И.А. Паначев Рабочая программа, контрольные работы и методические указания по их выполнению для студентов заочной формы обучения (сокращенные сроки обучения на базе среднего проф. образования)

80

где Н – наибольшее значение возмущающей силы; φ – частота этой силы (круговая частота).

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

где ∆стН = Н δ – статический прогиб системы по направлению силы Н от действия этой силы; β – коэффициент нарастания колебаний.

Для определения динамических напряжений в упругой системе, вызванных её вынужденными колебаниями, следует найти напряжения от статически действующей силы Н и умножить их на динамический коэффициент :

81

где σстР – напряжения от статически действующей силы Р.

15.4. Пример На двух балках двутаврового сечения (рис.15.5,а) установлен дви-

гатель весом Q, делавший n оборотов в минуту. Центробежная сила инерции, возникающая вследствие неуравновешенности вращающихся частей двигателя, равна Н. Собственный вес балок и силы сопротивления можно не учитывать.

Требуется найти : 1) частоту собственных колебаний ω ; 2) частоту изменения возмущающей силы φ; 3) коэффициент нарастания колебаний β; 4) динамический коэффициент kД; 5) наибольшее нормальное напряжение в балках, если дано: двутавр №20, l = 1,9 м, Q = 19 кН, Н = 4 кН, n = 800 об/мин.

Решение 15.4.1. По способу Верещагина (приложение табл. 6) определяем

прогиб сечения балки в месте расположения двигателя от вертикальной силы, равной единице (рис.15.5,б):

если учесть, что

82

E = 2 105 МПa,

Ix = 2 Ix I = 2 1840 = 3680cм4 = 3,68 10−5 м4 ,

где IXI = 1840 см4 – по ГОСТ 8239-72 осевой момент инерции для двутавра №20.

Тогда

По формуле (15.10) находим частоту собственных колебаний

где g = 9,81 м/с2.

15.4.2. Вертикальная составляющая центробежной силы Н представляет собой периодическую силу (15.11) :

H(t) = H cos(ϕt),

вызывающую поперечные колебания в вертикальной плоскости. Частота изменения возмущающей силы Н(t) будет равна

ϕ = 2πn = πn = 3,14 800 =83,7,1 c, 60 30 30

где n – число оборотов вала двигателя в минуту. 15.4.3.Определяем коэффициент нарастания колебаний по формуле

(15.16) :

Так как коэффициент β оказался отрицательным, то в дальнейшем расчёте учитываем абсолютную величину.

15.4.4.По формуле (15.17) определяем динамический коэффициент kД =1 + НQ β =1 +194 1,79 =1,38.

15.4.5.По формуле (15.19) определяем полное наибольшее нормальное напряжение в балке. Сечение В (рис.15.5,а) :

где WX = 2WXI = 2·184 = 368 см3 = 368·10-6 м3 (рис.15.5,а и

ГОСТ 8239-72).

16. РАСЧЁТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ

Опыт эксплуатации и исследований конструкций машин и сооружений, воспринимающих переменную циклически меняющуюся нагрузку, показывает, что часто прочность таких конструкций оказывается существенно ниже, чем при статическом нагружении. Причиной такого поведения являются переменные напряжения. Они приводят к образованию внутри материала микротрещин между зернами материала. При определенной для каждой комбинации условий величине переменных напряжений эти трещины прогрессируют и объединяются в макротрещины. В вершинах таких макротрещин возникает большая концентрация напряжений, что ускоряет процессы и приводит к лавинообразному катастрофическому разрушению детали конструкции. Описанные процессы были названы усталостным разрушением материала. В настоящее время под усталостью понимают процесс постепенного накопления повреждений в материале при действии переменных напряжений, приводящих к образованию макротрещин и разрушению. Свойство материала сопротивляться усталости называется выносливостью.

Максимальное напряжение, при котором материал способен сопротивляться, не разрушаясь, при любом произвольно большом числе повторений переменных нагрузок, называется пределом выносливости или пределом усталости.

Изменение напряжений за один период называется циклом напряжений. Различным законам изменения напряжений соответствуют различные виды циклов. Симметричный цикл возникает, если σmax = =σmin, т.е. наибольшее и наименьшее напряжения цикла равны по модулю. Асимметричный цикл можно представить как сумму напряжений

84

симметричного цикла с амплитудным значением σа и среднего постоянного напряжения σm (рис.16.1). В случаях, когда σmax или σmin равны нулю, циклы называются пульсирующими или отнулевыми.

Для асимметричного цикла (рис. 16.1) будут справедливы следующие зависимости

Для характеристики цикла служит коэффициент асимметрии цикла, определяемый выражением

Коэффициенты запаса прочности при изгибе nσ и при кручении nτ определяются соответственно из выражений

где σ-1, τ-1 – соответственно пределы выносливости при симметричных циклах при изгибе и кручении; Кσ, Кτ – эффективные коэффициенты концентрации;

85

ε – масштабный коэффициент; β – коэффициент, учитывающий качество обработки поверхности; ψσ,ψτ– коэффициенты, характеризующие чувствительность материала к асимметрии цикла, соответственно, при изгибе и кручении.

Для определения коэффициентов запаса при изгибе и кручении необходимо найти максимальные напряжения соответствующих циклов по формулам изгиба и кручения, а затем остальные напряжения соответствующих циклов по их коэффициентам асимметрии и использовать их в формулах (16.4). По найденным значениям nσ и nτ вычисляется общий коэффициент запаса прочности и сравнивается с нормативным (заданным) значением (n > n0) :

где dпр – старый диаметр вала, для которого производится проектировочный расчёт; n – вычисленное значение коэффициента запаса прочности; n0 – нормативное (заданное) значение коэффициента запаса прочности.

Далее все расчёты повторяются для нового диаметра вала до тех пор, пока не будет удовлетворено условие прочности.

16.1. Пример Определить диаметр вала, если дано: Ми = 4,2 кН.м ; Мк = 3,5 кН.м ;

n0 = 3 ; Rи = 0,4 ; Rкр = - 0,7 ; материал – сталь 40Г; III, b = 0,005 (полу-

круглая выточка).

Решение 16.1.1. Определяем диаметр вала из условия статической прочно-

сти:

где Мр – расчётный момент по 3-й теории прочности;

По ГОСТ 6636 – 69 принимаем стандартный диаметр d = 80 мм. 16.1.2. Определение коэффициента запаса прочности.

Механические характеристики для данного материала (сталь 40Г) :

σТ =360МПа, σb = 700МПа,

σ−1 = 0,31σb +70 = 0,31 700 +70 = 287МПа, τ−1 = 0,54σ−1 = 0,54 287 =155МПа,

ψσ = 0,05 , ψτ = 0.

Концентратор – полукруглая выточка. Механическая обработка – грубая шлифовка (назначаем конструктивно).

Из таблиц и графиков приложения найдём коэффициенты, учитывающие факторы, которые влияют на предел выносливости:

условие прочности выполняется.

17.Список рекомендуемой литературы

1.Инженерные расчёты в машиностроении: Энциклопедический справочник. - М.: Наука, 1961.- Т.1.-Кн.2.-456 с.

2.Писаренко Г.С. Справочник по сопротивлению материалов/ Г. С. Писаренко, В.А. Агарев, А.В. Квитка. - Киев: Наукова думка, 1975. - 704 с.

3.Фесик С.П. Справочник по сопротивлению материалов. - Киев:

Высш. шк., 1962.- 280 с.

Приложение

1. Геометрические характеристики сечений