билет 1

Билет №1

1. Введите понятие вектора, дайте определение нулевого вектора, равных, противоположных, коллинеарных, компланарных векторов.

Вектором называется направленный отрезок т.е. отрезок, для которого указано какая из концевых его точек считается 1, какая второй. Первая точка направленного отрезка называется началом, вторая – концом.

1. Вектор у которого начало совпадает с концом называется нулевым вектором или нуль вектор.

2. Два вектора называются равными, если выполняются следующие условия:

1. 

2. Если не нулевые, то они сонаправлены.

3. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или параллельных прямых

Нуль вектор считается коллинеарным любому вектору.

4. Если ненулевые векторы коллинеарные, то они могут иметь одно и то же или противоположное направление.

В первом случае их называют сонаправленными, а во втором противоположно направленными.

Рассмотрим произвольный вектор и от какой - нибудь точки А отложим вектор АВ=

1. Вектор называется вектором противоположным вектору и обозначается

2. Векторы называются комплонырными, если существует плоскость к которой они параллельны.( вектор параллелен плоскости, если он параллелен прямой лежащей в этой плоскости)

2. Определение операции «+» и «- » векторов. Умножение вектора на число.

Введем операцию «+» , возьмем произвольные вектора от какой нибудь точки А отложим вектор , затем от точки В отложим . Вектор называется суммой векторов

Разностью векторов называется такой вектор, что

Произведение вектора на действительное число называется вектор , который удовлетворяет следующим условиям:

1. , где абсолютное значение числа

2. 

3. Сформулируйте правила «+» и «-» векторов. Докажите свойства операций «+» и «-» .

Поместим начало вектора в конец вектора . Тогда вектор соединяет начало вектора с концом вектора

Поместим начала векторов в одну точку, тогда вектор имел начало в той же точке, являющейся диагональю параллелограмма, построенного на векторах .

3. Правило многоугольника

Свойства сложения векторов.

1. От перестановки слагаемых сумма не меняется (коммутативность «+»)

=

2. (ассоциативность)

Доказательство 1:

Пусть произвольные вектора от какой либо точки А, отложим векторы и , а затем от точки В отложим вектор

Согласно построению AD=BС по лемме о равенстве векторов

Доказательство 2:

Пусть произвольные вектора, возьмем какую-нибудь точку А и отложим последовательно по правилу треугольника.

3. 

Это совершенно очевидно, если представить себе такое сложение с точки зрения правила треугольника.

4. 

Свойства умножения

1. 

Свойство 1 непосредственно следует из определения произведения вектора на число. Если хотя бы одно из чисел или хотя бы один из векторов то доказательства остальных свойств очевидны, поэтому мы рассмотрим случай, когда .

2. 

Доказательство:

Пусть по определению произведения вектора на число:

Возможно 2 случая:

1. т.к. , а числа одного знака, то , вектора .

2. 

3. 

От какой-нибудь точки А отложим вектор от точки В вектор . По правилу треугольника , т.е. . Рассмотрим гомотетию с коэффициентом и с центром в точке О, не лежащую на прямых и .

Пусть A' B' C' образы точек А В С. По лемме (если при гомотетии с центром О и с коэффициентом к треугольнику ОАВ переходит в треугольник ОA' B' , то вектор A' B'=k

4.

Доказательство. Рассмотрим два возможных случая:

2)

4. Сформулируйте и докажите признаки коллинеарности двух векторов.

Теорема. Если вектора и коллинеарны и вектор , то существует единственное число такое, что

Докажем существование числа удовлетвряющему условию .

5. Разъясните суть векторного метода при решении геометрических задач.

Решение каждой математической задачи осуществляется по 4м основным этапам.

1. Понимание условия и требования задачи; ясное усвоение и осмысление отдельных элементов условия.

2. Составление плана решения

3. Практическая реализация плана во всех его деталях.

4. Окончательное рассмотрение задачи и её решения с целью усвоение тех моментов, которые смогут стать полезными для дальнейшего решения задач.

Метод обучения это способ передачи знаний учащимся и способ организации познавательной и практической деятельности учащихся направленных на усвоение ими ЗУН на овладение ими методов познание на формирование личности.

Понятие вектора нашло широкое распространение в прикладных науках.Аппарат векторной алгебры позволит упростить изложение некоторых сложных геометрических понятий, доказательства некоторых теорем школьного курса геометрии, позволило создать особый метод решения геометрических задач.

Основные компоненты решения геометрических задач:

1. Перевод условия задачи на язык векторов

-выбор системы координат

-выбор базисных векторов

-разложение всех введенных векторов по базисам.

2) Составление векторного равенства(или системы неравенств)

3) Упрощение векторных равенств или замена их алгебраическими уравнениями или системой уравнений.

4) Объяснение геометрического смысла полученного уравнения

6. Раскройте методику обучения учащихся решению геометрических задач векторным методом с помощью соответствующих эвристик.

Комбинирование – перевертывание, перестановка, добавление вспомогательного элемента и т.д. Трансформация – преобразование формы.

2. Прием редукции - динамическое действие требующее расширение (сужение) совокупности элементов составляющих проблему и установление закономерности внутри новой совокупности для перехода к ранее решаемой задаче. Выделение подзадачи переход от части к целому аналогия, поиск сходной задачи, обобщение

3. Прием реверсии. Основан на противоположном направлении приводящий к заданному условию или же обнаружению противоречий, доказательство «от противного»

4. Прием варьирования условий. Заключается в изменении условий, окружающих данную совокупность элементов, в результате чего должны переструктурироваться связи внутри совокупности : решение проблемы обходным путем.

Исходя из описанной выше системы эвристических приемов мы конкретизировали алгоритм векторного метода в реализации которого определили следующие шаги:

1. Выделение ключевых объектов и введение ключевых векторов в структуру задачи.

2. Переход от соотношений между объектами задачи к соотношению между введенными векторами

3. Выделение базиса или фиксированной системы координат

4. Использование вспомогательных векторов составление соотношений между векторами, векторных равенств и неравенств

5. Разложение векторов по базису, определение координат рассматриваемых векторов

6. Преобразование полученных соотношений органами векторной алгебры получение новых соотношений

7. Переход от полученных соотношений между векторами к соотношениям между объектами задачи

7.Опишите современные средства оценивания результатов обучения.

В пед теории и практике различают следующие виды контроля – текущий, промежуточный и итоговый

Для проведения текущего контроля используются разнообразные формы его организации. Наиболее распространенными являются письменные и проверочные работы. Примером рубежного контроля могут служить к\р или устный опрос.

Сегодня в качестве инновационных средств используют тестирование модульную и рейтинговую систему оценки качества знаний, мониторинг качества, учебные портфолио.

Тестирование - является одной из наиболее технологичных форм автоматизированного контроля с управляемыми параметрами качества.

Модульная система- имеет цель поставить учеников перед необходимостью регулярной учебной работы в течении всего учебного года.

Их анализа всесторонней количественной и качественной оценки уровня обученности данного учащегося и дальнейшей коррекции процесса обучения.

Портфолио демонстрирует не только учебные результаты, но и усилия приложенные к их достижению, а так же очевидный прогресс в знаниях и умениях по сравнению с предыдущими результатами.

Мониторинг - в системе «педагог-обучающийся» понимается совокупность контролирующих и диагностирующих мероприятий обусловленным целеполаганием процесса обучения и предусматривающих в динамике уровни усвоения материала и его корректировку.