Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1265 вузов, 4638 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Волгоградский государственный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ

.pdf
Скачиваний:
874
Добавлен:
27.05.2015
Размер:
3.66 Mб
Скачать
☆

§2. Интегрирование по множеству

511

=

MT (f + g)v(T ) − mT (f + g)v(T ) ≤

T

T

 

 

≤ (MT (f) + MT (g))v(T ) − (mT (f) + mT (g))v(T ) =

T T

= S(f, P ) − S(f, P ) + S(g, P ) − S(g, P ) < 2ε .

Равенство

f(x) dx ± g(x) dx

(f(x) ± g(x)) dx =

C

C

C

докажите самостоятельно.

 

 

ТЕОРЕМА 2.5. Пусть f(x), g(x) — произвольные функции, интегрируемые на ограниченном, замкнутом, измеримом по Жордану множестве A Rn и α = const. Тогда функции f(x)±g(x) и αf(x) — интегрируемы, причем справедливы равенства

1.

αf(x) dx = α f(x) dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x) dx ±

 

 

 

 

 

 

2.

(f(x) ± g(x)) dx =

 

 

g(x) dx.

A

 

A

 

 

 

A

Доказательство. Пусть C — параллелепипед, содержащий мно-

жество A. Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x ,

x

 

 

A

 

0,( )x C \

 

 

 

 

 

A

и

g (x) =

g x ,

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

0,( )x C \

 

 

 

A.

Тогда по теореме 2.4, получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αf (x) dx = α

f (x) dx,

 

C

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и, стало быть,

αf(x) dx = α

 

f(x) dx.

 

A

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точно так же

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(f(x) ± g(x)) dx = (f (x) ± g (x)) dx =

A C

512

f (x) dx ±

Глава 20. Теория интегрирования в Rn

=

g (x) dx =

f(x) dx ±

g(x) dx.

C

C

A

A

 

ТЕОРЕМА 2.6. (свойство аддитивности). Пусть функция y = f(x) интегрируема на непересекающихся множествах A Rn и B Rn. Тогда f(x) интегрируема на множестве A B и

 

f(x) dx =

f(x) dx +

f(x) dx.

A B

A

B

 

Доказательство. Рассмотрим параллелепипед C, содержащий множество A B. Определим функции

f1 (x) =

f2 (x) =

f3 (x) =

 

f x ,

x

A

0,( )x A

 

 

f x ,

x

B

0,( )x B

 

f(x), x A B 0, x A B.

Так как A и B не пересекаются, то

f3 (x) = f1 (x) + f2 (x).

Следовательно,

 

 

 

f(x) dx = f3 (x) dx = f1 (x) dx + f2 (x) dx =

A B

C

C

C

= f(x) dx + f(x) dx.

AB

§3. Сведение кратного интеграла к повторному

513

§3. Сведение кратного интеграла к повторному

3.1.Случай параллелепипеда

ТЕОРЕМА 3.1 (теорема Фубини2). Пусть A

Rn, B Rm — замкнутые параллелепипеды и z = f(x, y)

— функция (n + m) переменных, интегрируемая по параллелепипеду A × B. Предположим, что z = f(x, y) интегрируема по параллелепипеду B при любом фиксированном

x A. Пусть

 

 

 

g(x) = f(x, y) dy.

B

Тогда функция g(x) интегрируема по A, причем

g(x) dx =

f(x, y) dx dy.

AA×B

ЗАМЕЧАНИЕ. Вообще-то данная теорема была доказана задолго до появления известной в теории функций теоремы Фубини, частным случаем которой она является. Однако в течение ряда лет, теоремы, позволяющие сводить вычисление кратных интегралов к вычислению повторных, принято называть теоремами типа теоремы Фубини.

Доказательство. Через PA и PB будем обозначать разбиения параллелепипедов A и B, соответственно. Пусть TA — параллелепипед разбиения PA. Разбиения PA и PB порождают разбиения P параллелепипеда A × B, причем TA × TB — параллелепипед разбиения P.

Тогда

 

 

 

 

S(f, P ) = mTA×TB (f)v(TA × TB) = mTA×TB (f)v(TA)v(TB) =

TA,TB

 

TA,TB

 

=

 

mTA×TB (f)v(TB) v(TA).

(1)

TA

 

TB

 

 

 

 

 

Заметим, что для любого x TA справедливо неравенство:

m

TA×TB

f

inf

 

TB

f(x, y)

inf f(x, y).

 

( ) = x TA, y

 

 

≤ y

 

TB

 

 

 

 

 

 

 

 

2Фубини Гвидо (19.1.1879 – 6.6.1943). Род. в Венеции (Италия). Научные исследования Фубини относятся к теории функций и геометрии.

514

Глава 20. Теория интегрирования в Rn

Тогда

 

 

 

B) ≤

 

 

B) ≤

m

TA×TB

f v T

inf

f x, y v T

 

( ) (

y TB

( ) (

 

 

 

 

 

 

 

TB

 

 

 

TB

 

 

 

 

 

 

 

 

≤f(x, y) dy = g(x).

B

В силу произвольности x, из данного неравенства получаем

 

 

m

TA×TB (

f v T

 

 

inf g(x).

 

TB

 

 

) (

 

B) ≤ x TA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя равенство (1) имеем

 

 

 

 

 

 

 

S

(

f, P

) ≤

 

 

 

 

( )

(

T

A)

(2)

x TA

 

 

inf

g x

v

.

 

 

 

 

 

 

 

TA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

S(f, P ) ≥

sup g(x)v(TA).

 

 

 

 

 

 

x

 

 

TA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TA

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как функция f(x, y) интегрируема по A × B, то для любого ε > 0 существует разбиение P такое, что

S(f, P ) − S(f, P ) < ε ,

§3. Сведение кратного интеграла к повторному

515

а из (2) и (3) получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sup g(x)v(T

A

)

−

inf

g(x)v(T

A

) < ε .

x TA

 

 

 

x TA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TA

 

 

 

 

 

TA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, g(x) интегрируема по A. Из (2) имеем

S(f, P )

≤ TA

 

inf g(x)v(T

 

)

≤

g(x) dx.

 

x TA

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

Переходя в данном неравенстве к точной верхней грани по разбиениям P , получаем

 

f(x, y) dxdy ≤

g(x) dx.

A×B

A

 

Из (3) аналогично

f(x, y) dxdy ≥

 

 

g(x) dx.

A×B

A

 

Таким образом,

f(x, y) dxdy =

 

 

g(x) dx.

A×B

A

 

ТЕОРЕМА 3.2. Пусть A Rn, B Rm — замкнутые

параллелепипеды и z = f(x, y) — непрерывная функция на

A × B. Тогда

dy

 

 

 

 

dx

f(x, y) dy =

f(x, y) dx =

f(x, y) dx dy.

A

B

B

A

 

A×B

 

Доказательство. Так как функция f(x, y) непрерывна на A× B, то она интегрируема на A × B. Аналогично, из непрерывности по каждой переменной x и y, вытекает интегрируемость f(x, y) по x и по y на B. По теореме 3.1 получаем нужное.

ПРИМЕР 1. Вычислить x1x2 . . . xn dx1 dx2 . . . dxn по

[a1, b1]×[a2, b2]×. . .×[an, bn]. Применяя теорему 3.2, получаем

x1x2 . . . xn dx1 dx2 . . . dxn =

[a1,b1]×[a2,b2]×...×[an,bn]

516 Глава 20. Теория интегрирования в Rn

= a b1

dx1

 

x1x2 . . . xn dx2 . . . dxn =

1

[a2,b2]×...×[an,bn]

= b1

dx1 b2

dx2 . . . bn x1x2 . . . xn dxn =

a1

b1 b2

= x1 dx1 x2 dx2

a1 a2

a2

 

 

an

 

 

 

 

 

 

 

bn

 

 

 

 

 

b12 − a12

 

b22 − a22

 

bn2 − an2

 

. . .

x

 

dx

 

=

 

. . .

.

 

 

 

2

 

 

 

n

 

n

2

2

 

an

3.2.Случай произвольного множества

 

ТЕОРЕМА 3.3. Пусть A Rn, B Rm — замкнутые

 

параллелепипеды, G A × B — произвольное измеримое

 

по Жордану множество, а функция z = f(x, y) — непре-

 

рывна на G. Предположим, что для любого x A мно-

 

жество Gx = {y B : (x, y) G} является измеримым

 

по Жордану. Тогда

 

dx

 

 

 

 

 

 

f(x, y) dx dy =

f(x, y) dy.

(4)

 

G

 

A

Gx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАМЕЧАНИЕ. Если Gx = , то полагаем

 

 

 

 

f(x, y) dy = 0.

 

 

 

 

 

 

Gx

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Определим функцию

 

 

 

 

 

f (x, y) =

f(x, y), (x, y) G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, (x, y) (A × B) \ G.

 

Так как функция f(x, y) непрерывна по y при заданном x и множество Gx измеримо по Жордану, то функция f (x, y) интегрируема по B при фиксированном x A. При этом

f (x, y) dy = f(x, y) dy.

(5)

B

Gx

§3. Сведение кратного интеграла к повторному

517

В силу тех же аргументов, функция f интегрируема на A×B

и

 

f (x, y) dx dy =

f(x, y) dx dy.

(6)

A×B

 

 

G

 

 

 

Тогда

 

 

f (x, y) dx dy =

dx f (x, y) dy =

f(x, y) dx dy =

G

 

A×B

 

A

B

 

=

dx f(x, y) dy.

AGx

Учитывая (2) и (3), получаем требуемое.

СЛЕДСТВИЕ (принцип Б. Кавальери3). Пусть в R3 заданы две фигуры одинаковой высоты (по переменной x3) A

иB, имеющие объемы V1 и V2. Если для любого t сечения

SA(t) = {x = (x1, x2, x3) A : x3 = t},

SB(t) = {x = (x1, x2, x3) B : x3 = t}

имеют одинаковые площади, то V1 = V2.

518

Глава 20. Теория интегрирования в Rn

Доказательство. Не ограничивая общности можно считать, что проекции A и B на ось Ox3 равны отрезку [α, β]. Тогда

V1 =

dx1 dx2 dx3 = β

dx3

 

dx1 dx2 =

 

A

 

 

α

 

SA(x3)

 

= β

dx3

 

dx1 dx2 =

dx1 dx2 dx3 = V2.

αSB(x3) B

ПРИМЕР 2. В пространстве R2 рассмотрим множества

G = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)},

Gx = [ϕ(x), ψ(x)].

Тогда

 

 

ψ(x)

 

f(x, y) dx dy = a b

dx

f(x, y) dy.

G

 

ϕ(x)

 

3Кавальери Бонавентура (1598 – 30.11.1647). Род. в Милане (Италия). В своем основном труде "Геометрия" он развил новый метод определения площадей и объемов, так называемый метод неделимых.

§3. Сведение кратного интеграла к повторному

519

ПРИМЕР 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

|xy| dx dy =

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

|xy| dy =

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

√1−x2

 

 

 

 

 

 

 

 

≤

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

− 1−x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +y

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

√

 

√

 

 

 

 

y dy =

 

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

x

dx

 

(

−

y) dy +

1−x2

 

 

 

| |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

−√1−x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

| |

 

 

−

 

|

 

|

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

x

 

 

1 − x2

+

1 − x2

 

dx =

 

 

 

 

x

(1

 

x2) dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1 0

= − x(1 − x2) dx + x(1 − x2) dx = − (x − x3) dx+

−1 0 −1

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x2

 

x4

 

0

 

 

x2 x4

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ (x − x3) dx = −

2

−

4

 

 

1

+

2

−

4

0

=

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

520

Глава 20. Теория интегрирования в Rn

§4. Понятие о несобственном кратном интеграле

Пусть D Rn — неограниченная область и f(x) — функция, заданная в D. Рассмотрим последовательность ограниченных открытых множеств ∆1, ∆2, . . . , таких что выполнены свойства

1.∞i=1∆i = Rn — есть все пространство Rn;

2.для всех i = 1, 2, . . . выполнено ∆i ∆i+1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Система множеств {∆i}∞i=1 со свойствами 1) и 2) называются исчерпанием пространства Rn.

Всюду далее будем предполагать, что множества D∩∆i для всех i измеримы по Жордану и функция f(x) интегрируема на D ∩ ∆i.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2. Функция f(x) называется интегрируемой в несобственном смысле в неограниченной области D,

если существует

 

 

lim

f(x) dx,

i→+∞

 

D∩∆i

не зависящий от выбора исчерпания {∆i}∞i=1. Данный предел называется несобственным интегралом функции f(x) по об-

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности