8_lecture_ED0

Тема Закон электромагнитной индукции. Энергия магнитного поля.

1. Механическая работа при перемещении проводников с током в магнитном поле

Так как на провод с током в магнитном поле действуют Рис.1 силы, то при его перемещении совершается работа.

А) Пусть прямолинейный проводник перемещается по рельсам, по которым течет ток, из положения 1 в 2: (рис.1)

Перемещение dx, его длина l, поле B, перпендикулярно плоскости рамки.

Сила Ампера F I B F IB при перемещении совершает работу

dA IlBdx IBdS ,

где dS =ldx - площадь перемещения проводника.

Б) Если индукция Bнаправлена под углом к перемещению, то работу совершает лишь сила,

направленная вдоль перемещения (ось x), а работа перпендикулярной к перемещению составляющей силы F равна нулю.

Таким образом, имеем Fx=IlBn ,

dA=IBn ldx = IBn dS, гдеBn - нормальная компонента B.

Элементарная работа, совершаемая при произвольном движении проводника с током в магнитном поле равна:

dA=IBndS (1)

Вспомним, что величина dФ=BndS– это магнитный поток.

Магнитный поток (поток магнитной индукции) равен полному числу линий магнитной индукции, проходящих через данную поверхность

BdS BndS

S S

Элементарная работа, совершаемая силами магнитного поля при изменении магнитного потока, равна dA=IdФ, а полная работа при изменении магнитного потока от величины Ф1 до Ф2:

2

A Id I 2 1 (2)

1

1

2. Электромагнитная индукция

Электрический ток создает вокруг себя магнитное поле.

Существует обратное явление:

магнитное поле вызывает появление электрического тока.

Это явление было открыто Фарадеем в 1831 г. и названо

электромагнитной индукцией.

Эксперимент:

Ток в соленоиде, соединенном с гальванометром, возникает в случае: а) перемещения относительно него другого соленоида с током; б) изменения силы тока во втором соленоиде в) перемещения относительно первого соленоида постоянного

магнита

Гипотеза Фарадея - теоретическое объяснение электромагнитной индукции

-с помощью магнита в замкнутой цепи индуцируется электрический ток,

-при пересечении проводником (либо его частью) линий магнитной индукции, в нем возникает индукционный ток.

т.к. cosα dl/R=d , cosα dl = ds - дуга

Циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру равна охватываемому им току

Hdl I

L

- магнитное поле вихревое, порождается электрическими движущимися зарядами, его силовые линии всегда замкнуты, магнитных зарядов нет.

Из опыта: изучая явление электромагнитной индукции, Ленц в 1833 г. установил, что

индукционный ток всегда направлен таким образом, что его действие противоположно действию причины, вызывающей этот ток.

При вдвигании магнита в соленоид индукционный ток выталкивает магнит.

Рис.4

Закон Ленца вытекает из закона сохранения энергии: индукционные токи совершают работу,

т.е. возникают силы, противоположные движению.

Поэтому при движении магнита должна быть совершена дополнительная работа внешних сил. Возникновение индукционного тока показывает, что в проводнике при электромагнитной индукции появляется электродвижущая сила.

Э.Д.С. индукции появляется, когда меняется число силовых линий магнитного поля,

проходящих через контур. Но полное число силовых линий магнитного поля, проходящих через какую-либо поверхность есть магнитный поток.

2

Таким образом, причина появления Э.Д.С. электромагнитной индукции есть изменение

магнитного потока.

На рисунке. 5 проиллюстрировано правило Ленца на примере неподвижного проводящего контура, который находится в однородном магнитном поле, модуль индукции которого увеличивается во времени.

В этом примере

0, инд 0.t

Индукционный ток Iинд течет навстречу выбранному положительному направлению обхода контура Рис. 5. Иллюстрация правила Ленца.

Правило Ленца отражает тот экспериментальный факт, что инд и / t всегда имеют

противоположные знаки (знак «минус» в формуле Фарадея).

Правило Ленца имеет глубокий физический смысл – оно выражает закон сохранения

энергии.

Закон Фарадея: Э.Д.С. электромагнитной индукции равна скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную контуром:

инд d

dt

Знак "-" в этой формуле соответствует правилу Ленца. Электромагнитная индукция возникает во всех случаях, когда изменяется магнитный поток, пронизывающий контур с током.

Например, изменение потока может быть вызвано изменением тока в самом контуре.

При всяком изменении силы тока в каком-либо контуре в нем возникает ЭДС индукции, которая вызывает дополнительный ток в контуре. Это явление называется самоиндукцией.

Направление тока самоиндукции подчиняется правилу Ленца.

Напряженность магнитного поля пропорциональна силе тока в катушке. Поэтому и магнитный поток, пронизывающий катушку, будет пропорционален току:Ф=LI.

Коэффициент L называют коэффициентом самоиндукции или индуктивностью контура.

Единица магнитного потока [Вебер] = [1В*1с] - магнитный поток, при убывании которого до нуля за 1с в контуре возникает э.д.с. 1В.

Изменение магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур, может происходить по двум причинам.

1.Магнитный поток изменяется вследствие перемещения контура или его частей в постоянном во времени магнитном поле. Это случай, когда проводники, а вместе с ними и свободные носители заряда, движутся в магнитном поле.

Возникновение ЭДС индукции объясняется действием силы Лоренца на свободные заряды в движущихся проводниках. Сила Лоренца играет в этом случае роль сторонней силы.

Рассмотрим в качестве примера возникновение ЭДС индукции в прямоугольном контуре,

3

Пусть одна из сторон контура длиной l скользит со скоростью v по двум другим сторонам (рис. 7). На свободные заряды на этом участке контура действует сила Лоренца. Одна из составляющих этой силы, связанная с переносной скоростьюv зарядов, направлена вдоль проводника. Эта составляющая указана на рис. 7. Она играет роль сторонней силы. Ее модуль равен FЛ = eυB

Работа силы FЛ на пути l равна A = FЛ · l = eυBl. По определению ЭДС инд A eBl . e

В других неподвижных частях контура сторонняя сила равна нулю. Соотношению для инд

можно придать привычный вид. За времы Δt площадь контура изменяется на ΔS = lυΔt. Изменение магнитного потока за это время равно ΔΦ = BlυΔt. Следовательно,

положительное направление обхода контура l , как это сделано на рис. 7. Если это сделать, то легко прийти к формуле Фарадея.

Если сопротивление всей цепи равно R, то по ней будет протекать индукционный ток, равный Iинд = инд/R. За время Δt на сопротивлении R выделится джоулево тепло

Возникает вопрос: откуда берется эта энергия, ведь сила Лоренца работы не совершает! Этот парадокс возник потому, что мы учли работу только одной составляющей силы Лоренца. При протекании индукционного тока по проводнику, находящемуся в магнитном поле, на свободные заряды действует еще одна составляющая силы Лоренца, связанная с относительной скоростью движения зарядов вдоль проводника. Эта составляющая ответственна за появление силы

Ампера FA . Для случая, изображенного на рис. 7, модуль силы Ампера равен FA = IBl. Сила Ампера направлена навстречу движения проводника; поэтому она совершает отрицательную

Движущийся в магнитном поле проводник, по которому протекает индукционный ток, испытывает магнитное торможение. Полная работа силы Лоренца равна нулю.

Джоулево тепло в контуре выделяется либо за счет работы внешней силы, которая поддерживает скорость проводника неизменной, либо за счет уменьшения кинетической энергии проводника.

2. Вторая причина изменения магнитного потока, пронизывающего контур, – изменение во времени магнитного поля при неподвижном контуре. В этом случае возникновение ЭДС индукции уже нельзя объяснить действием силы Лоренца. Электроны в неподвижном проводнике могут приводиться в движение только электрическим полем. Это электрическое поле порождается изменяющимся во времени магнитным полем. Работа этого поля при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру равна ЭДС индукции в неподвижном проводнике. Следовательно, электрическое поле, порожденное изменяющимся магнитным полем, не является потенциальным. Его называют вихревым электрическим полем. Представление о вихревом электрическом поле было введено в физику великим английским физиком Дж. Максвеллом (1861 г.).

4

Явление электромагнитной индукции в неподвижных проводниках, возникающее при изменении окружающего магнитного поля, также описывается формулой Фарадея.

Таким образом, явления индукции в движущихся и неподвижных проводниках протекают одинаково, но физическая причина возникновения индукционного тока оказывается в этих двух случаях различной: в случае движущихся проводников ЭДС индукции обусловлена силой Лоренца; в случае неподвижных проводников ЭДС индукции является следствием действия на свободные заряды вихревого электрического поля, возникающего при изменении магнитного поля.

3. Самоиндукция

При всяком изменении силы тока в контуре, в нем возникает э.д.с. индукции, вызывающее дополнительный индукционный ток. Это явление самоиндукции, а

токи называются токами самоиндукции.

При замыкании ключа лампочка не сразу зажигается, а постепенно, при размыкании - гаснет также постепенно. Таким образом, магнитное поле обладает энергией. Подобно тому, как в заряженном конденсаторе имеется запас электрической энергии, в катушке, по виткам которой протекает ток, имеется запас магнитной энергии.

Если включить электрическую лампу параллельно катушке с большой индуктивностью в электрическую цепь постоянного тока, то при размыкании ключа наблюдается кратковременная вспышка лампы (рис. 8).

Ток в цепи возникает под действием ЭДС самоиндукции. Источником энергии, выделяющейся при этом в электрической цепи, является магнитное поле катушки.

Из закона сохранения энергии следует, что вся энергия, запасенная в катушке, выделится в виде джоулева тепла.

По закону Био-Савара величина магнитной индукции В пропорциональна току I в катушке, поэтому и магнитный поток, пронизывающий катушку, пропорционален току

LI

где L - коэффициент самоиндукции или индуктивность контура.

Размерность L [Гн]=[Вб/A] (L=Ф, если I=1)

Для Э.Д.С. индукции получаем выражение

LdI - Э.Д.С. индукции пропорциональна скорости изменения тока. dt

Индуктивность L контура зависит от его формы, размеров и свойств окружающей среды.

ПРИМЕРЫ 1) Индуктивность соленоида.

Так как магнитное поле соленоидаB 0 NIl , (l -длина соленоида, N - число витков),

5

Из этой формулы определим единицу измерения магнитной постоянной μ0

Скорость убывания индукционного тока в контуре по 2 закону Кирхгофа

4. Взаимная индукция

Для двух контуров с током существует магнитная связь, т.к. линии магнитной индукции контура 1 пересекают контур 2 и наоборот.

Магнитный поток Ф21 через контур 2, создаваемой контуром 1, пропорционален току I1 в контуре

1:

Ф21=L21I1

и наоборот Ф12=L12I2 - магнитный поток в контуре 1. Коэффициенты взаимной индукции для контуров равны L21=L12

Коэффициент взаимной индукции двух однослойных тороидальных катушек, намотанных на один каркас.

Напряженность магнитного поля катушки 1: B1 0 N1I1 . l

Поток через катушку 2: 1 B1S 0N1I1S /1 - через 1 виток.

Через все витки катушки 2 магнитный поток 21 N2 1 0N1N2SI1 /1.

Коэффициент взаимной индукции

L12 0N1N2S L21

Изменение магнитного потока, пронизывающего обе катушки по какой-либо причине, вызывает появление в них Э.Д.С

Если изменение потока dФ/dt вызвано, например, изменением тока в катушке 1, то отношение

Э.Д.С ε2 в катушке 2 к ε1: ε2/ε1=N2/N3=k

называется коэффициентом трансформации Э.Д.С.

Такое устройство называется трансформатором. Схематическое устройство трансформатора.

1 — первичная обмотка, 2 — вторичная

Согласно закону сохранения энергии, мощности токов в обеих обмотках трансформаторов должны быть

одинаковыми ε1I1=ε2I2 ,т.е. ε2/ε1=I1/I2=k

Трансформатор повышает (понижает) ток и э.д.с. при изменении э.д.с. в первичной обмотке.

5. Энергия магнитного поля

Магнитное поле порождается током и исчезает вместе с ним. Следовательно, часть энергии тока всегда идет на создание магнитного поля.

Магнитное поле обладает энергией, равной работе, затраченной током на его создание. Электромагнитная индукция обусловлена взаимным превращением энергии электрического тока и магнитного поля.

Пусть в контуре изменяется ток, что сопровождается изменением магнитного потока

6

dФ=LdI

При изменении потока ток совершает работу

dA=IdФ=LIdI

Полная работа тока по созданию магнитного потока от 0 до Ф (т.е. нарастания тока от 0 до I)

Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром

W

LI2

m 2

(полная работа, необходимая для установления в цепи тока I).

Для увеличения тока в электрической цепи необходима некоторая работа. Эту работу производит источник тока, включенный в цепь.

При уменьшении тока в цепи освобождается некоторая энергия, и источник тока совершает меньшую работу, чем при постоянном токе.

При выключении источника тока такая же работа выполняется токами самоиндукции. То есть данное выражение описывает энергию, запасаемую контуром с током. Эта энергия получила название собственной энергии тока.

Энергия однородного магнитного поля, заключенного в объеме V:

W= H2V/8 .

Плотность энергии:

u=W/V.

Если поле не однородно, то энергия находится с помощью интегрирования по всему объему, занимаемому полем:

H2

Wm V 8 dV

Пример - Энергия магнитного поля в соленоиде:

Напряженность магнитного поля соленоида

H=NI/l → I=Hl/N,

индуктивность соленоида

Тогда энергия магнитного поля в соленоиде будет равна

где:

μ0 — магнитная постоянная μ — относительная магнитная проницаемость материала сердечника

s — площадь сечения сердечника

l — длина средней линии сердечника N — число витков

7

возникновение также нельзя объяснить силами Лоренца, так как они на неподвижные заряды не действуют.

Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре.

Согласно представлениям Максвелла, контур, в котором появляется Э.Д.С., играет второстепенную роль, являясь своего рода лишь «прибором», обнаруживающим это поле.

Итак, по Максвеллу, изменяющееся во времени магнитное поле порождает электрическое поле ЕB, циркуляция которого

где Eвl — проекция вектора Eв на направление dl .

Подставив в формулу (1) выражение

BdS ,

S

Рис.10.

Если поверхность и контур неподвижны, то операции дифференцирования и интегрирования можно поменять местами. Следовательно,

где символ частной производной подчеркивает тот факт, что интеграл BdS является функцией

S

только от времени.

Вспоминая, что циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

Получаем из сравнения (1) и (3), что между рассматриваемыми полями (Eв и E) имеется принципиальное различие:

циркуляция вектора Eв в отличие от циркуляции вектора E не равна нулю.

Следовательно, электрическое поле Eв , возбуждаемое магнитным полем, как и само

магнитное поле, является вихревым.

Рис. 11 и 12 иллюстрируют взаимное превращение электрического и магнитного полей.

9

Согласно Максвеллу, если всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле,

то должно существовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля (рис.12).

Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток смещения.

Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую конденсатор

Рис. 13. К вопросу о причине возникновения Eв

Между обкладками заряжающегося и разряжающегося конденсатора имеется переменное электрическое поле, поэтому,

согласно Максвеллу, через конденсатор «протекают» токи смещения, причем в тех участках, где отсутствуют проводники.

Найдем количественную связь между изменяющимся электрическим и вызываемым им магнитным полями.

По Максвеллу, переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обкладками конденсатора существовал ток смещения, равный току в подводящих проводах. Тогда можно утверждать, что токи проводимости (I) и смещения (Iсм) равны:

Iсм =I.

Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора

10