Частное целых неотрицательных чисел

Операция деления на Z₀ связана с разбиением соответствующих множеств на классы. При этом решаются две задачи:

1) пусть имеем множество А такое, что а = m (A). Требуется разбить его на «b» равночисленных, попарно непересекающихся подмножеств (классов). Тогда частное a : b показывает, сколько элементов содержится в любом классе разбиения. В этом случае говорят о делении на равные части.

2) пусть множество А, соответствующее числу а, требуется разбить на попарно-непересекающиеся подмножества, в каждом из которых содержится «b» элементов. Тогда частное a : b показывает, сколько подмножеств содержится в таком разбиении. В этом случае говорят о делении по содержанию.

Определение: Пусть а = m (A) и множество А разбито на попарно-непересекающиеся равночисленные подмножества, тогда:

1. если b – число подмножеств в разбиении, то частным a : b называется численность каждого подмножества;

2. если b – численность любого подмножества, то частным a : b называется число подмножеств в разбиении.

Действие нахождения частного чисел а и b называется делением, а – «делимое», b - «делитель».

Невозможность деления на 0 имеет теоретико-множественное истолкование:

1. если а0 иb = 0, то невозможность деления на 0 вытекает из невозможности представления непустого множества А (а = m(A)) в виде объединения пустых множеств (m(A_j ) = 0)

2. если же а = 0 и b = 0, то пустое множество А может быть представлено в виде объединения любого числа пустых множеств. Но тогда a : b – не определено.

Пусть а = m(A) и А разбито на «b» попарно непересекающихся равномощных подмножеств, то есть

Но тогда т.е.a = c * b.

Отсюда вытекает другое определение частного:

Определение: Частным целого неотрицательного числа а и натурального числа b называется такое целое неотрицательное число c = a : b, которое в произведении с числом b дает число а.

Таким образом, а : в = с *с.

Рассмотрим смысл «меньше в» и «больше в» с теоретико-множественных позиций.

Пусть a = m (A) b = m (B). Если a > b, то во множестве А можно выделить подмножество, равномощное множеству В. А т.к. a > b в «с» раз, то во множестве А можно выделить «с» таких подмножеств, равномощных В. Таким образом, если «а» больше «b» в «с» раз, то «с» является числом подмножеств в разбиении А на подмножества, равномощные множеству В.

Можно дать и теоретико-множественное обоснование всем правилам, связывающим операцию деления с другими операциями.

Теоретико-множественное толкование отношений «больше в» и «меньше в» позволяет обосновать выбор действия при решении задач, например, такого вида:

Задача 1. На рыбалке Коля поймал 5 окуней, Серёжа – в 3 раза больше, чем Коля. Сколько окуней поймал Серёжа?

В задаче рассматривается 2 множества: А – множество окуней Коли, В – множество окуней Серёжи и m (A) = 5.

Во множестве В элементов в 3 раза больше, следовательно множество В можно разбить на подмножества, равномощные множеству А, т.е. на 3 подмножества, в любом из которых содержится по 5 элементов. Тогда всего во множестве В будет (5+5+5) элементов или (5*3) элементов. А значит, задача решается действием умножения.

Задача 2. Из 15 роз изготовили 5 одинаковых букетов. Сколько роз содержится в любом букете?

Тогда по определению частного численность любого подмножества в разбиении равна частному а : b, т.е. 15 : 5=3(р.)

Лекция № 30. НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО КАК РЕЗУЛЬТАТ ИЗМЕРЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ.