Термодинамика и теплопередача (Люкшин) 2002

Производная

df = f C2 −1 = f M2 −1 . dC C C2 C

Вышеизложенное на последних страницах с точки зрения математической безупречно, т.е. выполнено без каких-либо допущений или ограничений. Последнее же уравнение

представляется весьма интересным, т.к. из него следуют три положения.

1.При дозвуковой скорости (C < C ) число M < 1, правая часть отрицательна, т.е. и df / dC

<0. Дифференциалы df и dC имеют при этом разные знаки. Так, при dC > 0 для сечения df <

0.

Самый простой вывод: при увеличении скорости в пределах до скорости звука требуется уменьшение сечения потока.

2.Если скорость движения газа больше скорости звука, C > C , M > 1, M2 > 1 и производ-

ная dCdf >0, то увеличение скорости движения газа, dC > 0 должно сопровождаться одновре-

менно увеличением сечения потока, df > 0. Казалось бы, это парадокс. Тем не менее, ничего странного в этом нет - движущаяся газовая сплошная среда расширяется, увеличивает свой объем, что и обеспечивает получение сверхзвуковой скорости.

3. При C= C , когда M = 1, dCdf

области сечение уменьшается, в сверхзвуковой увеличивается, то при скорости, равной скорости звука, имеет место минимальное сечение потока.

1.11.3. Температура торможения для адиабатного потока газа

Кпониманию температуры торможения (т.е. при неподвижности газа) можно прийти, используя условие адиабатности процесса q = 0 и первый закон термодинамики для движущегося потока

Предположим, что C2 = 0. Разность энтальпий

i2 −i1 = CP(T2 −T1).

Тогда из уравнения

запишем конечную температуру как температуру торможения:

1.11.4 . Расчет скорости истечения газа из насадки или сопла

Геометрическая конструкция, предназначенная для получения в ней дозвуковой или сверхзвуковой скорости движения сплошной среды, газа, называется насадкой (или насадком) или соплом.

Далее эти понятия объясняются более подробно.

41

Расчет скорости истечения адиабатного потока подчиняется первому закону термодинамики

откуда конечная скорость

C2 = 2(i1 −i2 )+C12 .

Поскольку конечная скорость значительно больше начальной, следует считать, что

C2 = 2(i1 −i2 ).

Разность энтальпий в адиабатном процессе - это внешняя работа, формулы для которой приведены ранее для адиабатного процесса, т.е. l = i1 −i2.Тогда для скорости истечения

справедливы следующие соотношения:

1.11.5. Критические величины при истечении

Как показано выше, переход от скорости дозвуковой к скорости сверхзвуковой требует вначале уменьшения сечения потока, а затем увеличения сечения, т.е. скорость, равная звуковой, и будет получена на границе сечений, т.е. в минимальном сечении, рисунок 1.11.2.

Рис. 1.11.2 - Переход через звуковую скорость требует изменения потока сечения

42

Все величины, относящиеся к минимальному сечению потока, называются критическими - это удельный объем газа, его температура, само сечение и критическая скорость, которая в этом случае равна скорости звука, т.е. Скр = С . Определим эти критические величины

Р1 кр

43

k

вкр = k2+1 k −1 ,

которое может быть вычислено в зависимости от атомности газа.

Критический объем газа в этом сечении определяется из уравнения адиабаты. P1v1k = Pкрvкрk .

Если формулу для критической скорости, с учетом показателя «k», немного преобра-

зовать, то из

Cкр = C = 2 kk−1RT1 1−вкрkk−1 ,

при условии, повторим, зависимости показателя «k» только от атомности газа,

Cкр =С =ϕ RT1.

Для практических расчетов можно использовать все приведенные в таблице 1.1 данные.

Таблица 1.1 - Данные к расчету истечения идеального газа

1.11.6. Выбор формы насадки или сопла

Предыдущее рассмотрение вопроса показало, что сверхзвуковую скорость можно получить только при очень малом, в действительном смысле слова, давлении за насадкой или соплом. Поэтому пока, в заданном случае, отношение давлений

следует применять насадку с уменьшением сечения по ходу движения потока, рисунок

1.11.3.

Рис. 1.11.3 - Переход через звуковую скорость с уменьшением сечения невозможен. При возрастании разности давлений ∆р = р1 - р2 скорость будет увеличиваться, но никогда не превысит звуковой в этом сечении,

т.е. значения С2 = k R T2

44

Скорости сверхзвуковой можно достигнуть только при увеличении сечения газового потока, что уже доказано – производной dfdc > 0 .

Обратимся к рисунку 1.11.2 – такая геометрическая конструкция сопла называется соплом Лаваля (по имени французского инженера, предложившего эту конструкцию). Угол раскрытия правой части сопла Лаваля обычно невелик, α = 12 ÷ 14°, из условия создания безотрывного течения газового потока (т.е. без отрыва от стенок в сечениях от критического до сечения на выходе 2-2). Итак, чтобы увеличить скорость до звуковой, можно уменьшать сечение потока, но для получения сверхзвуковой скорости расширение потока (увеличение сечения) является просто необходимым условием.

В термодинамике доказаны и такие варианты, рисунок 1.11.4.

Рис. 1.11.4 - Общий случай перехода через звуковую скорость

Если в газовом потоке подводить тепло, то скорость движения этого газа будет увеличиваться, вплоть до температуры в конце нагрева Ткр, т.е., в принципе, можно получить

Cкр = k R Tкр ,

которая не является постоянной, а будет увеличиваться по мере подвода тепла и увеличения Ткр. Однако превысить эту скорость, Скр, можно лишь путем отвода тепла от потока, рисунок (а), (тепловое сопло). Аналогичны положения для расходного сопла, рисунок (б), когда нагнетанием газа извне можно достичь Скр. Сверхзвуковую же скорость можно получить, только отбирая часть газа в этом же потоке (расходное сопло).

Для всех приемов перехода через звуковую скорость можно считать правилом обращение воздействия на поток, что наиболее строго и просто можно показать на примере расчета

вытекает в атмосферу, т.е. Р2 = 1 бар. Расход воздуха 4 кг/с. Определить форму сопла, скорость при истечении и диаметры соответствующих сечений.

начальные параметры Р1 = 10 105 Па и Т1 = t + 273 = 573 К. Газовую постоянную для воздуха примем равной

R = Rмм = 831429 = 286 кгДжК .

Определим начальный удельный объем воздуха из уравнения состояния

Pv = RT:

45

ния 1-6. Цикл осуществляется за четыре хода поршня ДВС и поэтому двигатель такого рода называется - четырехтактным.

Процессы, составляющие цикл ДВС, рисунок 1.12.2, можно назвать термодинамически более точно:

6-1-изобарный процесс заполнения цилиндра ДВС воздухом; 1-2-адиабатное сжатие воздуха; 2-3-подвод тепла (горение топлива) при постоянном объеме; 3-4-подвод тепла при постоянном давлении;

4-5-адиабатный процесс получения работы; расширение продуктов сгорания, также получение работы;

5-1-изохорный процесс отвода тепла с выхлопными газами; 1-6-изобарный выброс из цилиндра ДВС продуктов сгорания.

Процессы 6-1 и 1-6, с энергетической точки зрения, равны по величине и противоположны по знаку. Нагляднее всего это показывает рабочая Pv - диаграмма. Поэтому для дальнейшего рассмотрения и анализа примем цикл 1-2-3-4-5-1. В этом цикле количество подведенного тепла

q1 = Cv(T3 −T2 )+Cp(T4 −T3 ),

а количество отведенного --

Как видно из последней формулы, для определения термического КПД цикла следует знать все температуры в узловых точках цикла, от первой T1 до последней T5.

Эту формулу можно преобразовать, используя для ДВС конструктивные характеристи-

ки:

1.Степень сжатия - это отношение объемов

е= v1 .

v2

2.Степень повышения давления

л= P3 . P2

3.Степень предварительного расширения

с= v 4 .

v3

Произведем далее замену отношений температур в формуле КПД через конструктивные характеристики.

49

Процесс 1-2. Адиабатный. dq = 0.

Процесс 2-3. Изохорный, v = idem

T3 = P3 = л, T2 P2

или, после преобразования,