Вариант № 4

1. Из 100 конденсаторов за время Т из строя выходят 9 конденсаторов. Для контроля выбирают 3 конденсаторов. Найти вероятность того, что среди них за время Т из строя выйдут ровно 1 конденсатор, используя классическое определение вероятности, формулу Бернулли, формулу Пуассона и локальную теорему Лапласа.

2. Система S состоит из двух независимых подсистем S_а и S_bc. Неисправность хотя бы одной подсистемы ведет к неисправности всей системы (подсистемы соединены последовательно). Каждая подсистема состоит из двух независимых дублирующих блоков а_k и bc_k (k = 1,2) (схема параллельного подсоединения блоков в подсистемах). Блок bс_k состоит из последовательно соединенных блоков b_k и c_k

Найти надежность системы – вероятность того, что система будет исправна в течении некоторого времени, если известны надежности блоков P(а_k) = 0.85, P(b_k) = 0.9, P(с_k) = 0.95. Результат проконтролировать с помощью противоположного события (система неисправна).

2. Испытывается прибор, состоящий из двух узлов а и b, соединенных последовательно в смысле надежности. Надежности (вероятности безотказной работы за время Т) узлов а и b известны и равны P(а) = 0.85, P(b) = 0.95 . Узлы отказывают независимо друг от друга. По истечении времени Т выяснилось, что прибор неисправен. Найти с учетом этого вероятность того, что неисправен только узел b.

2. Устройство состоит из четырех независимых элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна p = 0.3. Для случайной величины Х отказавших элементов в одном опыте построить законы распределения, их графики, найти ее числовые характеристики.

3. Задана плотность распределения f(х) случайной величины Х:

f(х) =,

Требуется найти коэффициент А, построить график плотности распределения f(х), найти функцию распределения F(х) и построить ее график, найти вероятность попадания величины Х на участок от 0 до . Найти числовые характеристики случайной величиныХ.

2. По выборке объема n = 100 построен ряд распределения:

xi	0.25	0.75	1.25	1.75	2.25	2.75	3.25	3.75
рi	0.08	0.11	0.15	0.20	0.18	0.12	0.09	0.07

Построить гистограмму, полигон и эмпирическую функцию распределения. Найти точечные оценки математического ожидания, дисперсии, среднеквадратичного отклонения, асимметрии и эксцесса.

2. Каково должно быть число опытов, чтобы с надежностью  = 0.9 точность оценки математического ожидания нормальной случайной величины была равна  = 0.5, если  = 4.

8. По результатам эксперимента получена таблица наблюдений системы случайных величин (X, Y):

			X
Y	0.5	1.5	2.5	3.5	4.5	5.5
0.5	0.01	0.03	0.02	0.01	0.0	0.0
1.0	0.0	0.07	0.10	0.14	0.03	0.0
1.5	0.0	0.0	0.05	0.09	0.13	0.02
2.0	0.0	0.0	0.01	0.04	0.07	0.08
2.5	0.0	0.0	0.0	0.02	0.03	0.05

Оценить данную матрицу распределения (X, Y) на регрессию видов f(x) = ₁+ ₂x и f(x) = ₁ + ₂x + ₃x².

9. По двум независимым выборкам объемов n_X =14 и n_Y = 9 нормальных распределений найдены выборочные значениями математических ожиданий = 23.8 и= 21.2 и исправленные выборочные дисперсии= 0.44 и= 0.54 . При уровне значимости = 0.05 проверить нулевую гипотезу H₀: m_X = m_Y при конкурирующей H₁: m_X > m_Y.

10. По критерию Пирсона при уровне значимости  = 0.05 проверить гипотезу о распределении случайной величины Х по равномерному закону, если задано n_k попаданий выборочных значений случайной величины Х в подинтервал _k = (a_k , b_k ):

k	1  2	2  3	3  4	4  5	5  6
nk	23	18	22	21	16