- •Введение
- •Лабораторная работа № 1. Основные, дополнительные и производные величины. Размерности физических величин
- •Лабораторная работа № 2. Алгоритмы обработки многократных измерений
- •Лабораторная работа № 3. Определение доверительного интервала с доверительной вероятностью
- •Лабораторная работа № 7. Измерение параметров электрического сигнала с помощью осциллографа
- •Лабораторная работа № 9. Метрологическая калибровка средств измерений
- •Библиографический список
Лабораторная работа № 3. Определение доверительного интервала с доверительной вероятностью
Цель работы
Изучить алгоритмы обработки многократных измерений. Научиться оценивать истинное значение измеряемой величины при многократном измерении с помощью интервалов.
Краткие теоретические сведения
В настоящее время большое распространение получила оценка с помощью интервалов. Смысл оценки параметров с помощью интервалов заключается в нахождении интервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенными вероятностями (доверительными) находятся истинные значения оцениваемых параметров.
Половина длины доверительного интервала называется доверительной границей Р случайного отклонения результатов наблюдений, соответствующей доверительной вероятности Р. Для определения доверительной границы задаются доверительной вероятностью и вычисляют соответствующее значение по формулам:
при известном среднекрвадратичном отклонении (СКО) результатов наблюдений,
где – СКО.
или при известной точечной оценке СКО результатов наблюдений
где –точечная оценкаСКО
–коэффициент (или дробь) Стьюдента.
Плотность распределения дроби Стьюдента, впервые предсказанного Госсетом, писавшим под псевдонимом Стьюдент, выражается следующим уравнением:
где S(t,k) – плотность распределения Стьюдента. Величина k называется числом степеней свободы и равна n–1. Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале (‑tp, +tp), согласно выражению, вычисляется по формуле:
или, поскольку S(t,k) является четной функцией аргумента t,
Подставив вместо дроби Стьюдента tp ее выражение через истинное значение результата, точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений, получим окончательно
Величины tp, вычисленные по этим формулам, были табулированы Фишером для различных значений доверительной вероятности Р в пределах 0,10 – 0,99 при k=n–1=1,2,…,30. В таблице 5 приведены значения коэффициента Стьюдента tp для наиболее часто употребляемых доверительных вероятностей Р.
Итог измерений при оценке с помощью интервалов записывается в виде
В тех случаях, когда распределение случайных погрешностей не является нормальным, все же часто пользуются распределением Стьюдента с приближением, степень которого остается неизвестной.
Таблица 5 – Коэффициент Стьюдента
k |
P | ||||
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 | |
2 |
3,08 |
6,31 |
12,71 |
31,8 |
63,7 |
3 |
1,89 |
2,92 |
4,30 |
6,96 |
9,92 |
4 |
1,64 |
2,35 |
3,18 |
4,54 |
5,84 |
5 |
1,53 |
2,13 |
2,77 |
3,75 |
4,60 |
6 |
1,48 |
2,02 |
2,57 |
3,36 |
4,03 |
7 |
1,44 |
1,94 |
2,45 |
3,14 |
4,71 |
8 |
1,42 |
1,90 |
2,36 |
3,00 |
3,50 |
9 |
1,40 |
1,86 |
2,31 |
2,90 |
3,36 |
10 |
1,38 |
1,83 |
2,26 |
2,82 |
3,25 |
11 |
1,37 |
1,81 |
2,23 |
2,76 |
3,17 |
12 |
l,363 |
1,80 |
2,20 |
2,72 |
3,11 |
13 |
1,36 |
1,78 |
2,18 |
2,68 |
3,06 |
14 |
1,35 |
1,77 |
2,16 |
2,65 |
3,01 |
15 |
1,35 |
1,76 |
2,14 |
2,62 |
2,98 |
16 |
1,34 |
1,75 |
2,13 |
2,60 |
2,95 |
17 |
1,34 |
1,75 |
2,12 |
2,58 |
2,92 |
18 |
1.33 |
1,74 |
2,11 |
2,57 |
2,90 |
19 |
1,33 |
1,73 |
2,10 |
2,55 |
2,88 |
20 |
1,33 |
1,73 |
2,09 |
2,54 |
2,86 |
21 |
1,38 |
1,73 |
2,09 |
2,53 |
2,85 |
22 |
1,32 |
1,72 |
2,08 |
2,52 |
2,83 |
23 |
1,32 |
1,72 |
2,07 |
2,51 |
2,82 |
24 |
1,32 |
1,71 |
2,07 |
2,50 |
2,81 |
25 |
1,32 |
1,71 |
2,06 |
2,49 |
2,80 |
26 |
1,32 |
1,71 |
2,06 |
2,49 |
2,79 |
27 |
1,32 |
1,71 |
2,06 |
2,48 |
2,78 |
28 |
1,31 |
1,70 |
2,05 |
2,47 |
2,77 |
29 |
1,31 |
1,70 |
2,05 |
2,47 |
2,76 |
30 |
1,31 |
1,69 |
2,05 |
2,46 |
2,76 |
40 |
1,30 |
1,68 |
2,02 |
2,42 |
2,70 |
60 |
1,30 |
1,67 |
2,00 |
2,39 |
2,66 |
120 |
1,29 |
1,66 |
1,98 |
2,36 |
2,62 |
>120 |
1,28 |
1,65 |
1,96 |
2,33 |
2,58 |
Если эксперимент состоит в многократном измерении одной и той же величины постоянного размера, то результатом измерения является группа из n независимых показаний (измерений), составляющих массив экспериментальных данных. Главной особенностью измерительного эксперимента, проводимого с использованием статистической обработки полученных данных, является получение и использование большого объема апостериорной измерительной информации.
Таким образом, при практической обработке результатов измерений необходимо последовательно выполнить следующие операции:
Задаться значением доверительной вероятности Р;
Определить коэффициент Стьюдента tp(n) для выбранной вероятности Р и числа проведенных измерений n;
Найти границы доверительного интервала:
Записать окончательный результат:
Программа работы
Решить задачи 1…3 совместно с преподавателем.
Решить задачи 4…7 самостоятельно.
Порядок выполнения практической части лабораторной работы
Задача 1
По результатам пяти наблюдений была найдена длина стержня. Итог измерений составляет L=18,308 мм, SL=0.005 мм, причем существуют достаточно обоснованные предположения о том, что распределение результатов наблюдений было нормальным. Требуется оценить вероятность того, что истинное значение длины стержня отличается от среднего арифметического из пяти наблюдений не больше чем на 0,01 мм.
Решение задачи 1
Из условия задачи следует, что имеются все основания для применения распределения Стьюдента. Вычисляем значение дроби Стьюдента:
Определяем число степеней свободы:
Находим значение доверительной вероятности по табличным данным для k=4 и tP=2: Р= 0,8838.
Таким образом, вероятность того, что истинное значение длины стержня отличается от среднего арифметического из пяти наблюдений не больше чем на 0,01 мм Р= 0,8838 или составляет 88,38%.
Итог измерений
Задача 2
В условиях предыдущей задачи найти доверительную границу погрешности результата измерений для доверительной вероятности Р=0,99.
Решение задачи 2
Определяем по табличным данным значение дроби Стьюдента для k=4 и Р=0,99: tP=5,84.
Следовательно, доверительная граница:
Итог измерений
Задача 3
При измерении температуры Т в помещении термометр показывает 26°С. Среднее квадратическое отклонение показаний σТ = 0,3°С. Систематическая погрешность измерения ΔS = +0,5°С. Укажите доверительные границы для истинного значения температуры с вероятностью Р = 0,9973 (tP =3).
Решение задачи 3
Истинное значение температуры при исключении систематической погрешности:
Доверительная граница:
Итог измерений
Задача 4
При измерении усилия динамометр показывает 1000 Н, погрешность градуировки равна –50 Н. Среднее квадратическое отклонение показаний σF =10 Н. Укажите доверительные границы для истинного значения измеряемого усилия с вероятностью P = 0,9544 (tP = 2).
Задача 5
Найти среднее значение расстояния между ориентирами осей здания и доверительный интервал, в котором находится это значение, с доверительной вероятностью 0,99 при следующих измерениях этого расстояния, м: 18,124; 18,127; 18,121; 18,122; 18,131.
Задача 6
Результаты пятикратного измерения диаметра детали D=5,27 мм. Систематическая погрешность, вызванная износом губок штангенциркуля, составляет +0,07 мм. СКО результатов измерений σD=0,12 мм. Записать результат измерения при доверительной вероятности P=0,95.
Задача 7
При определении силы инерции по зависимости F = mּa измерениями получены значения m = 100 кг и ускорение a = 2 м/с2. Средние квадратические отклонения результатов измерений: σm = 0,5 кг, σa = 0,01 м/с2. Записать результат определенной силы инерции с вероятностью P = 0,966 (tP = 2,12).
Содержание отчета
Титульный лист;
Цель и программа работы;
Решение задач 1…7;