C начальными условиями

V⁰(x,0)=(x)

.

Граничные условия однородные

V^*(0,t)=0

V^*(l,t)=0.

Согласно методу Фурье, решение ищем в виде

и осуществляем разделение переменных.

Приходим к задаче Штурма-Лиувилля для функции X(x). Решая эту задачу(см. раздел 4.4 и[1]), находим собственные числа задачи-_n и соответствующие собственные функции X_n(x). При этом функции X_n(x) удовлетворяют однородным граничным условиям. Общее решение однородной задачи представим в виде ряда по собственным функциям

V⁰(x,t)=X_n(x)

Здесь ,

5.Решение неоднородного учп с однородными начальными и граничными условиям

УЧП для функции V*(x,t) имеет вид

Начальные условия

V^*(x,0)=0

.

Граничные условия

V^*(0,t)=0

V^*(l,t)=0.

Решение УЧП ищем в виде разложения по собственным функциям X_n(x)

Подставив решение в уравнение, получим

т.к. собственные функции удовлетворяют уравнению

то ,

тогда получим

Умножим левую и правую части уравнения на X_m(x) и проинтегрируем на участке [0,l] определения функции X_n (x) Учитывая, что собственные функции ортогональны на отрезке [0,l],

, при mn

получим обыкновенные неоднородные дифференциальные уравнения

,

где

Решение этого уравнения находим либо методом вариации произвольных постоянных (см. раздел 4.5 в[1]) по формуле

,

либо другими возможными методами .

6.Сборка решения и построение графиков

Получаем окончательное решение собирая полученные решения в общую формулу, а также вычисляя производные по x и t

Перед построением графиков на компьютере целесообразно выполнить аналитические упрощения и ввести обозначения. Производные также нужно брать аналитически, а не численно, чтобы избежать больших погрешностей. При усечении бесконечных рядов нужно иметь в виду, что их общими членами есть, как правило, знакопеременные тригонометрические функции. В связи с этим, усекать ряд из-за малого значения общего члена нельзя. Значение верхнего фиксированного предела суммы определяем численным экспериментом. При этом, число членов ряда для производных, как правило, в два раза больше, чем для функции и может достигать нескольких сотен.

Пример 1

u

A x

Рис. 1

1. Постановка задачи.

Рассмотрим колебания струны, один конец которой закреплен, а другой движется по гармоническому закону (Рис.1.). Струна связана с упругим основанием и движется во вязкой среде. Уравнение движения имеет вид

, (1)

где

(2)

u(x,t) - вертикальное перемещение струны ;

T₀ - сила натяжения струны ;

k - коэффициент постели основания ;

r - коэффициент вязкого сопротивления ;

S - площадь поперечного сечения струны ;

- плотность материала струны .

Начальные условия соответствуют неподвижному состоянию струны.

. (3)

Граничные условия имеют вид

(4)

где А - амплитуда колебаний конца струны;

- частота колебаний;

l - длина струны.

2. Приведём уравнение (1) к простейшему виду

Перейдём к новой неизвестной функции W(x,t)

(5)

Подставляя (5) в (1),(2),(3), получим

(6)

Начальные условия

W(x,0)=0;

(7)

Граничные условия

(8)