Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ
.pdfГлава 28. Примерная рабочая программа |
741 |
дифференцируемой функции. Обращение в нуль производной функции.
26.Формула конечных приращений (формула Лагранжа). Некоторые следствия из формулы Лагранжа: достаточные условия возрастания и убывания функции; условие постоянства функции; условие Липшица.
27.Вторая разность. Выражение производной второго порядка через вторую разность. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши).
28.Раскрытие неопределенностей по правилам Лопиталя.
Приближенные методы решения уравнений, 4 час., зачет, экзамен
29.Метод итераций.
30.Понятия о методе касательных и методе хорд.
Формула Тейлора, 6 час., зачет, экзамен, контрольная работа
31.Производные многочлена и его разложение по степеням. Многочлен Тейлора: решение задачи о приближении функции многочленом в окрестности точки.
32.Остаточные члены в формуле Тейлора в формах Пеано, Лагранжа и Коши.
33.Примеры разложения функций по формуле Маклорена. Использование в приближенных вычислениях. Приложения формулы Тейлора к исследованию графиков функций.
Выпуклые функции, 6 час., зачет, экзамен, контрольная работа
34.Понятие выпуклой функции. Простейшие свойства выпуклой функции.
35.Условия выпуклости.
36.Неравенство Иенсена. Построение графиков функций.
Семестр 2
Неопределенный интеграл, 14 час., зачет, экзамен, контрольная работа
1.Понятие и основные свойства неопределенного интеграла.
2.Таблица интегралов. Замена переменных в неопределенном интеграле и формула интегрирования по частям.
3.Простые дроби и их интегрирование. Разложение правильных дробей на простые методом неопределенных коэффициентов.
742 |
Глава 28. Примерная рабочая программа |
√
4. Интегрирование выражений вида R(x, ax2 + bx + c). Подстановки Эйлера.
5.Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная подстановка.
6.Понятие об эллиптических интегралах. Биномиальные дифференциалы. Теорема Чебышева.
7.Метод Остроградского выделения рациональной части из интеграла.
Определенный интеграл, 12 час., зачет, экзамен, контрольная работа
8.Понятие определенного интеграла. Его геометрический и физический смысл. Пример неинтегрируемой по Риману функции. Теорема об ограниченности интегрируемой по Риману функции. Понятие несобственного интеграла.
9.Суммы Дарбу и их геометрический смысл. Верхний и нижний интегралы Дарбу. Теорема Дарбу.
10.Необходимое и достаточное условия интегрируемости по Риману. Интегрируемость по Риману непрерывных функций. Интегрируемость по Риману кусочно непрерывных функций. Интегрируемость по Риману монотонных функций.
11.Свойство аддитивности определенного интеграла. Интеграл по ориентируемому отрезку. Оценки интегралов.
12.Теорема о среднем. Обобщенная теорема о среднем. 13.Определенный интеграл с переменным верхним пределом (непрерывность и дифференцируемость.) Формула НьютонаЛейбница. Связь определенного интеграла с неопределенным. Замена переменной и формула интегрирования по частям.
Приложения определенного интеграла, 4 час., зачет, экзамен
14.Вычисление длины дуги кривой, заданной в параметрическом и непараметрическом виде.
15.Площадь криволинейного сектора при различных способах задания сектора.
Приближенные методы вычисления определенного интеграла, 4 час., зачет, экзамен
16.Формула прямоугольников, формула трапеций.
17.Формула Симпсона.
Функции нескольких переменных, 34 час., зачет, экзамен, контрольная работа
18. Многомерное евклидово пространство. Неравенства Коши и Минковского. Открытые и замкнутые множества. Ограниченные и неограниченные множества.
Глава 28. Примерная рабочая программа |
743 |
19.Лемма Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости последовательности точек.
20.Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Повторные пределы.
21.Основные теоремы о непрерывных функциях нескольких переменных.
22.Частные производные. Полный дифференциал. Условие существования полного дифференциала функции в точке.
23.Равенство смешанных производных. Конечно-разностная аппроксимация частных производных второго порядка.
24.Производные сложных функций.
25.Полный дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
26.Дифференциалы высшего порядка. Однородные функции. Формула Эйлера для однородных функций.
27.Производная по направлению. Градиент и его геометрический смысл.
28.Линии уровня функций двух переменных и их свойства.
29.Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
30.Необходимые условия локального экстремума для функции нескольких переменных
31.Достаточные условия локального экстремума для функции нескольких переменных 32,33. Теорема о неявной функции.
34.Задача на условный экстремум. Правило неопределенных множителей Лагранжа.
Методические указания – [1]-[3]
Раздел 3. Учебно-методические материалы дисциплины.
3.1. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ.
Номера задач и упражнений даны по сборнику Б.П. Демидовича [4]. Объем указанных ниже заданий следует рассматривать как минимальный.
Семестр 1
1. 1 неделя (метод математической индукции) 4 час.
№№ 1-10.1.
744 |
Глава 28. Примерная рабочая программа |
2. 2 неделя - 4 неделя (исследование функций без использования понятия производной) 12 час.
№№ 151-170, 175, 176, 178-180, 183-195, 199-208, 21-29, 209230, 253-262, 266-273, 288-322, 323-360, 369-371.
3. 5 неделя - 6 неделя (предел последовательности) 8 час.
№№ 41-69, 72, 74, 75, 77-93, 101-115, 116-119, 131-134, 142145.
4. 7 неделя - 11 неделя (предел функции) 20 час.
№№ 381-399, 401-407, 411-428, 435-465, 471-480, 482-505, 511530, 541-563, 564-576, 581-597, 613-625, 627, 641-643, 646-658, 675-731, 744-745, 759-762, 767-772, 779, 787-800, 802, 808-813.
5. 12 неделя - 15 неделя (производная) 16 час.
№№ 821-824, 829-831, 836-983, 996, 999-1008, 1034-1054, 10571060, 1065-1066, 1085-1096, 1111-1144, 1156-1178, 1191-1207, 1225, 1228.
6. 16 неделя - 18 неделя (основные теоремы дифференциального исчисления, формула Тейлора, исследование функций, выпуклые функции) 12 час.
№№ 1235-1237, 1251, 1254-1255, 1268-1278, 1289, 1298-1307, 1314, 1318-1374(25 задач), 1377-1387, 1414-1423, 1429-1449, 14711554(25 задач), 1556-1568.
Семестр 2
1. 1 неделя - 7 неделя. (техника неопределенного интегрирования) 28 час.
№№ 1628-1650, 1655-1666, 1674-1693, 1721-1730, 1741-1758, 1766-1776, 1778-1784, 1786-1789, 1791-1835(каждая вторая), 1836-1849, 1851-1859, 1866-1884, 1891-1900, 1903-1920, 1921, 1926-1932, 1937-1941, 1943-1946, 1952-1955, 1966-1970, 1971-1978, 1981-1989,
1991-2008, 2011, 2012, 2013-2017, 2019-2021, 2025-2035,2043- 2045, 2060-2063, 2068-2078, 2082-2089, 2098-2110, 2126-2168(20 задач)
Глава 28. Примерная рабочая программа |
745 |
2. 8 неделя - 10 неделя. (определенный интеграл) 12 час.
№№ 2181-2183, 2185-2189, 2193-2198, 2200-2205, 2206-2222, 2237, 2239-2258, 2268-2276, 2281-2284, 2290-2292, 2316-2318, 2326, 2328-2330
3. 11неделя -12 неделя. (приложения определенного интеграла) 8 час.
№№ 2397-2403, 2413-2416, 2418-2422, 2426-2428, 2431-2448, 2462-2467, 2472-2478, 2486-2490, 2501-2509, 2516-2521.
4. 13 неделя - 15 неделя. (предел функции нескольких переменных. Частные производные. Дифференциал функции нескольких переменных) 12 час.
№№ 3136-3145, 3151-3159, 3166-3169, 3176-3178, 3181-3184, 3185-3200, 3211-3230, 3231-3233, 3235-32423, 3251-3253,
3256-3264, 3269-3276, 3283-3301, 3321-3325, 3341-3347.
5. 16 неделя - 17 неделя. (формула Тейлора. Неявные функции. Экстремум функций нескольких переменных) 8 час.
3581-3586, 3593-3600, 3361-3365, 3371-3375, 3383-3398, 3400, 3434-3440, 3621-3628, 3651-3660, 3675-3578.
3.2. ОРГАНИЗУЕМАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
Индивидуальное задание по теме "Производная", сем. 1, 1117 недели, собеседование по результатам его выполнения.
Индивидуальное задание по теме "Неопределенный интеграл", сем. 2, 4-16 недели, собеседование по результатам его выполнения.
3.3. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
1.В.А. Зорич, Математический анализ. Ч. 1-2.
2.Л.Д. Кудрявцев, Курс математического анализа. Ч. 1-2.
3.Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1-3.
4.Б.В. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
746 |
Глава 28. Примерная рабочая программа |
Раздел 4. КОНТРОЛЬ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Семестр 1
Теоретические занятия. Сем. 1. Коллоквиум по темам
"Предел последовательности" и "Предел функции".
Лабораторные работы. Сем. 1. Самостоятельная работа
на 5 неделе. Две контрольных работы на 9 неделе и 16 неделе.
Самостоятельная работа студентов. Сем. 1. Индивидуальное задание по теме "Производная"(выдается на 11 неделе).
Зачет. Экзамен.
Семестр 2
Теоретические занятия. Сем. 2. Текущий контроль во
время лекций и лабораторных занятий.
Лабораторные работы. Сем. 2. Контрольные работы на
9 неделе и 17 неделе.
Самостоятельная работа студентов. Сем. 2. Индивидуальное задание по теме "Неопределенный интеграл"(выдается на 4 неделе).
Зачет. Экзамен.
750 |
Авторский и предметный указатель |
алгебраическая, 89 бесконечно малая, 86 выпуклая, 143 график, 50
дифференцируемая, 94, 108, 253
дробно-рациональная,
89
интегрируемая по Риману, 178
иррациональная, 89 максимум, 58 минимум, 58 монотонная, 65
непрерыно дифференцируемая, 104
непрерывная, 70, 245 непрерывно дифференци-
руемая, 104 однородная, 263 ограниченная, 57 первообразная, 151 равномерно непрерывная,
78 точная нижняя грань, 57
точная верхняя грань, 57 целая рациональная, 88 циркуляция векторого поля,
549 частная производная, 251 число, 292 явление
Гиббса, 402 ядро
Дирихле, 395 Фейера, 406
якобиан, 545