержня из условия устойчивости;
определить значение коэффициента запаса устойчивости;
F=250 кН;
l=1,4 м;
µ=2. Рис.7.2 Схема стержня.
Решение.
Определим размеры поперечного сечения исходя из условия устойчивости:
.
Для расчета используем метод последовательных приближений.
Приближение 1.
В первом приближении примем коэффициент продольного изгиба , тогда
Площадь одного уголка составит:
Из сортамента прокатной стали (Приложение 3) выбираем уголок 100х100х6,5 с площадью Ауг=12,8см.
Определим радиусы инерции данного сечения относительно главных центральных осей х и у, которые являются осями симметрии сечения.
(находим в сортаменте, Приложение 3).
(находим в сортаменте, Приложение 3),
(находим в сортаменте),
Сравнивая и,определяем, что минимальным радиусом инерции является.
Определим гибкость колонны:
По таблице (Приложение 5) определяем значение коэффициента , соответствующего гибкости:
при
Путем линейной интерполяции получим:
Проверим выполнение условия устойчивости в первом приближении:
Перенапряжение составляет , что недопустимо.
Необходимо увеличить поперечное сечение.
. Приближение 2. За новое значение коэффициента принимаем среднее арифметическое первых двух.
; тогда площадь сечения
В сортаменте выбираем уголок 110х110х7
Определяем гибкость стержня:
Из таблицы для выберем значение:
Проверим выполнение условий устойчивости:
Недонапряжение составит: , что для прокатного профиля приемлемо.
Окончательно принимаем сечение в виде двух уголков 110х110х7.
Находим величину критической силы. Так как , т.е. 127,9>100, то используем формулу Эйлера для определения критической силы:
Тогда коэффициент запаса устойчивости будет равен: