4. Задачи линейной алгебры (векторы и матрицы)

Ввод элементов матрицы также осуществляется в квадратных скобках, при этом все элементы строки отделяются друг от друга запятой или пробелом, а строки разделяются точкой с запятой. Обратиться кэлементу матрицыможно, указав после имени матрицы в круглых скобках через запятую номера строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент. Примеры задания матриц и обращения к их элементам показаны в листинге 8.

Листинг 8.

>>% Ввод матрицы по строкам

>> М=[1 2 3;4 5 6]

М=

1 2 3

4 5 6

>>% Обращение к элементу матрицы

>> М (2,2)

ans=

5

>>% Замена элемента матрицы

>> М (1,3)=pi;

>> М

M=

1.0000 2.0000 3.1416

4.0000 5.0000 6.0000

Кроме того, матрицы и векторы можно формировать, составляя из ранее заданных матриц и векторов.

Листинг 9.

>> v1=[1 2 3]

>> v2=[4 5 6]

>> v3=[7 8 9]

>>% Горизонтальная конкатенация векторов-строк, а результат вектор-строка

>> V=[v1 v2 v3]

>>% Вертикальная конкатенация векторов-строк, а результат матрица

>> V=[v1; v2; v3]

V=

1 2 3

4 5 6

7 8 9

>>%Горизонтальная конкатенация матриц

>>M=[V V V]

M=

1 2 3 1 2 3 1 2 3

4 5 6 4 5 6 4 5 6

7 8 9 7 8 9 7 8 9

>>%Вертикальная конкатенация матриц

>>M=[V;V]

M=

1 2 3

4 5 6

7 8 9

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Важную роль при работе с матрицей играет знак двоеточия <<:>>. Примеры в листинге

Листинг на применение двоеточия

>>A=[5 7 6 5; 7 10 8 7;6 8 10 9;5 7 9 10]

A= %Пусть задана матрица А

5 7 6 5

7 10 8 7

6 8 10 9

5 7 9 10

>> %Выделить из матрицы А второй столбец

>> А(:,2)

ans = 7

10

8

7

>> %Выделить из матрицы А третью строку

>> A(З,:)

ans =

6 8 10 9

>>%Выделить из матрицы А подматрицу М

>> М=А(3:4,2:3)

M=

8 10 .

7 9

>> %Вставить подматрицу М в правый верхний угол матрицы А

>> А(1:2,3:4)=М

A=

5 7 8 10

7 10 7 9

6 8 10 9

5 7 9 10

>> %Удалить из матрицы А второй столбец

>> А(:,2} = []

A=

5 8 10

7 7 9

6 10 9

5 9 10

>>%Удалить из матрицы А третью строку

>>А(3,:)=[]

A=

5 8 10

7 7 9

5 9 10

>> %Представить матрицу М в виде вектора-столбца

>> v=M(:)

V=

8

7

10

9

>> %Выделить из вектора v элементы со второго по четвертый

>> b=v(2:4)

b=

7

10

9

>> %Удалить из массива b второй элемент

>> b(2)=[]

b=

7

9

Перейдем к рассмотрению действий над векторами. Знак «+» используют в МАТLАВ для сложения векторов. Операция сложения определена только для век­торов одного типа, то есть суммировать можно либо векторы-столбцы, либо векторы-строки одинаковой длины. Аналогично с помощью знака «~» выпол­няется вычитание векторов. Знак апострофа « ' » применяют для транспонирова­ния вектора. Умножение вектора на число осуществляется с помощью знака <<*>>. Этот же знак применяют для умножения вектора на вектор. Эта операция опре­делена только для векторов одинакового размера, причем один из них должен быть вектором-столбцом, а второй вектором-строкой. Примеры описанных действий над векторами показаны в листинге 10.

Листинг 10.

>> х=[1 0 2 -1];

>> у=[2 -1 5 3];

>> %Сложение двух векторов одинаковой структуры

>> х+у

ans =

3 -1 7 2

>>%Элементарные действия над векторами

>> 2*у-х/3

ans =

3.6667 -2.0000 9.3333 6.3333

>>%В результате умножения вектора-строки на вектор-столбец

>>%получится число

>> х*у'

ans =

9

>>%В результате умножения вектора-столбца на вектор-строку

%получится матрица

>> x’*y

ans =

2 -1 5 3

0 0 0 0

4 -2 10 6

-2 1 -5 -3

Все перечисленные действия над векторами определены в математике и относятся к так называемым векторным вычислениям. Но МАТТАВ допускает _и поэлементное преобразование векторов. Существуют операции по работе с векто­ром не как с математическим объектом, а как с обычным одномерным масси­вом. Например, если к некоторому заданному вектору применить математичес­кую функцию, то результатом будет новый вектор того же размера и структуры, но элементы его будут преобразованы в соответствии с заданной функцией (листинг 11).

Листинг 11.

>> x [0.1 -2.2 3.14 0 -1];

>> sin (x)

ans =

0.0998 -0.8085 0.0016 0 -0.8415

>> ехр(х)

ans =

1.1052 0.1108 23.1039 1.0000 0.3679

Рассмотрим еще несколько операций поэлементного преобразования за­данного вектора. К каждому его элементу можно добавить (вычесть) число, ис­пользуя арифметическую операцию «+» («-»). Поэлементное умножение векторов выполняется при помощи оператора «.*». Результатом такого умножения является вектор, каждый элемент которого равен произведению соответству­ющих элементов заданных векторов. Поэлементное деление одного вектора на другой осуществляется при помощи конструкции «. /». В результате поучается вектор, каждый элемент которого - частное от деления соответствующего элемента первого вектора на соответствующий элемент второго. Совокупность знаков «.\» применяют для деления векторов в обратном направлении (поэлементное деление второго вектора на первый). Поэлементное возведение в степень выполняет оператор «.^», результатом является вектор, каждый элемент которого - соответствующий элемент заданного вектора, возведенный указанную степень. Примеры поэлементных операций над векторами приведены в листинге 12.

Листинг 12.

>> X = [1 -2 3 -1 -4];

>> у=х-2

У=

-1 -4 1 -3 -6

>> х.*у

ans =

-1 8 3 3 24

>> х.\у

ans =

-1.0000 2.0000 0.3333 3.0000 1.5000

>> х./у

ans =

-1.0000 0.5000 3.0000 0.3333 0.6667

» х./y

ans =

1 -8 27 -1 -64

Действиям над матрицами в MATLAB также уделено немало внимания. Нач- I нем с операций, которые применимы к матрицам с точки зрения классической математики. Одним из базовых действий над матрицами является сложение <<+>> (вычитание <<->>). Здесь важно помнить, что суммируемые (вычитаемые) матри­цы должны быть одной размерности. Результатом сложения является матрица. Умножать на число «*» можно любую матрицу, результатом также будет матри­ца, каждый элемент которой будет помножен на заданное число. Операция транспонирования «'» меняет в заданной матрице строки на столбцы и также применима к матрицам любой размерности. Примеры действий над матрица­ми можно увидеть в листинге 13.

Листинг 13.

>> А=[2 4;6 8]

А =

2 4

6 8

>>В=[1 3;5 7]

B=

1 3

5 7

>>%Действия над матрицами

>> (A+B)/3-2*(А-В)

ans =

-1.0000 0.3333

1.6667 3.0000

>> С=[1 2 3 4;5 6 7 8]

С =

1 2 3 4

5 6 7 8

>>%транспонирование матрицы

>> С’

ans =

1 5

2 6

3 7

4 8

При умножении матриц «*» важно помнить, что число столбцов первой пе­ремножаемой матрицы должно быть равно числу строк второй. Возведение мат­рицы в степень «^» эквивалентно ее умножению на себя указанное число раз. При этом целочисленный показатель степени может быть как положительным, так и отрицательным. В первом случае выполняется алгоритм умножения мат­рицы на себя указанное число раз, во втором умножается на себя матрица, об­ратная данной. Примеры умножения матриц и возведения в степень можно увидеть в листинге 14.

Листинг 14.

>> А=[1 2; -3 1; 5 -2]

А=

1 2

-3 1

5 -2

>> В=[0 1 -3;2 1-2]

В =

0 1 -3

2 1 -2

>> %Умножение матриц

>> С=А*В

С =

4 3 -7

2 -2 7

-4 3 -11

>>% Возведение в степень

>> C^2

ans=

50 -15 70

-24 31 -105

34 -51 170

>> % То же, что и C^2

>> C*C

ans =

50 -15 70

-24 31 -105

34 -51 170

>>D=[l 2 3 2;0 3 2 1;2 1 0 3;4 3 0 1];

>>%Матрица обратная к D

>> D^(-1)

ans =

0.2500 -0.3750 -0.1250 0.2500

-0.3125 0.4687 0.0312 0.0625

0.5000 -0.2500 -0.2500 0.0000

-0.0625 0.0938 0.4063 -0.1875

>>%Матрица обратная к D в квадрате

>> D^(-2)

ans =

0.1016 -0.2148 0.0898 -0.0078

-0.2129 0.3350 0.0713 -0.0605

0.0781 -0.2422 -0.0078 0.1094

0.1699 -0.0518 -0.1670 0.0254

>> % То же что и D^(-2)

>> D^(-1)*D^(-1)

ans =

0.1016 -0.2148 0.0898 -0.0078

-0.2129 0.3350 0.0713 -0.0605

0-0781 -0.2422 -0.0078 0.1094

0.1699 -0.0518 -0.1670 0.0254

Для поэлементного преобразования матриц (листинг 15) можно применять описанные ранее операции поэлементного преобразования векторов: добавле­ние (вычитание) числа к каждому элементу матрицы «+» («-»), поэлементное умно­жение матриц одинакового размера «.*», поэлементное деление матриц одинако­вого размера (прямое «. /» и обратное «.\»), поэлементное возведение в степень «.^» и применение к каждому элементу матрицы математических функций.

Листинг 15

>> А=[1 2;-3 1]

А =

1 2

-3 1

>>%поэлементное добавление числа

>> В=2+А

B=

3 4

-1 3

>>%Поэлементное умножение матриц

>> А.*В

ans=

-3 8

3 3

>>%Поэлементное прямое деление, то есть А на В

>> А./В

ans =

0.3333 0.5000

3.0000 0.3333

>>%Поэлементное обратное деление, то есть В на А

>> А.\В

ans =

3.0000 2.0000

0.3333 3.0000

>>%Поэлементное возведение в степень,

>>%элементы А в степени соответствующих элементов В

>> А.^В

ans =

1.0000 16.0000 -0.3333 1.0000

>>%Поэлементное возведение в степень, каждый элемент А в квадрате

>> А.^2

ans =

1 4

9 1

Довольно необычное, с точки зрения математики, применение нашлось для операторов «/» и «\». Символ «/» используется для операции, называемой деле­нием матриц слева направо. Соответственно, знак «\» применяется для деления матриц справа налево. Операция В/A эквивалентна выражению В*A^-1 ее удобно использовать для решения матричных уравнений вида Х*А= В. Соответственно, (А/В) => (A^-1 • В) и применяется для решения уравнения А*Х= В. Если предпо­ложить, что Х и В - векторы, то получим запись системы линейных алгебраи­ческих уравнений в матричной форме. А это значит, что оператор «\» с успе­хом можно применять для решения линейных систем (листинг 16).

Листинг 16.

>> А=[1 2;1 1];

>> B=[7;6];

>>%Решение линейной системы Ах=b

>> x=A\b

X=

5

1

>>%Проверка Ах-b=0, система решена верно

>>A*x-b

ans=

0

0

>>%---------------------------------------

>> А=[3 -1;6 -2];

>> b=[1;2];

>> %Решение линейной системы Ах=b, система не определена

>> х=А\Ь

Warning: Matrix is singular to working precision.

NaN

NaN

>>%-------------------------------------------------------

>> A=[l 1;1 1];

>> b=[l;3];

>> %Решение системы Ax=b,система несовместна

>> A\b

Warning: Matrix is singular to working precision,

ans =

-Inf

Inf

Для работы с матрицами и векторами в MATLAB существуют специальные функции, которые можно разделить на следующие группы: функции операций над векторами, функции определения матриц и операций над матрицами и функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгеб­ры. Рассмотрим наиболее часто используемые из них.