И.А. Паначев Рабочая программа, контрольные работы и методические указания по их выполнению для студентов заочной формы обучения (сокращенные сроки обучения на базе среднего проф. образования)

70

Рекомендуемые величины коэффициента запаса устойчивости nу существенно зависят от материала стержня: для стали nу равен 1,5…3,0; для дерева 2,5…3,5; для чугуна 4,5…5,5.

Допускаемая сжимающая нагрузка из расчёта на устойчивость :

[P]= Рnкр . (14.2)

y

14.1.Формула Эйлера для определения критической нагрузки

Вобщем случае сжатого стержня критическое значение нагрузки может быть выражено, как

kp (µl)2

где Е – модуль упругости; Imin – наименьший из главных центральных моментов инерции сечения; l – полная длина стержня; µ – коэффициент приведённой длины.

Величина коэффициента µ зависит от способа крепления торцевых и промежуточных сечений стержня и для наиболее употребительных расчётных схем приведена в приложении .

Основная формула (14.3) для критического значения нагрузки справедлива только при статических нагрузках и при критических напряжениях, не превышающих предела пропорциональности материала

14.2. Определение критической силы за пределами пропорциональности. Формула Ясинского

Принимаем следующие обозначения:

наименьший радиус сечения стержня;

71 µ1 – приведённая длина стойки;

гибкость стержня.

Критические напряжения по Эйлеру :

Обозначим через λпред гибкость стержня, для которого критическое напряжение σКР равно пределу пропорциональности σПЦ :

Для стержней, у которых λ > λпред (для стали ст.3 λпред = 100), критическое напряжение σКР < σПЦ и для определения критической силы

справедлива формула Эйлера (14.3).

Для стержней, у которых λ < λпред, критические напряжения σКР > >σПЦ, поэтому для определения критической силы нужно пользоваться эмпирической формулой Ф.С. Ясинского :

где а и b – числовые коэффициенты, имеющие размерность напряжения- (приложение п.5); F – площадь сечения стержня; λ – гибкость стержня, определяемая по формуле (14.6).

Обозначим через λ0 – гибкость стержней, для которых критическое

напряжение σКР = а – b·λ равно предельному напряжению при сжатии: для пластичных материалов σкр = σт; для хрупких материалов σкр = σв. (14.10)

Эмпирическая формула (14.9) используется для определения критической силы в случае стержней, гибкость которых заключена в ин-

тервале от λ0 до λпред (для стали ст.3.40 < λ < 100). Стержни, у которых λ < λ0, называются стержнями малой гибкости и рассчитываются только

на прочность.

Значения коэффициентов а, b и значения гибкостей λпред, λ0 для некоторых материалов даны в приложении п.5.

72

14.3. Расчёт на устойчивость по коэффициенту понижения φ допускаемого напряжения на сжатие [σ]

где Fбр – полная площадь поперечного сечения стержня (при расчёте на устойчивость местные ослабления сечения практически не изменяют величину критической силы); [σ] – допускаемое напряжение при расчёте на устойчивость, которое равно

Значения коэффициента понижения φ, учитывающие запас устойчивости и зависящие от материала и гибкости стержня, приведены в приложении.

Расчётная формула на устойчивость имеет вид

Так как в формуле (14.13) два неизвестных – FБР и φ, то подбор сечений ведут путём последовательных приближений, варьируя величину коэффициента φ. В первом приближении берут φ = 0,5…0,6. Определяют требуемую площадь FБР и подбирают сечение. Подобранное сечение проверяют и устанавливают фактическое значение φ1табл.

Если φ1табл значительно отличается от φ1, то и напряжение будет отличаться от допускаемого. Тогда берётся другое приближение, в ко-

И так далее, пока φ и φтабл не совпадут или будут отличаться в пределах 5%.

73

14.4. Пример

Стальной стержень длиной l сжимается силой Р (рис 14.1). Требуется: 1) найти размеры поперечного сечения при допускае-

мом напряжении на простое сжатие [σ] = 160 МПа (расчёт производить последовательными приближениями, предварительно задавшись коэффициентом φ = 0,5); 2) найти критическую силу и коэффициент запаса устойчивости, если дано: Р = 200 кН; l = 2,2 м.

Решение

14.4.1. Первое приближение Зададим φ1 = 0,5.

По формуле (14.13) находим требуемую площадь поперечного се-

i = 0,337a = 0,337 6,25 10−2 = 2,11 10−2 м.

По формуле (11.6) находим гибкость стержня

где µ = 2 (см. приложение).

По таблице приложения для λ = 208,5, φ1табл = 0 « φ1 = 0,5. 14.4.2. Второе приближение

По приложению п.4, интерполируя, находим коэффициент

ϕ2таб = 0,36 − 0,36 − 0,32 7,7 = 0,33 ϕ2 = 0,25. 10

14.4.3. Третье приближение

ϕ3 = ϕ2 +ϕ2табл = 0,25 +0,33 = 0,29. 2 2

Вычисляем необходимую площадь

75

i = 0,337a = 0,337 8,21 10−2 = 2,77 10−2.

Гибкость стержня

Интерполируя по таблице приложения, находим φ3таб. = 0,293. Вычисляем напряжение

Недонапряжение составляет

160 −158,4 100% =1%.

160

Окончательно принимаем

а= 8,21·10-2 м.

14.4.4.Определение критической силы и коэффициента запаса устойчивости

Гибкость стержня λ = 158,8 > λпред = 100 . Критическая сила по формуле (14.3) :

где Е = 2·105 МПа – модуль продольной упругости для стали.

= (8,21 10−2 ) −(0,6 8,21 10−2 )4 =331,66 10−8 м4. 12

Коэффициент запаса устойчивости определяем по формуле (14.1) :

n y = PPkp = 337,8200 =1,69.

76

15. ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ НАГРУЗОК

Статической называется нагрузка, изменение величины которой от нуля до конечного значения происходит настолько медленно, что ускорения частиц элементов конструкции от такой нагрузки невелики. Поэтому возникающими при этом силами инерции можно пренебречь.

Часто нагрузки имеют динамический характер, изменяясь во времени с большой скоростью. Действие таких нагрузок сопровождается колебанием сооружений и отдельных их элементов.

Динамический расчёт имеет цель – обеспечить необходимую прочность конструкции и не допустить значительных её деформаций.

Общий метод расчёта при динамической нагрузке основан на принципе Д’Аламбера. Согласно этому принципу, любой элемент конструкции в каждый момент времени можно рассматривать, как находящийся в состоянии равновесия, если к действующим на него внешним силам добавить силу инерции.

Силы инерции (как и собственный вес) представляют собой объёмные силы, так как они приложены к каждой элементарной частице объёма тела, направленные в сторону, противоположную ускорению.

Величина элементарной силы инерции равна

где dm – масса элементарной частицы; а – ускорение элементарной частицы.

где dG – вес элементарной частицы; g – ускорение силы тяжести

(g = 9,81 м/с2).

Следовательно :

где γ – объёмный вес материала; dv – объём элементарной частицы. При расчёте стержневых систем объёмные силы инерции заменяют

силами инерции, распределёнными по длине каждого стержня, т.е. распределённой погонной инерционной нагрузкой.

77

Интенсивность этой нагрузки

15.1. Колебание систем с одной степенью свободы Значительная доля повреждений частей современных машин про-

исходит вследствие напряжений, возникающих при колебаниях, возбуждаемых различными периодическими или внезапно приложенными силами.

В некоторых вибрационная нагрузка сама может послужить причиной разрушения, особенно при возникновении резонансных состояний.

Рассмотрим упругую балку, к которой в одном сечении прикреплён груз Р, во много раз превышающий вес балки (рис.15.1,а), поэтому массой балки при расчёте будем пренебрегать (невесомая балка). Если положение любого сечения балки в данный момент времени определяется одним параметром, например прогибом какого-либо одного сечения, то такая балка представляет собой систему с одной степенью свободы. К ним относятся системы, показанные на рис.15.1,б,в,г.

Рис. 15.1. Системы с одной степенью свободы

78 15.2. Свободные колебания системы с одной степенью свободы

Рассмотрим невесомую балку с прикреплённым к ней грузом, вес которого Р (рис. 15.2).

Упругая система, выведенная силой из положения равновесия, после прекращения действия будет совершать свободные или собственные колебания. Дифференциальное уравнение свободных колебаний системы

где ∆˝ - вторая производная; ∆ – прогиб, отсчитываемый от положения статического равновесия.

где РI – сила инерции груза в рассматриваемый момент времени; δ – прогиб балки под грузом от силы Р.

Движение массы представляет собой гармоническое колебание

где А – амплитуда колебаний; φ – начальная фаза; t – время, отсчитываемое от начала колебания; ω – частота собственных колебаний.

График этого колебания показан на рис. 15.3.

79

Продолжительность полного цикла называется периодом колебания:

Частота собственных колебаний :

15.3. Вынужденные колебания системы

Если колебания системы вызываются силой, действующей по ка- кому-либо закону, то они называются вынужденными.

Предположим, что внешняя сила приложена к системе в том же сечении, где приложен груз Р, и величина её изменяется по периодическому закону (рис.15.4) :