Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

где усреднение по спинам учтено в нуклонном (адронном) состоянии N , J † – эрмитово сопряженный ток1. Важно отметить, что

представленные рассуждения и, соответственно, выражение (1.6) не зависят от конкретного вида взаимодействия и носят общий характер, поэтому индекс типа взаимодействия в (1.6) отсутствует. Таким образом, адронный тензор может рассматриваться как фу- рье-образ коррелятора двух векторных токов (электромагнитных или слабых) J x в адроном состоянии с 4-импульсом p [4].

Тогда, в системе покоя нуклона-мишени дифференциальное сечение будет иметь вид

где d d cos d – телесный угол, определяющий направле-

ние вылета лептона в конечном состоянии.

Адронный тензор W эл является лоренцевым тензором второго ранга, зависящим от 4-импульсов p и q. Лептонный тензор явля-

ется симметричным в данном случае. Поэтому тензор W эл должен

содержать только симметричные члены. Из закона сохранения токаJ эл 0 следует, что справедливо q W эл q W эл 0. С учетом

вышеизложенного адронный тензор W эл при усреднении по спи-

нам может быть записан в виде симметричного ковариантного разложения общего вида:

ного тензора, ответственный за нарушение пространственной чет-

1 Как известно, в случае электромагнитного взаимодействия для токов справедливо J † J .

28

ности в слабом взаимодействии (см. ниже). Можно показать, что для указанного разложения справедлива следующая форма1:

Величины W1эл и W2эл называются адронными структурными функциями2. Данные функции будут зависеть только от скалярных (инвариантных) кинематических переменных, находящихся в адронной части диаграммы взаимодействия. Такими скалярами являются Q2 и инвариантная масса конечного адронного состояния,

которая, в свою очередь, является функцией M X2 M X2 ,Q2 . Та-

ким образом, структурные функции зависят от двух кинематиче-

В случае электромагнитного взаимодействия сечение неполяризованного ГНР может быть выражено через структурные функции следующим образом:

Видно, что в случае неполяризованного рассеяния сечение ГНР зависит только от угла рассеяния и не зависит от азимутального угла , по которому может быть выполнено интегрирование.

Обычно вводятся безразмерные адронные (нуклонные) структурные функции следующего вида:

Тогда сечение глубоко неупругого рассеяния неполяризованного заряженного лептона при обмене виртуальным фотоном в рамках приближения Борна и в пренебрежении массой лептона можно записать следующим образом:

1В случае учета спина частиц, например, при рассеянии поляризованных пучков выражение для адронного тензора будет существенно сложнее

[20].

2Иногда в литературе данные величины называют неупругими формфакторами, в отличие от упругих формфакторов, используемых для описания, соответственно, упругого рассеяния.

29

Для удобства читателя ниже приводится ряд наиболее важных выражений для сечения ГНР в различных кинематических перемен-

ных. Учитывая что dQ2dx dQ2 dy dxdy xSdxdy,

Учитывая определение глубоко неупругого кинематического режима и, в частности, условие Q2 mN2 , данные формулы могут быть преобразованы к более компактному виду:

На основании оптической теоремы можно получить следующую полезную взаимосвязь полного сечения поглощения виртуального фотона и структурными функциями [18]:

продольная и поперечная структурные функции.

Необходимо отметить, что приведенные выражения (1.10), (1.11) для сечения ГНР справедливы только при электромагнитном взаимодействии, сохраняющем пространственную четность P .

Действуя согласно общей схеме для ГНР, в случае слабого взаимодействия с заряженными токами, например, для процессов рас-

30

сеяния лептонов N l X , l N X , а также для соответствую-

щих процессов для антилептонов vN l X , l N X , можно получить следующие результаты [20]. В случае эффективного (точечного) четырехфермионного взаимодействия квадрат амплитуды в (1.3) имеет вид

где GF – постоянная Ферми. Лептонный и адронный тензоры для

l N -рассеяния имеют следующий вид [21]:

l N -рассеяния выражение для адронного тензора получается

аналогично с учетом V-A структуры слабого взаимодействия и замены соответствующих токов на эрмитово сопряженные в (1.6). Важно отметить, что в пределе безмассовых лептонов структурные функции Wiсл, i 4 6 не дают вклад в сечение процесса. Сечение

l N l N -рассеяния для слабого взаимодействия имеет сле-

дующий вид:

Для слабого взаимодействия аналогично вводятся безразмерные адронные структурные функции:

mNW1сл ,Q2 F1сл x,Q2 , W2,3сл ,Q2 F2,3сл x,Q2 . (1.15)

1 Видно, что в отличие от электромагнитного взаимодействия, в данном случае лептонный и адронный тензоры являются антисимметричными.

31

Таким образом, в данном случае вводится структурная функция

F3 x,Q2 , которая определяет корреляцию аксиального и вектор-

ного токов [19]. Данная структурная функция отлична от нуля только для процессов слабого взаимодействия и соответствует нарушению пространственной четности.

Сечение глубоко неупругого l N l N -рассеяния в рам-

ках четырехфермионного приближения для заряженных токов имеет следующий вид:

Учитывая, что dQ2 2mN Exdy и условия глубоко неупругого кинематического режима, выражение (1.16) можно записать в более общем виде, справедливом для ГНР как с заряженными, так и с нейтральными слабыми токами:

где коэффициент пропорциональности A зависит от области значений рассматриваемых энергий (переданных импульсов). В области Q2 MW2 ,Z , когда слабое взаимодействие достаточно хорошо описывается в рамках точечного 4-фермионного приближения, справедливо A GF2 mN E . Видно, что полное сечение рассеяния линейно растет с энергией. Такое поведение типично также для рассеяния (анти)нейтрино на точечном заряженном лептоне. Важно отметить, что экспериментальное наблюдение аналогичного поведения в ГНР служит дополнительным подтверждением существования точечноподобных составляющих нуклона. При высоких энергиях и Q2 MW2 ,Z процесс ГНР описывается, как было указано

32

выше, в рамках электрослабой теории и необходимо учитывать обмен виртуальным W Z0 -бозоном между лептоном и нуклоном при рассеянии с заряженными / нейтральными токами (CC/NC). В общую формулу для дифференциального сечения (1.17) будут входить структурные функции для заряженных, FCC , или нейтраль-

ных, F NC , токов.

В рамках электрослабой теории обмен только W Z0 -бозоном возможен для реакций с заряженными токами или для реакций вида N X соответственно. Тогда, с учетом обмена только массивными калибровочными бозонами, справедливо

га теории электрослабого взаимодействия. В первом случае спра-

данные структурные функции описывают поглощение Z 0 -бозона нуклоном-мишенью.

Однако для реакций l N l X возникает более сложная ситуация. В рамках электрослабой теории при высоких энергиях для указанных процессов глубоко неупругого рассеяния с нейтральными токами необходимо учитывать как обмен фотоном, так и обмен нейтральным промежуточным Z 0 -бозоном. В выражении (1.17) A 4 2SQ4 и структурные функции для ГНР с нейтральными

33

вследствие Z0 интерференции в электрослабой теории. В данном случае возникают дополнительные важные особенности. Вследствие нарушения P -четности в слабых взаимодействиях, сечение будет различно для правых и левых лептонов даже в случае неполяризованной мишени. Для ГНР с участием левого / правогоLR заряженного лептона с нейтральными токами в соответст-

вующем кинематическом режиме справедливо:

В физике для обозначения отсутствия зависимости от какоголибо масштабного параметра (Q2 , массы или длины) используется термин «масштабная инвариантность» или «скейлинг».

Определение 1.3. Гипотеза бьеркеновского скейлинга состоит в утверждении, что в пределе больших Q2 при фиксированном x

величины Fi x,Q2 , i 1 3 являются функциями только перемен-

ной x. Таким образом,

Q x фикс.

34

В рамках данной гипотезы безразмерные структурные функции становятся независимыми от какого-либо масштабного параметра.

Величины Fi x , i 1 3 часто называют скейлинговыми

(структурными) функциями [22].

Явление зависимости структурных функций только от одной переменной x получило, соответственно, название «бьеркеновский скейлинг». Данное явление не является уникальным в физике высоких энергий. Для адрон-адронных взаимодействий хорошо известны «фейнмановский скейлинг» и «KNO-скейлинг». Ранние экспериментальные данные согласовались с бьеркеновским скейленгом, как это видно из рис. 1.3.

Рис. 1.3. Ранние экспериментальные данные для структурной функции W2 при указанном значении x, полученные для ep -рассеяния на SLAC ( W2 F2 в

бьеркеновском пределе) [10]

§2. Партонная модель

Физическая интерпретация бьеркеновского скейлинга дается в рамках партонной модели [23], которая является субъядерным вариантом обычного импульсного приближения в теории высоко-

35

энергетического рассеяния составных частиц со слабосвязанными составляющими [22]. Процесс лептон-нуклонного ГНР рассматривается как некогерентное упругое рассеяние на точечноподобных объектах, составляющих нуклон и названных партонами1 (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Лептон-нуклонное ГНР в рамках партонной модели (а). Элементарный процесс лептон-партонного рассеяния (б)

Для более удобной интерпретации результатов эксперимента на основе партонной модели рассматривается некоторая выделенная система отсчета, называемая брейтовской. Брейтовская система определяется требованием, что лептон имеет одинаковую энергию в начальном и конечном состоянии, то есть виртуальный фотон переносит только трехмерный импульс, но не энергию2. В данной системе отсчета PB Q 2x – модуль 3-импульса нуклона. Далее,

система Брейта может быть выбрана таким образом, что 3-импульс

1Как известно, заряженные партоны с полуцелым спином отождествляются с кварками, которые впервые были введены для расчета спектроскопических свойств адронов. В литературе термин «партон» употребляется в качестве общего названия структурных составляющих адрона, например, в рамках КХД партонами называют кварки и глюоны.

2Это означает, в частности, что 4-импульс фотона является пространст- венно-подобным.

36

начального лептона и нуклона будут антипараллельны. Таким образом, в указанной системе отсчета для 4-импульсов нуклона и фотона можно записать:

pB PB2 mN2 ,0,0, PB ; qB 0,0,0, Q .

В бьеркеновском пределе, когда Q2 mN и x – конечен, вы-

полняется условие PB Q 2x и, таким образом, нуклон яв-

ляется быстродвижущимся1. Существенным достоинством системы бесконечного импульса является то, что она позволяет интерпрети-

ровать трехмерный вектор передачи импульса Q как разрешающую способность (длину волны) частицы, зондирующей структуру нуклона, то есть как некоторый масштабный параметр. В данном случае 4-импульс нуклона можно представить как некогерентную сумму импульсов параллельного потока партонов, импульс каждого из которых равен xpB 0 x 1 . Таким образом, в рамках «наив-

ной» кварк-партонной модели бьеркеновская переменная имеет достаточно простой смысл – это часть импульса нуклона, которую уносит партон, участвующий в процессе соударения. Данная интерпретация справедлива только в системе бесконечного импульса, когда массы партонов и их поперечные импульсы считаются пренебрежимо малыми. Условие некогерентности партонной системы с хорошей точностью выполняется в экспериментах при энергиях, достижимых на действующих ускорителях. В силу закона сохранения энергии виртуальный фотон может быть поглощен только партоном с 4-импульсом, равным Q2. После поглощения будет меняться только направление, но не модуль вектора импульса партона. Время взаимодействия между фотоном и партоном может быть определено как время перекрытия между партоном и полем фотона tin 2mp Q2 , где mp – эффективная масса партона. Время жизни

партона может быть оценено следующим образом: tp Qm2p tin .

Следовательно, при больших Q2 действительно можно рассматривать партоны как (квази)свободные и пренебречь возможными

1 В литературе выбранную указанным способом систему отсчета часто называют системой бесконечного импульса.

37