Вопрос 1. Случайные величины, функции распределения, их свойства. Абсолютно непрерывные и дискретные распределения: биномиальное, пуассоновское, нормальное. Схема Бернулли и полиномиальная схема: основные формулы.

Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Случайная величина обычно обозначается прописной латинской буквой (), ее конкретные значения – строчными буквами ().

Случайной величиной называется функция , определенная на множестве элементарных событий,.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Величина называется дискретной, если она может принимать определенные, фиксированные значения.

Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга.

Пусть дискретная случайная величина может приниматьзначений:. Для полной характеристики этой случайной величины должны быть заданы еще и вероятности появления указанных значений.

Закон распределения случайной величины

Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.

Законом распределения случайной дискретной величины называется совокупность пар чисел (), где– возможные значения случайной величины, а– вероятности, с которыми она принимает эти значения, причем.

В простейших случаях закон распределения случайной величины удобно задавать таблицей:

Таблица

Заметим, что таблицу значений дискретной случайной величины , если это целесообразно, формально всегда можно пополнить конечным набором любых чисел, считая их значениямис вероятностями, равными нулю.

Случайные величины иназываютсянезависимыми, если возможные значения и закон распределения каждой из них один и тот же при любом выборе допустимых значений другой и не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина. В противном случае эти величины называются зависимыми. Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если возможные значения и законы распределения любой из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.

Функция распределения случайной величины и ее свойства

Как для дискретной величины, так и для непрерывной вводится понятие функции распределения.

Пусть – случайная величина, определенная на множестве элементарных событий,, а– произвольное действительное число. В общем случае функциядолжна быть такова, чтобы для любыхсобытие, состоящее в том, что случайная величинапопадает в интервал, принадлежала полю событий и, таким образом, для любого такого события была определена вероятность.

Тогда вероятность того, что примет значение, меньшее, чем, равна значению функции распределения вероятностей данной случайной величины, соответствующее значению аргумента, т.е. функция распределения вероятностей данной случайной величиныпредставляет собой вероятность события, где– задаваемые непрерывно изменяющиеся значения, т.е..

Рассмотрим функцию распределения случайной дискретной величины, принимающей значения.

• Если , то, так как в этом случае событиеявляется невозможным.

• Если , то событиенаступит тогда и только тогда, когда наступит событие, поэтому.

• Если , то событиеравно сумме событий,и.

• Аналогично, если , то.

Таким образом, функция распределения случайной дискретной величины равна , где, и суммирование производится по тем, для которых.

Если дискретные значения случайной величины расположены в порядке возрастания, то каждому значениюэтих величин ставится в соответствие сумма вероятностей всех предыдущих значений и вероятности.

Таблица

В точках функция распределения имеет скачки, равные вероятности того, что случайная величина примет соответствующее значение.

Свойства функции распределения

1. Функция распределения принимает значения из промежутка :.

2. Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала , равна разности:.

3. Функция распределения – неубывающая функция, т.е. при.

4. .

5. Если , то.

6. Если , то.