Термодинамика и теплопередача (Люкшин) 2002

dS = Cv dTT + R dvv ,

в котором необходимо заменить температуру другими параметрами. Из уравнения состояния Pv = RT, если продифференцировать,

Pdv + vdP = RdT .

После деления левой части уравнения на Pv, правой на RT (что, по сути, одинаково, в соответствии с уравнением состояния) получаем, что

dvv + dPP = dTT .

Тогда, для элементарного процесса,

Учитывая, что Cv + R = Cp (из уравнения Майера), для конечного процесса

Приведенные здесь формулы (1), (2), (3) совершенно однозначны, т.е. для конкретного процесса изменение энтропии идеального газа, полученное расчетом, численно одинаково.

1.8.5. Тепловая диаграмма

Уравнения для расчета изменения энтропии позволяют построить основные линии в тепловой TS - диаграмме. Самое простое, что уже изложено для цикла Карно - это горизонтали, - линии температур и вертикали, - на этой же диаграмме - линии адиабатного процесса, т.е. процесса без подвода или отвода тепла, где dq = 0 (q = 0). Дополним, что линии удельного объема и линии давления представляют на тепловой диаграмме логарифмические кривые (см. уравнения), рисунок 1.8.6.

Рис. 1.8.6 - Логарифмические линии большего объема расположены вправо, большего давления - влево

Взаимное расположение линий, т.е. увеличение или уменьшение объема или давления, показать несложно.

В самом деле, при постоянной температуре Т1 из уравнения

22

следует, что увеличение энтропии, со знаком плюс, возможно только при увеличении объе-

линии большего объема расположены вправо. Расширение вещества (рабочего тела) сопровождается всегда снижением давления, т.е. Р2 < Р1. О взаимном расположении логарифмических кривых - линий давления и удельного объема можно судить по рисунку 1.8.7. Проводим касательные в точке пересечений идеального объема и давления.

Рис. 1.8.7 - Линии удельного объема располагаются круче линий давления

Используя дифференциальные связи

1.9. РАСЧЕТ ПРОЦЕССОВ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Процессом называется совокупность состояний, через которые проходит рабочее тело (вещество) при переходе из одного состояния в другое.

Процесс можно считать определенным однозначно, если для него заданы два параметра в начальном состоянии (третий и пр. определяются из уравнений термодинамики), характер процесса и один из конечных параметров.

Задачей расчета является определение всех параметров в начальной и конечной точках процесса (это, прежде всего, температура, давление, удельный объем), а также вычисление энергетических величин в этом процессе - тепла, работы расширения и внешней работы процесса. Если требуется, можно определить для заданного процесса изменение энтропии, энтальпии, внутренней энергии рабочего вещества и т.д.

Общая методика расчета любого процесса состоит в применении основных законов термодинамики - первого и второго, а также простейших формул, например, для тепла

dq = CdT ,

или

23

q = T∫2CdT ,

T1

где С - теплоемкость соответствующего процесса.

1.9.1. Изобарный процесс Изобарный процесс - это процесс рабочего вещества, происходящий при постоянном

(одинаковом в процессе) давлении.

Одинаковость какого-либо параметра обозначим далее таким образом: P = idem ( idem - одно и то же).

Изобарный процесс показан на рис. 1.9.1 и 1.9.2, в рабочей Рv и тепловой TS – диаграммах.

Рис. 1.9.1 - Работа получается только при расширении газа (1-2), затрачивается – при сжатии (1-2’)

Рис. 1.9.2 - В процессе расширения газа 1 - 2 тепло подводится, при сжатии, в процессе 1 - 2′ - отводится

Рассчитаем, в общем виде, процесс 1 - 2. Зададим начальные параметры P1,v1, конечный объем v2 и характер процесса - P = idem. Определим общие характеристики процесса.

В состоянии 1 из уравнения

P1v1 = RT1

определим абсолютную температуру

T1 = P1Rv1 .

24

или, что одно и то же,

q =CP(T2 −T1).

Работа расширения

v2

w = ∫Pdv =P v2 −v1 =R T2 −T1 . v1

В последнем уравнении при интервале температур ∆Т = Т2 - Т1 = 1 K работа и газовая постоянная одинаковы по величине, т.е. газовая постоянная R равна работе расширения одного килограмма идеального газа при изменении его температуры на один градус.

1.9.2. Изохорный процесс

Изохорный процесс происходит при постоянном объеме v = idem , как это показано на рисунках 1.9.2.1 и 1.9.2.2, Pv- и TS – диаграммах.

Рис. 1.9.2.1 - При постоянном объеме давление может повышаться или снижаться только за счет подвода 1 - 2 или отвода 2 - 1 тепла

25

Вообще говоря, это редкий случай, когда площади в рабочей pv - диаграмме, рисунок 1.9.3.3, заштрихованные горизонтально (внешняя работа l) и вертикально (работа расширения w) равны количеству подводимого или отводимого в изотермическом процессе тепла,

т.е. q = w = ℓ.

Рис. 1.9.3.3 - Тепло, внешняя работа и работа расширения вещества

визотермическом процессе одинаковы по величине

1.9.4.Адиабатный процесс

Адиабатным считается процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой, т.е. в этом случае dq = 0 или q = 0 (последнее – для конечного процесса).

Практически адиабатным процессом можно считать процесс, протекающий достаточно быстро, за доли секунды, как это имеет место, например, при расширении продуктов сгорания в карбюраторных или дизельных двигателях.

Из второго закона термодинамики,

dq = TdS ,

следует, что при dq = 0 и dS = 0, или S = const. Поэтому адиабатный процесс называется изоэнтропийным. Проще всего, используя это замечание, показать адиабатный процесс в TS - диаграмме, рисунок 1.9.4.1.

28

Рис. 1.9.4.1 - Адиабатный процесс может происходить при расширении 1-2 или сжатии 1-2′. Основное условие при этом - постоянное значение энтропии

Из первого закона термодинамики, при условии, что тепло q = 0, получим: q = Дu + w = −Дu = −Cv(T2 −T1),

q=Дi+l=−Дi=−CP (T2 −T1).

Очевидно, для расчета процесса следует определить параметры в начальном и конечном состояниях. Это, прежде всего, температура, давление и удельный объем. Получим формулы взаимосвязи указанных параметров.

Первый закон термодинамики для элементарного процесса запишем так: dq = du +dw = du +Pdv = CvdT +Pdv .

29

Обычно последнее равенство записывается в виде P1v1k = P2vk2 и называется уравне-

нием адиабатного процесса (иногда - уравнением Пуассона).

Полезно установить взаимосвязи между параметрами состояния P, v, T.

При умножении обеих частей последнего уравнения на v1 v2 имеем следующее:

или

Можно считать, для каждого из состояний в адиабатном процессе,

Tvk −1 = idem .

Наконец, преобразуя уравнение адиабаты в виде

т.е. отношение давлений равно отношению однозначных температур (с учетом полученной степенной зависимости).

Определим работу расширения в адиабатном процессе. Используем записанные ранее соотношения и уравнение состояния идеального газа.

30