Окороков Фракталы в фундаменталной физике.Фракталные свойства множественного образования частиц и топология выборки 2009

t

ds w ,s uk s kuk .

0

Решением данного уравнения являются

ляется как совокупность одномерных винеровских процессов, удовлетворяющая следующим свойствам:

wt i 0, wt i ,ws j ij min t,s .

Необходимо отметить, что вероятностная мера, являющаяся распределением винеровского процесса wt , t 0,1 на борелевской

-алгебре пространства C 0,1 непрерывных действительных

функций, играет важную роль в теории меры в бесконечномерных функциональных пространствах и называется винеровской мерой.

Определение 3.56. Случайным процессом белого шума или белым шумом называется стационарный случайный процесс nt , t 0 с постоянной спектральной плотностью и корреляционной (обобщенной) функцией следующего вида:

n t,s 2 t s ,

где 2 – некоторая положительная постоянная, x – (обобщен-

ная) сингулярная функция Дирака ( -функция).

Процесс белого шума широко используется в физических приложниях для описания случайных возмущений с очень малым временем корреляции. Одним из примеров таких явлений является

148

«тепловой шум» – пульсации силы тока в проводнике, вызываемые тепловым движением электронов.

В спектральном разложении белого шума

nt exp i t dZ

имеют в среднем одинаковую интенсивность или, точнее, средний квадрат их амплитуды имеет следующий вид:

Указанное выше спектральное разложение означает, что для любой интегрируемой со своим квадратом функции t справедливо

рье-образ стохастической меры dZ .

Определение 3.57. Автомодельным случайным процессом (полуустойчивым процессом, скейлинг-процессом) называется слу-

akt Ak at .

На качественном уровне это означает, что изменение временной шкалы t kt приводит к тому же результаты, что и изменение фазовой шкалы at Ak ak . Автомодельный случайный процесс имеет стационарные приращения, равные at as a. Если выпол-

149

Из (3.18) следует, что при любом n 0 справедливы соотношения:

b a 2n C2 n rn b a Crn.

Ряд из указанных выше вероятностей сходится, поэтому, согласно лемме 3.6 (Бореля – Кантелли), с вероятностью равной единице,

неравенство для модуля разности, функция t равномерно не-

нателями, не превосходящими 2m m n n0 , то справедливо не-

равенство:

Доказательство данного утверждения выполним по методу матема-

тической индукции. Пусть при m n справедливо s t 2 n , то-

гда s и t совпадают в силу того, что обе части неравенства (3.20) обращаются в нуль. Предположим, что для значений m m0 неравенство (3.20) верно. Докажем справедливость данной формулы для m m0. Обозначим через s ' ближайшее справа к s двоично-

151

рациональное число со знаменателем меньше 2m0 1. Аналогично определим t ' – ближайшее к t слева двоично-рациональное число

где показатель log2 q 0 называется показателем Гельдера.

Это означает, что функция t равномерно непрерывна на

T0, следовательно, ее можно продолжить по непрерывности с дво-

ично-рациональных значений аргумента на все значения t a,b

(существование конечного предела во всех иррациональных точках следует из критерия Коши).

двоично-рациональные значения, если указанный предел сущест-

вует, и как t 0, если предел не существует. Можно проверить,

что так определенная функция t будет измерима относительно указанной в условии теоремы -алгебры. С вероятностью равной единице для всех t a,b одновременно осуществляется первая

1 Необходимо отметить, что s ' s, если знаменатель s после сокращения меньше, чем 2m0 , и s ' s 2 m0 , если он равен 2m0.

152

возможность – существование предела, и выборочная функция непрерывна по t.

В-третьих, остается доказать, что P t t 1. Для двоично-

рациональных значений t данное утверждение справедливо в силу

так как процесс стохастически непрерывен. Теорема доказана. ▲ Замечание 1. Если t является случайным процессом, опреде-

ленным на неограниченном промежутке времени, то для существования эквивалентного ему процесса с непрерывными траекториями достаточно, чтобы условие (3.17) было выполнено для t s h,

где h – положительная константа.

Действительно, неограниченный промежуток всегда можно разбить на счетное число отрезков длины, не превышающей h h , и

на каждом из них определить t отдельно, при этом вероятность того, что выборочная функция t будет всюду непрерывна, равна вероятности пересечения счетного числа событий вероятности единица, а следовательно, и сама рассматриваемая вероятность равна единице. В частности:

а) любой стационарный в широком смысле процесс имеет модификацию с непрерывными траекториями, если только он дифференцируем в среднеквадратичном; в данном случае можно взять2, что позволяет получить следующее соотношение:

t s 2 2 Re K K t s O t s 2 ;

если процесс является дважды дифференцируемым в среднеквадратичном, то его траектории можно считать один раз непрерывно дифференцируемыми и т.д.;

б) существует винеровский процесс с непрерывными траекториями потому, что для винеровского процесса wt справедливо

wt ws 4 3 t s 2 .

153

Замечание 2. Из условия выполнения неравенства (3.17) выте-

кает существование случайного процесса t не просто с непрерыв-

ными на отрезке a,b траекториями, а с траекториями, удовлетво-

ряющими условию Гельдера:

t s K t s , 0.

Константа K здесь является случайной величиной1.

Для дальнейшего рассмотрения важно отметить, что обозначение f x является двусмысленным: оно применяется как для обо-

значения непосредственно значения рассматриваемой функции f

в точке x, так и для обозначения собственно функции. Поэтому в случае, когда необходимо подчеркнуть, что речь идет именно о функции, а не о ее значении в какой-либо фиксированной точке, будет использоваться обозначение f или f , соответственно,

для значения функции в некоторой произвольной фиксированной точке x будет использоваться обозначение f x .

Вернемся к рассмотрению случайной функции t . В данной функции можно зафиксировать элементарное событие и получить функцию . Последняя уже не является случайной функцией от t T; функция называется «реализацией случайной функ-

ции»2. Наоборот, зафиксировав t T, можно получить случайную величину.

Определение 3.58. Случайные величины и называются эквивалентными, если для них P 0.

1 Или можно взять неслучайную константу K, но тогда неравенство (ус-

ловие Гельдера) будет выполняться только при t s h, где h 0 – слу-

чайная величина.

2 Или «выборочной функцией», для случайных процессов функция

также может называться «траекторией».

154

Определение 3.59. Случайные функции t и t , определенные на одном и том же множестве T , на одном и том же вероятностном пространстве ,A,P и принимающие значения в одном и том же

измеримом пространстве X ,B , называются стохастически экви-

валентными, если они совпадают почти наверное при любом фиксированном t, то есть справедливо

t T : P t t 0.

Важно отметить, что согласно общему подходу и духу теории вероятностей, пренебрегающей событиями, имеющими нулевую вероятность, считается, что замена изучения некоторой случайной функции изучением какой-либо другой, эквивалентной исходной, случайной функции не наносит никакого ущерба теории и не влияет на практические применения.

7.3. Бесконечномерные распределения случайной функции

В случае бесконечномерных распределений существует несколько групп различных задач.

Известно, что в конечномерном случае вероятности определяются однозначно заданием функции распределения, то есть вероятность P U , где U – любое борелевское множество, определя-

ется вероятностями событий вида 1 x1, 2 x2, n xn .

Возникает закономерный вопрос: будут ли конечномерные распределения играть аналогичную роль для бесконечномерного случая?

Ответ оказывается положительным для бесконечномерных борелевских множеств. Однако необходимо заметить, что многие представляющие интерес множества в пространстве функций оказываются не борелевскими.

Пример 3.2.

Рассмотрим множество всех функций, определенных на отрезке0,1 с верхней гранью, не превосходящей некоторой произвольной константы C.

155

Данное множество не является борелевским. Действительно, пусть C 12. Для случайных процессов t и t , определенных выше в примере 3.1, справедливы следующие соотношения для вероятностей:

Но у случайных процессов t и t одни и те же конечномерные распределения. Если бы рассматриваемое множество функций с верхней гранью, не превосходящей C 12, было борелевским, этого не могло бы быть.

Для произвольного случайного процесса t , t T и константы

C множество sup t C может вообще не быть случайным собы-

t T

тием и не иметь вероятности.

С другой стороны, случайную функцию t можно рассмат-

ривать как функцию от элементарного случайного события , принимающую значения в пространстве функций, и изучать данную функцию теми же методами и с тех же точек зрения, как это

делается в теории обычных случайных величин или случайных векторов.

Двумя основными группами понятий являются понятия, касающиеся

-распределений,

-независимости и зависимости.

Для случайных функций можно рассматривать вероятности вида P A , A – множество в бесконечномерном пространстве функ-

ций. Частным случаем таких вероятностей являются именно конечномерные распределения. Важно отметить, что конечномерная

вероятность вида P t1 , t2 , , tn 1 2 n представляет

собой вероятность события, заключающего в том, что траектория случайной функции пройдет ряд вертикальных интервалов (рис.

3.1).

156