Березкин Основы теории информации и кодирования Лабораторный практикум 2009
.pdf
Для реализации модели исследовательского стенда необходим определенный набор технических средств. На рис. 3.4 представлена обобщенная структура стенда для исследования характеристик сигналов.
На обобщенной схеме показаны:
•генератор, воспроизводящий гармонические сигналы, импульсные сигнал и гауссов шум, а также их комбинацию;
•аналого-цифровой преобразователь (АЦП), дискретизирующий сигнал по времени и квантующий по уровню;
•идеальный фильтр низких частот, который необходим для восстановления сигнала после дискретизации;
Рис. 3.4. Обобщенная структура технических средств, предназначенных для исследования сигналов
•электронные вычислительные машины, реализующие алгоритмы оценки и визуализации спектра сигнала, корреляционной функции и спектральной плотности средней мощности;
•осциллограф, который используется как средство отображения исходного непрерывного сигнала, дискретизированного сигнала и сигнала восстановленного после идеального фильтра низких частот.
31
Для генератора задаются: длина сигнала как количество точек дискретизации; тип сигнала (выбор из списка – гармонический сигнал, прямоугольные импульсы, шум и смешанный); параметры сигнала (в зависимости от типа). Для гармонического сигнала вводятся амплитуда, частота и фаза сигнала. Для импульсов – амплитуда, период и длительность прямоугольного импульса. Для гауссова шума – математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины. В случае если выбран смешанный сигнал, то задаются все выше описанные параметры.
Для аналого-цифрового преобразователя вводятся интервал дискретизации и размер одного кванта. Они необходимы для выполнения операций дискретизации сигнала по времени и по уровню.
Для фильтра низких частот (ФНЧ) вводится частота среза. Кроме того, для ФНЧ задается параметр «Показывать составляющие». При его установке осциллограф будет отображать координатные детерминированные функции времени, сложение которых и восстанавливает исходный сигнал. Это необходимо для более ясного понимания формулировки теоремы Котельникова.
Блок «Параметры процесса» не заполняется пользователем. В нем высвечиваются оптимальные значения, при которых восстановленный сигнал должен максимально походить на исходный.
После ввода необходимых данных и параметров нажимаем кнопку «Моделировать». Если необходимы дополнительные вычисления, можно воспользоваться кнопкой «Калькулятор», нажатие на которую вызовет стандартный калькулятор Windows.
После окончания моделирования на вкладках «Осциллограф», «Спектр амплитуд», «Корреляционная функция» и «Спектральная плотность мощности» будут построены смоделированный сигнал и спектральные характеристики заданного сигнала.
На виртуальном осциллографе можно наблюдать сигнал на каждом этапе его обработки. А именно, непрерывный, дискретный и восстановленный сигнал.
На форме отображения спектральных характеристик предусмотрены размерная сетка с подписанными значениями отсчетов по горизонтали и вертикали. Имеются инструменты для удобного просмотра графиков: передвижение графиков в любом направлении, увеличение определенного участка графика, масштабирование графика по области видимости.
32
На рис. 3.5 приведена функциональная модель программы, в которой представлено 10 объектов, каждый из которых имеет свои свойства и задаваемые параметры. Для каждого объекта работают свои алгоритмы в зависимости от выполняемых им функций. Они либо преобразуют сигнал по заданным правилам, либо выводят его в интерфейс отображения. Между соответствующими блоками отрабатываются специальные процедуры обмена данными.
Реализованная программная модель максимально правильно реагирует на моделируемые ситуации и теоретические предсказания совпадают с практически полученными результатами.
Рис. 3.5. Функциональная модель работы программы
ПОДГОТОВКА К ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ
1.Изучить теоретический материал.
2.Дать графическое и математическое представление детерми-
нированных x(t) и случайных сигналов X (t) следующего вида:
а) гармонический сигнал; б)импульс высокочастотных колебаний;
33
в) периодическая последовательность прямоугольных импульсов; г) одиночный прямоугольный импульс;
д)пачка N прямоугольных импульсов; |
|
||||||
е) белый |
шум |
|
с |
нормальным |
распределением |
||
|
1 |
|
− |
(ξk −mξ )2 |
|
|
|
|
|
2σξ2 |
|
|
|||
f (ξk ) = |
|
e |
(Гауссов шум). |
||||
|
σξ |
2π |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
3.Освоить основные принципы превращения непрерывного сигнала в цифровой и дискретного в непрерывный.
4.Осмыслить общую структуру технических средств, предназначенных для исследования процесса передачи сигнала и построения его спектральных характеристик.
5.Научиться выбирать параметры, такие как «Интервал дискретизации», «Частота дискретизации» и «Частота среза идеального ФНЧ» для восстановления сигнала без искажений и потери информации.
6.Продумать применение теоремы Котельникова для вычисления выше упомянутых параметров.
7.Отразить подготовку в лабораторном отчете.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.Используя обучающие и графические средства диалоговой программы, изучить принципы передачи сигналов в цифровой форме и основы построения их спектральных характеристик.
2.Ввести параметры гармонического сигнала
x(t) = A cos( ωt + θ) .
3.Используя инструментальные средства диалоговой программы, снять показания на входе и выходе дискретизатора.
4.Оценить качество восстановления сигнала на выходе идеального ФНЧ в двух режимах его работы.
5.Сравнить амплитудный спектр и автокорреляционную функцию с теоретическими результатами.
6.Проанализировать влияние количества точек дискретизированного сигнала и интервала дискретизации на форму сигнала, качество его восстановления и вид спектральных характеристик.
34
7.Задать значения параметров, при которых гармонический сигнал превращается в импульс высокочастотных колебаний. Повторить пункты 3–6.
8.Пункты 3–6 последовательно выполнить для периодической последовательности прямоугольных импульсов, одиночного им-
пульса и пачки из N импульсов.
9. Ввести параметры Гауссова шума.
10.Выполнить пункты 3–6 и дополнительно провести анализ спектральной плотности средней мощности.
11.Задать параметры смешанного случайного и детерминированного сигналов. Повторить пункт 10.
12.Результаты отразить в лабораторном отчете.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.В чем состоит физический смысл теоремы Котельникова?
2.Что такое функция отсчетов и каков ее вид?
3.В чем заключаются противоречия частотного критерия Котельникова?
4.Что собой представляет дискретное преобразование Фурье?
5.В чем состоит роль алгоритмов быстрого преобразования Фурье?
6.Какова реакция идеального фильтра нижних частот с гранич-
ной частотой ωc на дельта-импульс?
7.Что такое координатная детерминированная функция време-
ни?
8.Почему невозможно непосредственное приложение классического гармонического анализа к случайным процессам?
9.Каковы основные свойства корреляционной функции стационарного случайного процесса?
10.Каковы основные свойства спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса?
11.Какой случайный процесс называется белым шумом?
12.Какова связь между спектральной плотностью мощности и корреляционной функцией случайного процесса?
13.Что такое интервал корреляции случайного процесса?
14.Можно ли дискретные отсчеты по частотному критерию
Котельникова считать статистически независимыми?
35
Лабораторная работа 4
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМА
Цель: изучить спектральные характеристики случайных сигналов и освоить основные принципы решения задач приема сигналов при наличии помех.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
К случайным относят сигналы, значения которых заранее не известны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью. По существу любой сигнал, несущий в себе информацию, должен рассматриваться как случайный.
До приема сообщения сигнал следует рассматривать как случайный процесс X(t), представляющий собой совокупность функций времени (рис. 4.1), подчиняющихся некоторой общей для них
статистической закономерности. Одна из этих функций x k (t ) ,
ставшая полностью известной после приема сообщения, называется реализацией случайного процесса. Эта реализация является уже не случайной, а детерминированной функцией времени.
При изучении детерминированных сигналов весьма удобным оказался гармонический анализ. В связи с этим, как правило, используется аппарат преобразований Фурье и к случайным процессам.
Однако необходимо иметь в виду, что отдельным реализациям случайного процесса, обладающим различной формой, соответствуют различные спектральные характеристики. Усреднение комплексной спектральной плотности по всем реализациям приводит к нулевому спектру процесса вследствие случайности и независимости фаз спектральных составляющих в различных реализациях.
36
X(t) |
x1(t) |
|
x2(t) |
|
... |
|
xk (t) |
|
... |
|
txN (t) |
Рис. 4.1. Реализации случайного процесса X(t)
Тем не менее, можно ввести понятие спектральной плотности среднего квадрата случайной функции, поскольку величина среднего квадратане зависитотсоотношенияфазсуммируемыхгармоник.
Спектральная плотность мощности GXX (ω) , являющаяся усредненной характеристикой совокупности реализаций случайного процесса X(t), представляет собой прямое преобразование Фурье для корреляционной функции:
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
GXX (ω) = ∫KXX (τ)e− jωτdτ=2∫KXX (τ)cos(ωτ)dτ. |
(4.1) |
||||||
|
|
−∞ |
|
0 |
|
||
Обратное преобразование Фурье имеет вид: |
|
||||||
|
1 ∞ |
jωτ |
1 ∞ |
(4.2) |
|||
|
|
|
|
|
|
||
KXX (τ) = 2π−∫∞GXX (ω)e |
dω= |
π∫0 GXX (ω)cos(ωτ)dω. |
|||||
|
|||||||
Преобразования (4.1) и (4.2), связывающие функции GXX (ω) |
и |
||||
K XX (τ) , носят название преобразований Хинчина–Винера. |
|
||||
Для установления физического смысла функции |
GXX (ω) при- |
||||
мем в (4.2) τ = 0, тогда |
|
|
|||
|
KXX (0) = |
1 |
∞∫GXX (ω)dω. |
|
|
|
π |
|
|
||
|
0 |
|
|
||
Так |
как K XX (0) выражает среднюю мощность |
сигнала, |
то |
||
GXX (ω) |
дает усредненную энергетическую картину распределения |
||||
мощности сигнала по частотному спектру, а элементарная составляющая π1 G XX (ω)dω представляет собой долю средней мощности,
приходящуюсянадиапазончастот dω.
37
Задача оптимального приема состоит в рациональном использовании избыточности, а также имеющихся сведений о свойствах полезного сигнала, помехи и канала для увеличения вероятности правильного приема.
Результатом воздействия помех является частичная или полная потеря информации, переносимой полезным сигналом. Приемное устройство, осуществляя обработку входного сигнала, должно обеспечить извлечение из принятого сигнала возможно большего количества необходимой информации.
Вследствие того, что на вход приемника поступает сумма полезного сигнала и помехи, вероятность правильного приема будет определяться отношением полезного сигнала к помехе. Для повышения вероятности правильного приема и принятия решения должна быть произведена обработка принятого сигнала по схеме, представленной на рис. 4.2. Фильтр обеспечивает улучшение отношения сигнал/помеха, а решающее устройство выполняет главные функции приема (обнаружение, различение или восстановление сигналов).
Y(t)=X(t)+ξ(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
* |
(t) |
|
Решающее |
|
|
X(t) |
|
|
Фильтр |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
устройство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используемые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
GXX (ω) , Gξξ(ω) , P(ai ) , f (X / ai ) , |
||||||||||||
характеристики : |
KXX (τ) , Kξξ(τ) , r12 , r21 . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Рис. 4.2. Блок-схема предварительной обработки принятого сигнала |
||||||||||||
Рассмотрим задачу обнаружения сигналов. |
Для обеспечения |
|||||||||||
возможности обнаружения m-мерное пространство признаков должно быть разбито на две области: X 1 и X 2 . Граница этих
областей называется решающей поверхностью. В процессе обнаружения решающее устройство определяет, какой области принад-
лежит вектор-реализация X, и делает заключение о состоянии ai
38
источника. Если X X 2 , значит источник находится в состоянии a2 , то есть в принятом сигнале содержится полезный сигнал.
Поскольку решающая поверхность многомерна, ее задание и хранение могут встретить значительные трудности. Поэтому многомерный случай приводится к одномерному путем перехода к новой переменной, функционально связанной с вектором X. Эта переменная носит название отношения функций правдоподобия:
λ = |
L(a2 ) |
= |
f ( X / a2 ) |
, |
|
L(a1 ) |
f ( X / a1 ) |
||||
|
|
|
где f (X/ai )=f (x1,x2 ,...,xm /ai ) – многомерная условная плотность
распределения вероятностей.
Вместо уравнения решающей поверхности в этом случае достаточно запомнить одно число λ0 , с которым сравнивается текущее
значение коэффициента правдоподобия λ. Неравенству λ≤λ0
соответствует X X 1 и наличие состояния a1 , когда в принятом
сигнале отсутствует полезный сигнал.
Основными характеристиками качества распознавания являются ошибки распознавания и средние потери. Предположим, что при
X X i принимается гипотеза о наличии состояния ai . Вероятность правильного решения составляет при этом P(ai / X i ) , а ве-
роятность ошибки Piош =1− P(ai / Xi ) . Средняя вероятность
ошибки распознавания для всех возможных состояний источника равна
Pош = ∑ P( X i ) Piош = 1 − ∑ P(ai ) ∫ f ( X / ai )dX ,
i i X i
где P(X i ) означает P {X X i }.
Если ошибки распознавания отдельных состояний неравноценны, то для характеристики качества могут быть приняты средние потери (риск). Обозначим через r i j положительное число, опреде-
ляющее коэффициент потерь от ошибки в результате заключения о состоянии ai , в то время как источник информации находится в
39
некотором другом состоянии a j . При попадании вектора в область X i условные потери составят
ri = ∑P(aj / Xi )rij ,
j
а средние потери
r = ∑P(X i )ri = ∑P(a j )∑rij ∫ f(X/a j )dX .
i |
j |
i |
X i |
При этом |
предполагается, |
что |
коэффициенты потерь |
r i j (i = j) , связанные с правильными решениями, равны нулю.
Для того чтобы выбрать то или иное правило принятия решения, используют, например, следующие критерии:
1)максимум правдоподобия (критерий Фишера)
λ0 =1;
2)идеального наблюдателя (критерий Зигерта-Котельникова)
λ0 = PP((aa1 )) ;2
3) минимального риска (критерий Байеса)
λ0 = |
r21 P (a1 ) |
. |
||
|
||||
|
r P (a |
2 |
) |
|
|
12 |
|
|
|
Пример. Необходимо обнаружить постоянный сигнал величиной A на фоне аддитивной помехи с нормальным распределением и средним значением, равным нулю. Метод приема – однократный отсчет. Произвести синтез приемного устройства, работающего на основе критерия максимума правдоподобия, и определить порого-
вый уровень измерения сигнала X п1 .
Так как по условию задачи помеха аддитивна и выборка X представляет одномерную величину, то функции правдоподобия L ( a 2 ) и L ( a1 ) определяются законом распределения помехи:
40