3. Тепловые свойства твердых тел
3.1. Нормальные колебания кристаллической решетки
При любых температурах, даже при абсолютном нуле, атомы твердых тел совершают тепловые колебания около положения равновесия. С колебаниями атомов кристаллической решетки связаны многие физические явления в твердых телах – теплоемкость, тепловое расширение, тепло и электропроводность. Вследствие их сильного взаимодействия между собой характер этих колебаний оказывается весьма сложным, поэтому для описания этого процесса, прибегают к приближенным методам и различного рода упрощениям.
Предположим, что вследствие действия мощных сил связи колебание, возникшее у одной частицы, немедленно передается соседним частицам и в кристалле возбуждается коллективное движение в форме упругой волны, охватывающей все частицы кристалла. Такое коллективное движение называется нормальным колебанием решетки. Число нормальных колебаний, которое может возникнуть в решетке, равно числу степеней свободы частиц кристалла, т. е. 3N (N – число частиц, образующих кристалл).
3.1.1. Колебания в одномерной решетке
Рассмотрим одномерную модель твердого тела – линейную цепочку атомов, отстоящих на расстоянии а друг от друга и способных колебаться в направлении, перпендикулярном длине цепочки (рис. 3.1, а).
Если
концы цепочки закреплены, то основное
колебание, отвечающее самой низкой
частоте
соответствует
возникновению стоячей волны с узлами
на концах (рис. 3.1, б; кривая 1). Следующему
колебанию отвечает стоячая волна с
узлами не только на концах, но и на
середине цепочки (кривая 2)
и т.д. (кривая 3).
Рис. 3.1. Одномерные колебания (а, б, в) и дисперсионная кривая (г) линейной цепочки атомов
Самая короткая длина волны, которая может образоваться в такой цепочке, равна (рис. 3.1, в):
(3.1)
Ей отвечает максимальная частота
(3.2)
где v – скорость распространения волн (звука) в цепочке.
Эта
частота является константой материала
и определяется межатомным расстоянием
и скоростью распространения нормальных
колебаний. Ели принять а
=
3,6- 10-10
м (постоянная решетки меди) и U
= 3550
м/с (скорость звука в меди), то
Это соответствует частоте колебаний
атомов в твердом теле.
Минимальная частота колебаний цепочки атомов равна
, (3.3)
где L – длина цепочки атомов.
Минимальная частота определяется размером кристалла и не является константой.
Волновой
вектор
,
по направлению совпадающий с направлением
волны, равен
,
или
.(3.4)
На
рис. 3.1, г показана зависимость частоты
нормальных колебаний, возникающих в
линейной цепочке однородных атомов, от
волнового вектора
(дисперсионная
кривая).
При возрастании q
от
0 до
частота нормальных колебаний увеличивается
и при q
= πа, т.
е. при λ
=
2а,
достигает
максимального значения, равного
.
Рассмотрим цепочку атомов двух типов: более тяжелых с массой М и более легких с массой m. В такой цепочке возможны нормальные колебания двух типов (рис. 3.2, б, в).
Колебания 3.2, б не отличаются от колебаний однородной цепочки: соседние атомы колеблются практически в одной фазе и при q = 0 ωак = 0. Такие колебания называются акустическими, так как они включают весь спектр звуковых колебаний цепочки. Они играют основную роль в определении тепловых свойств кристаллов – теплоемкости, теплопроводности, термического расширения и т. д.
В случае нормальных колебаний, показанных на рис. 3.2, в, соседние атомы колеблются в противоположных фазах. Эти колебания можно рассматривать как колебания друг относительно друга двух подрешеток из однородных атомов, вставленных одна в другую. Их называют оптическими колебаниями, так как они играют основную роль в процессах взаимодействия света с кристаллом, например при поглощении ИК - излучения ионными кристаллами.
Рис.3.2. Нормальные колебания (а,б,в) и дисперсионные кривые (г) цепочки разнородных атомов (1 – акустические, 2 – оптические колебания)
На рис. 3.2, г показаны дисперсионные кривые для акустических 1 и оптических 2 нормальных колебаний цепочки, состоящей из двух сортов атомов.
Длины волн нормальных колебаний, линейной цепочки атомов, равны
, (3.5)
где L — длина цепочки, N — число атомов в ней.
Число нормальных колебаний z с длиной волны, равной или большей λп, равно, очевидно, п:
