- •Российская Федерация
- •§ 2. Аксиомы натуральных чисел (аксиомы Пеано) и простейшие следствия из них
- •§ 3. Принцип полной математической индукции
- •§ 4. Сложение натуральных чисел
- •§ 5 Законы сложения
- •§ 6. Определение умножения
- •§ 7. Законы умножения
- •§ 8. Дальнейшие свойства неравенств натуральных чисел
- •§ 9. Различные виды доказательств по индукции Усиленный принцип полной математической индукции
- •Обобщенный принцип полной математической индукции
- •Обобщенный усиленный принцип полной математической индукции
- •§ 10. Вычитание и деление натуральных чисел
- •§ 11. Обобщение действий сложения и умножения
- •§ 12. Принципы расширения при построении числовых систем. Разбиение множества nn на классы эквивалентности. Множества целых чисел
- •§ 13.Сложение целых чисел и его свойства.
- •§ 14. Умножение целых чисел и его свойства
- •§15. Разбиение множества zn на классы эквивалентности. Множества рациональных чисел
- •§16. Сложение рациональных чисел и его свойства
- •§17. Умножение рациональных чисел и его свойства
- •§18. Сравнение рациональных чисел и его свойства. Представление рационального числа в виде отношения целого числа к натуральному.
- •§19..Дальнейшие свойства рациональных чисел.
- •§20.. Фундаментальные последовательности рациональных чисел.
- •§21. Отношение эквивалентности на множестве фундаментальных последовательностей рациональных чисел.
- •§4. Определение действительного числа.
- •§22.. Упорядоченность множества действительных чисел.
- •§23. Действительное число как предел последовательности рациональных чисел.
- •§24.. Действительное число как бесконечная десятичная дробь.
- •§25.. Полнота пространства действительных чисел.
- •§26.. Заключительные замечания.
- •§27. Множество комплексных чисел
- •§ 28. Кватернионы
- •§ 29. Векторные пространства и алгебры
§ 29. Векторные пространства и алгебры
Пусть дана коммутативная группа A по сложению (11,1) с элементами и, v,…, в которой, кроме сложения элементов, определено еще также умножение их на действительные числа а, b,... так, что произведение аи принадлежит группе A, где а — любое действительное число, а и — любой элемент из А.
Определение 1. Элемент и группы A называется линейной комбинацией элементов относительно поля действительных чиселD, если в D имеются такие числа , что выполняется равенство
Например, каждый кватернион является линейной комбинацией четырех элементов 1, i, j, k, так как Роль группыA здесь выполняет множество всех кватернионов.
Определение 2. Система элементов группы A называется линейно зависимой над полем действительных чисел D, если какой - либо элемент этой системы является линейной комбинацией остальных её элементов. В противном случае система называется линейно независимой. В частности, если зависимая система состоит только из двух элементов u и v, т. е. , то элемент и называется пропорциональным элементу v.
Теорема 3. Для того чтобы система элементов группы A была линейно зависимой над полем D, необходимо и достаточно, чтобы существовали действительные, не все равные нулю, числа такие, чтобы выполнялось равенство
Доказательство. Пусть система элементов линейно зависима, т. е.
Тогда
где .
Обратно, пусть где. Тогда
т. е. элемент является линейной комбинацией остальных элементов.
Эту доказанную теорему можно принять в качестве определения линейной зависимости элементов группы A относительно поля D.
Следствие 4. Для того чтобы система элементов группы A была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы равенство
выполнялось только при условии .
Например, равенство выполняется только при условииследовательно, система 1,i, j, k линейно независима над полем действительных чисел D.
Определение 5. Линейно независимая система элементов группы A
называется базисом этой группы, если любой элемент из A является линейной комбинацией элементов данной системы. Говорят также, что любой элемент из A линейно выражается через базис данной группы.
Например, система 1, i, j, k является базисом группы кватернионов Q.
Определение 6. Коммутативная группа по сложению A называется n - мерным векторным пространством над полем действительных чисел D, если в A определено умножение элементов на действительные числа, обладающее следующими свойствами:
Произведение аи всегда принадлежит А.
.
.
.
В группе A имеется базис, состоящий из n элементов
Всякий элемент n - мерного векторного пространства A называется n - мерным вектором, а число элементов базиса n называется размерностью данного пространства.
Следствие 7. Из условий 2 и 4 определения 30,6 следует:
В частности, при b = 1 и при b = 0 получаем:
Следствие 8. Из условия 3 определения 30,6 и свойств элементов группы A следует:
т. е. сложение элементов n - мерного векторного пространства сводится к сложению соответственных компонентов (действительных чисел).
Следствие 9. Каждый элемент векторного пространства A линейно выражается через базис единственным образом (однозначно).
Доказательство. Из следует
Последнее равенство ввиду линейной независимости базиса возможно тогда, и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, т. е.
Теорема 10. n - мерное векторное пространство A над полем D с точностью до изоморфизма однозначно определяется заданием размерности, т. е. все n - мерные векторные пространства над полем действительных чисел изоморфны друг другу.
Доказательство. Если и базисы двухn - мерных векторных пространств A и B, то изоморфным соответствием будет
так как это соответствие взаимно однозначное и оно не будет нарушаться при сложении и умножении векторов на действительные числа.
На основании теоремы 30,10 мы можем понимать под n - мерным вектором просто упорядоченную систему n действительных чисел Сумма двух векторов тогда будет определяться как вектор а произведение — как вектор
Свойства 1 — 4 определения 30,6 в определенном таким образом множестве векторов будут автоматически выполняться. Далее, в качестве базисных элементов -мерного векторного пространства проще всего можно выбрать векторы, называемые единичными векторами:
. . . . . . . . . . . . . . .
Система единичных векторов линейно независима, так как равенство
будет выполняться тогда, и только тогда, когда . В этом же множестве выполняется и свойство 5 определения 30,6, так как для всякого вектора имеет место равенство
Таким образом, множество А всех упорядоченных систем действительных чисел на самом деле образует -мерное векторное пространство.
Определение 30,11. -мерное векторное пространство над полем действительных чисел называется алгеброй или гиперкомплексной системой ранга над полем , если в определено еще умножение элементов друг на друга, которое подчиняется закону ассоциативности и связано со сложением обоими законами дистрибутивности, кроме того, выполняется условие:
6. для всех из .
Если при этом алгебра является телом, то она называется алгеброй с делением.
Следствие 30,12. Из условия 6 следует равенство:
(I)
Следствие 30,13. Из выполнения законов дистрибутивности в следует равенство:
(II)
Последнее равенство показывает, что для вычисления произведения любых элементов из достаточно знать произведение любых базисных элементов и . При этом произведение базисных элементов само должно быть линейной комбинацией базисных элементов, т. е. должно выполняться равенство:
(III)
Таким образом, для составления таблицы умножения базисных элементов потребуется действительных чисел (всех произведений будет , а для каждого такого произведения требуется коэффициентов), которые называются структурными константами этой алгебры.
При произвольном выборе структурных констант закон дистрибутивности следует из условий II и III. Для выполнения же закона ассоциативности умножения необходимо и достаточно еще потребовать его выполнения для базисных элементов
(IV)
Требования II, III, IV вместе с требованиями из следствий 7 и 8, т.е. вместе с требованиями:
,
.
полностью определяют операции в алгебре над полем .
Если еще умножение базисных элементов алгебры над полем коммутативно, т. е. для любых элементов и то алгебра будет коммутативной алгеброй с делением.
Примеры алгебр с делением над полем действительных чисел.
1. Само поле действительных чисел D есть алгебра ранга 1. Базис этой алгебры состоит из одного элемента — единицы.
2. Поле комплексных чисел есть алгебра ранга 2. Базис этой алгебры состоит из двух элементов 1 и
3. Тело кватернионов есть алгебра ранга 4. Базис этой алгебры состоит из четырех элементов 1, .
Следует иметь в виду, что в качестве базисных элементов алгебры могут быть выбраны и другие элементы данной алгебры, но во всех случаях их число будет одно и то же, равное рангу алгебры .
Мы уже видели, что поле действительных чисел R является максимальным архимедовски расположенным полем, поэтому при переходе к полю комплексных чисел пришлось отказаться от выполнения аксиомы Архимеда и вместе с этим и от аксиом скалярного расположения. При переходе от поля комплексных чисел к телу кватернионов пришлось отказаться от коммутативности умножения. Дальнейшие расширения приводят к потере других важных свойств числовых множеств, в частности закона ассоциативности умножения и других.
Оказывается, что перечисленными тремя примерами ассоциативных алгебр с делением над полем действительных чисел с точностью до изоморфизма исчерпываются все такие алгебры.
Теорема Фробениуса. Поле действительных чисел, поле комплексных чисел и тело кватернионов являются единственными с точностью до изоморфизма ассоциативными алгебрами с делением конечного ранга над полем действительных чисел R .
Доказательство. Пусть над полем R дана ассоциативная алгебра с делением ранга . Так как содержит единицу, то в содержится целиком поле R или поле , изоморфное полю R. если , то алгебра совпадает c R или изоморфна R.
Если , то для проведения доказательства, данной теоремы нам потребуется еще одно свойство -мерных векторных пространств.
Теорема 14. Всякие элементов -мерного векторного пространства над полем действительных чисел R составляют линейно зависимую систему.
Доказательство. Из курса высшей алгебры известно, что система однородных линейных уравнений с числом неизвестных, большим числа уравнений данной системы, всегда имеет и не нулевые решения. Пусть даны произвольные элементов данного -мерного векторного пространства и — базис этого пространства. Тогда
-
,
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
,
(1)
Умножаем почленно эти равенства соответственно на некоторые действительные числа (как показано выше) и затем складываем полученные после такого умножения равенства почленно. После этого получим равенство
(2)
справедливое при любом выборе множителей Система уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
|
согласно сделанному в начале доказательства замечанию имеет по меньшей мере одно не нулевое решение (таких решений будет бесконечное множество) т. е. решение, в котором не все при равны нулю. При из равенства (2) получается равенство
которое показывает, что, по теореме 30,3, элементы составляют линейно зависимую систему. Теорема доказана.
Пусть теперь — произвольный элемент из алгебры , не являющийся действительным числом (не принадлежащий и множеству, изоморфному R). Для элементов число которых равно найдутся действительные числа не все равные нулю, что будет выполняться равенство
т.е. элемент является корнем уравнения
с действительными коэффициентами, степень которого не
выше .
Кроме того, из курса высшей алгебры известно, что всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители тоже с действительными коэффициентами не выше второй степени. Так как в алгебре делители нуля отсутствуют ( является телом), то элемент должен быть корнем некоторого квадратного уравнения
с дискриминантом, меньшим нуля (в противном случае элемент был бы действительным числом).
Из получаем:
Таким образом, в любой алгебре ранга содержится по меньшей мере один элемент
со свойством . Такой элемент будем называть мнимой единицей алгебры .
Если то любой элемент алгебры будет линейной комбинацией элементов 1 и , а поэтому получаем поле комплексных чисел или поле, ему изоморфное.
Если , то в алгебре найдется элемент , не являющийся линейной комбинацией элементов 1 и и удовлетворяющий уравнению
тоже с отрицательным дискриминантом. Тогда элемент
тоже будет мнимой единицей алгебры , так как . Элементы составляют линейно независимую систему над полем действительных чисел (в противном случае элемент был бы линейной комбинацией элементов 1 и ). Так как всякий элемент алгебры, не являющийся действительным числом (элементы поля, изоморфного полю R, не будем отличать от соответственных действительных чисел) удовлетворяет некоторому квадратному уравнению, то элементы и должны быть корнями некоторых уравнений
с действительными коэффициентами. Тогда из
следует из
следует
Складывая почленно равенства
|
(1) |
с учетом получим:
или
(2)
Из последнего равенства ввиду линейной независимости элементов 1следует , т. е. . Теперь из (1) получаем:
(3)
где — действительное число, равное .
Положим
(4)
Элементы — линейно независимы над полем действительных чисел, так как из линейной зависимости между ними следовала бы линейная зависимость между . Теперь, имея в виду равенство (3), получаем:
т. е. этот квадрат оказывается действительным числом, которое будет даже отрицательным. В самом деле, элемент не является действительным числом, так как иначе уже между ним и единицей существовала бы линейная зависимость. Если бы число было положительным, т. е.
то из следовало бы, что алгебра имеет делители нуля, так как не может равняться или .
Таким образом,
где — действительное число.
Положим, наконец,
Элементы снова будут линейно независимыми над полем , так как отличается от лишь действительным множителем.
Далее,
Теперь, по (3), (4), (5), получаем:
Откуда имеем:
(6)
Положим . Если бы элемент был линейной комбинацией элементов , т. е.
с действительными коэффициентами то, умножая обе части этого равенства слева на , мы получили бы
или
Из последнего равенства ввиду линейной независимости элементов следовало бы , что невозможно, так как — действительное число. Таким образом, элементы оказываются линейно независимыми, откуда вытекает, что .
Следовательно, над полем действительных чисел алгебры ранга 3 с делением не существует.
Если , то каждый элемент алгебры будет линейной комбинацией четырех элементов т. е. будет иметь вид:
причем единичные элементы будут перемножаться по таблице умножения единичных элементов тела кватернионов.
Например, из
следуют соотношения:
и другие.
Таким образом, при алгебра совпадает с телом кватернионов или изоморфна телу кватернионов.
Предположим, наконец, что . Тогда в алгебре существует элемент , не являющийся, линейной комбинацией элементов а потому в существует еще по меньшей мере одна мнимая единица , также не являющаяся линейной комбинацией элементов . Применяя такие же рассуждения, какими пользовались при выводе формулы (3), получим равенства:
где — некоторые действительные числа. Отсюда будем иметь:
т. e.
Умножая обе части последнего равенства справа на , получим:
или
Откуда следует, что элемент является линейной комбинацией элементов в противоречие с предположением. Следовательно, случай оказывается невозможным. Этим теорема Фробениуса доказана.
Из теоремы Фробениуса следует, что ассоциативно-коммутативных алгебр с делением над полем действительных чисел с точностью до изоморфизма существуют только две: поле действительных чисел и поле комплексных чисел. Алгебра с делением — ассоциативная, но не коммутативная, над полем действительных чисел с точностью до изоморфизма существует только одна: тело кватернионов.
Над полем действительных чисел существует ёще одна алгебра с делением, ранг которой равен 8. Но эта алгебра не является ни коммутативной, ни ассоциативной, так как законы коммутативности и ассоциативности не выполняются для ее базисных элементов .
Эта алгебра называется алгеброй Кэли.
Доказано, что размерность алгебры конечного ранга с делением может равняться только и . Следовательно, при дальнейшем повышении размерности такой алгебры у нее появляются делители нуля. Поэтому деление на элементы, отличные от нуля, становится не всегда возможным.
С этими вопросами можно подробнее ознакомиться по книге: А.Г. Курош, лекции по общей алгебре, Физматгиз, 1962.