Статистика

лежащей на кумулятивной кривой и имеющей ординату p .

Оценкой моды унимодального (одновершинного) распределения является элемент выборки, с наибольшей частотой.

Для группированной выборки, в том случае, когда интервал от минимального до максимального значения разбивается на

наблюдений;

nd −количество элементов выборки, попавших в этот подынтервал; nd −1, nd +1 − количество элементов выборки в соседних подынтервалах.

ˆ

Оценкой медианы hX называется число, которое делит вариационный ряд на две части, содержащие равное количество наблюдений.

Если количество элементов нечетное, то есть n = 2k +1 , то

ˆX = k+1 . h x

Если количество элементов четное, то есть n = 2k , то

13

где Γ(...)− гамма-функция,

+∞

Γ(z)= ∫t z−1e−t dt .

0

Основные числовые характеристики:

Mχ2 (k)= k , Dχ2 (k)= 2k .

Для данного распределения справедливо

χ2 (k1 )+ χ2 (k2 )= χ2 (k1 + k2 ),

χ2 (k)~ U (k,2k)

Основные числовые характеристики:

Mt(k)= 0 , Dt(k)= k −k 2 .

Квантили tp = −t1−p .

Для данного распределения при числе степеней свободы k > 30 справедливо

t(k)~ U (0,1)

4. Распределение Фишера

15

Между этими распределениями существует следующая связь:

χ2 (1)=U 2 ,

t2 (k)= F(1, k), F(k,∞)= χ2k(k) .

2.6 Основные статистики и их распределения

Рассмотрим теперь, какие статистики имеют какие распределения. Пусть x1, x2 ,..., xn выборка, полученная при наблюдении за случайной величиной X , имеющей нормальное распределение с

параметрами mX и σ 2 .

16

17

(вычитается мат ожидание) нормированную (делится на СКО)

распределение, следовательно, имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы k = n −1.

Y= xS− mnX = t(n −1) .

5.Пусть имеется две независимые выборки объема n1 и n2 соответственно из нормальных генеральных совокупностей с дисперсиями σ12 и σ22 . Найденные по этим выборкам выборочные

18

2.7 Метод максимального правдоподобия

Метод максимального правдоподобия, предложенный Фишером, является одним из наиболее распространенных методов нахождения оценок неизвестных параметров.

При построении оценок по этому методу, в качестве оценок параметров θ1,θ2 ,...,θk принимают значения θˆ1,θˆ2 ,...,θˆk , доставляющие максимум функции правдоподобия.

Пусть имеется выборка x1, x2 ,..., xn . Закон распределения выборки при конкретных значениях переменных является функцией неизвестных параметров θ1,θ2 ,...,θk .

Функцией правдоподобия дискретной случайной величины X в

случае независимых наблюдений называют функцию аргументов

θ1,θ2 ,...,θk

L(x1, x2 ,..., xn ;θ1,θ2 ,...,θk )= P{X1 = x1, X 2 = x2 ,..., X n = xn }= = P{X1 = x1} P{X 2 = x2} ... P{X n = xn }.

Функцией правдоподобия непрерывной случайной величины X в

случае независимых наблюдений называют функцию аргументов

θ1,θ2 ,...,θk

L(x1, x2 ,..., xn ;θ1,θ2 ,...,θk )=

= f (x1;θ1,θ2 ,...,θk )f (x2 ;θ1,θ2 ,...,θk )... f (xn ;θ1,θ2 ,...,θk ).

Иногда для удобства рассматривают не саму функцию правдоподобия, а ее логарифм, то есть ln L(x1, x2 ,..., xn ;θ1,θ2 ,...,θk ).

Для нахождения МП-оценок необходимо найти те значения параметров θ1,θ2 ,...,θk , которые дают максимум функции правдоподобия.

19

Для этого находят частные производные функции правдоподобия по каждому параметру и приравнивают их к нулю

∂L = 0, i =1, k .

∂θi

Тем самым находят критические точки θ1* ,θ2* ,...,θk* . Далее, находят вторые производные. Если значение второй производной в критической точке отрицательное, то точка θ* = (θ1* ,θ2* ,...,θk* )−точка

максимума. И МП-оценки θˆ =θ* .

Оценки, получаемые по ММП, имеют асимптотически нормальное распределение и для некоторых распределений генеральной совокупности имеют минимальную дисперсию.

Пример. Построить МП-оценку параметра λ распределения Пуассона. Пусть имеется выборка x1, x2 ,..., xn наблюдений за случайной величиной X , имеющей распределения Пуассона с параметром λ . Функция правдоподобия является функцией параметра λ и имеет вид

L(x1, x2 ,..., xn ;λ)= P{X1 = x1} P{X 2 = x2 } ... P{X n = xn }=

Отбрасывая не зависящую от параметра λ константу, получаем:

L(λ)= λ∑xi e−λn .

Логарифмируем

ln L(λ)= ∑xi ln λ −λn .

Найдем производную и приравняем ее к нулю

20

Видно, что при этом значении λ вторая производная отрицательная

функции правдоподобия.

Как видно из полученного соотношения, оценка параметра распределения Пуассона совпадает с выборочным средним. Это логично, так как для данного распределения MX = λ .

2.8Интервальные оценки

Вотличие от точечных оценок, выражающихся одним числом, интервальные оценки определяются двумя числами, границами интервала, между которыми с заданной достоверностью лежит истинное значение параметра.

Доверительным интервалом для параметра θ называется

интервал (θ1;θ2 ), содержащий истинное значение параметра с заданной вероятностью p =1−α , то есть

P(θ1 <θ <θ2 )=1−α .

Здесь

21

p =1−α называется доверительной вероятностью (надежностью) оценки; α − уровень значимости.

Чаще задают надежность, равную 0.95, 0.99 и т.д., то есть при уровне значимости 0.05, 0.01 и т.д.

Алгоритм построения доверительного интервала.

Пусть наблюдается некоторая случайная величина X с функцией распределения FX (x). Необходимо по наблюдениям x1, x2 ,..., xn за случайной величиной построить доверительный интервал для неизвестного параметра θ .

Сначала строится точечная оценка данного параметра θˆ . Далее выбирается статистика, зависящая только от оцениваемого параметра

θи его точечной оценки θˆ . Пусть это статистика Y (θ,θˆ),

Пример. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.

22