Березкин Основы теории информации и кодирования Лабораторный практикум 2009

x(t)

h

t

t 0

Рис. 2.5. Экспоненциальный импульс

3. Подготовить набор значений h,β и t0 для построения семейств зависимостей

определяющих АЧХ и ФЧХ одиночного импульса.

4. Выявить значения параметров h,β и t0 , при которых оди-

ночный экспоненциальный импульс превращается в сигнал включения.

5.Разобраться с энергетическим толкованием спектра сигнала.

6.Изучить частотный критерий дискретизации Котельникова.

7.Отразить подготовку в лабораторном отчете.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Используя обучающие и графические средства диалоговой программы, изучить принципы построения спектральных характеристик детерминированных непериодических сигналов.

2.Используя инструментальные средства диалоговой программы, построить семейство кривых

F1 ( ω ) = S ( ω ) h ,β , t 0

и установить влияние каждого из параметров на АЧХ одиночного экспоненциального импульса.

21

и установить влияние каждого из параметров на ФЧХ одиночного экспоненциального импульса.

4.Задать значения параметров, при которых исследуемый импульс превращается в сигнал включения. Получить АЧХ и ФЧХ сигнала включения.

5.Построить и исследовать интегральную кривую распределения энергии сигнала в спектре частот.

6.Исследовать представление сигнала в виде ряда Котельнико-

ва.

7.Результаты отразить в лабораторном отчете.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.При каких условиях непериодическая функция может быть представлена интегралом Фурье?

2.Что понимается под прямым и обратным преобразованиями Фурье?

3.Каковы характерные особенности спектра непериодического сигнала?

4.Каковы свойства спектральной плотности сигнала?

5.Каков спектр одиночного прямоугольного импульса?

6.Как можно энергетически истолковать спектр непериодического сигнала?

7.Что понимается под практической шириной спектра непериодического сигнала?

8.В чем состоит критерий выбора практической шириной спектра непериодического сигнала?

9.Как можно получить спектр импульса высокочастотных колебаний, используя свойства преобразования Фурье?

10.Каким образом можно получить спектр непериодического сигнала непосредственно из спектра соответствующего периодического сигнала?

11.В чем состоит практическая ценность равенства Парсеваля?

12.Каков физический смысл ряда Котельникова?

22

Лабораторная работа 3

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ

Цель: изучение и исследование основ дискретизации непрерывных сигналов по времени и принципов построения их спектральных и корреляционных характеристик.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Для производственных задач обработки данных обычно требуется значительно меньше информации, чем ее поступает от измерительных датчиков в виде непрерывного аналогового сигнала. Рациональное выполнение дискретизации и квантования исходных данных дает возможность снизить затраты на хранение и обработку информации. Использование цифровых сигналов позволяет применять методы кодирования информации с возможностью последующего обнаружения и исправления ошибок при обращении информации. Цифровая форма сигналов облегчает также унификацию операций преобразования информации на всех этапах ее обращения.

В технике связи при передаче различных сигналов мы имеем обычно дело с функциями времени, спектр которых ограничен, т.е. в спектре которых не содержатся частоты выше некоторой граничной. Такие функции обладают замечательным свойством, установленным впервые в 1933 г. В. А. Котельниковом и выраженным им в теореме, играющей фундаментальную роль в теории связи и, в частности, в импульсной связи. Теорема в формулировке автора гла-

сит: «Любую функцию x(t) , состоящую из частот от 0 до fc , можно передавать с любой точностью при помощи чисел, следую-

Свойство это состоит в том, что тогда как в общем случае функция времени вполне определяется бессчетным множеством своих значений (т.е. бесконечным числом значений на протяжении конечного интервала), функция с ограниченным спектром вполне определяется счетным множеством своих значений (т.е. конечным

23

числом значений на протяжении конечного интервала). С геометрической точки зрения это означает, что если задать на протяжении конечного интервала вполне определенное количество точек, изображающих мгновенные значения функции с ограниченным спектром, то непрерывная кривая, представляющая график функции, может быть проведена через эти точки единственным образом. Это положение объясняется тем, что отсутствие высоких частот в составе функции накладывает серьезное ограничение на способы, которыми могут быть соединены каждые две соседние точки, и смысл теоремы Котельникова состоит именно в утверждении, что при достаточно частом расположении точек эти ограничения приводят к тому, что кривая определяется этими точками полностью.

Итак, функция с ограниченным спектром может быть представлена рядом

называемым интерполяционным рядом Котельникова–Шеннона,

коэффициенты которого представляют собой отсчеты значений функции, взятые через

где Tи – длительность сигнала.

При дискретном представлении сигналов аргумент tk обычно проставляется номерами отсчетов k = 0,1,...N −1 , а преобразова-

ния Фурье выполняются по аргументу n (номер шага по частоте) на главных периодах

Преобразования (3.1) называют дискретными преобразованиями Фурье (ДПФ). Для ДПФ, в принципе, справедливы все свойства

24

интегральных преобразований Фурье, однако при этом следует учитывать периодичность дискретных функций и спектров.

Из выражений ДПФ можно видеть, что для вычисления каждой гармоники нужно N операций комплексного умножения и сложе-

ния и соответственно N 2 операций на полное выполнение ДПФ. При больших объемах массивов данных это может приводить к существенным временным затратам. Ускорение вычислений дости-

гается при использовании быстрого преобразования Фурье (БПФ).

БПФ базируется на том, что при вычислениях среди множителей (синусов и косинусов) есть много периодически повторяющихся значений (в силу периодичности функций). Алгоритм БПФ группирует слагаемые с одинаковыми множителями в пирамидальный алгоритм, значительно сокращая число умножений за счет исключения повторных вычислений. В результате быстродействие БПФ в зависимости от N может в сотни раз превосходить быстродействие стандартного алгоритма. При этом следует подчеркнуть, что алгоритм БПФ даже точнее стандартного, так как, сокращая число операций, он приводит к меньшим ошибкам округления.

Алгоритмы БПФ основываются на свойствах комплексной экс-

и периодичности WNkn =WN(k +lN )(n+mN ) с периодом, равным длине обрабатываемой реализации сигнала N (числу точек БПФ). С учетом последнего свойства экспоненте WNpkn =WNkn/ p соответствует пери-

од N / p , где p – целые числа, на которые делитсяN. Использо-

вание данных свойств в алгоритмах БПФ исключает большое число повторяющихся при вычислении ДПФ операций.

Алгоритм БПФ заключается в разбиении ДПФ исходной последовательности на ДПФ подпоследовательностей меньшей длины, вплоть до минимально возможной (равной основанию БПФ), через которые и вычисляется ДПФ исходной последовательности.

Разбиение означает прореживание последовательностей во временной или в частотной области. В связи с этим различают БПФ с прореживанием по времени и БПФ с прореживанием по частоте.

В отличие от ДПФ, БПФ может вычисляться только по определенному числу точек N, соответствующему целой степени его

25

основания m : N = mL , где L – это число этапов прореживания, L = logm N . К наиболее используемым относятся БПФ по основа-

ниям m = 2,4,8.

В данной работе реализован алгоритм БПФ с прореживанием по времени по основанию 2.

Пусть задана последовательность x(nT ) = x(n)N конечной дли-

N −1

ны n = 0,1,...N −1. Нужно найти ее ДПФ: X ( jk) = ∑x(n)WNkn для

n=0

k = 0,1,...N −1 (номера бинов ДПФ) с минимальным объемом вы-

числений.

Решение этой задачи в данном алгоритме БПФ находится следующим образом.

Исходную последовательность x(n) длиной N разобьем на 2 подпоследовательности длиной N / 2 (рис. 3.1) – четную (включающую отсчеты x(n) с четными индексами n : x1 (n) = x(2n) ) и нечетную: x2 (n) = x(2n +1) , n = 0,1,...N −1 . Это соответствует первому прореживанию сигнала по времени.

x(nT )

Рис. 3.1. Иллюстрация прореживания сигнала по времени

Обозначим их ДПФ, как X1 ( jk) N / 2 и X 2 ( jk)N / 2 . Выразим ДПФ исходной последовательности x(nT ) = x(n)N через ДПФ подпоследовательностей x1 (n)N / 2 , x2 (n)N / 2 :

26

Выражения (3.2), (3.3) определяют базовую операцию БПФ (операцию объединения):

X ( jk) = X1 ( jk) +WNk X 2 ( jk),

Входящий в (3.4) множительWNk , равный по модулю единице,

называют поворачивающим. Вычисления в соответствии с (3.4) включают одно комплексное умножение и пару сложения– вычитания. Базовую операцию представляют графически с помощью сигнального графа (бабочки БПФ), рис. 3.2.

Рис. 3.2. Сигнальный граф базовой операции БПФ

27

На нем символ означает операцию сложения (верхний выход) и вычитания (нижний выход), а стрелка → соответствует умножению

на поворачивающий множитель WNk .

Дальше каждую из последовательностей x1 (n) и x2 (n) можно разбить еще на две подпоследовательности вдвое меньшей длины:

x11 (n), x12 (n) и x21 (n), x22 (n) (четную и нечетную) и повторить вышеприведенные операции объединения их ДПФ с помощью базовых операций.

X l ( j0) = xl (0) +W20 xl (1), X l ( j1) = xl (0) −W20 xl (1) .

В результате получаем полный граф БПФ, показанный на рис. 3.3 для N =8 .

Рис. 3.3. Полный граф БПФ для N =8

В соответствии с графом на каждом из L этапов вычисления – объединения ДПФ выполняются N / 2 базовых операций, а общий

28

объем вычислений для комплексных операций умножения и сложения – вычитания составляет:

K умн = (NL) / 2 = (N log2 N ) / 2, Kслож = NL = N log2 N .

Особенностью алгоритма БПФ с прореживанием по времени является требуемый им неестественный порядок отсчетов входного сигнала, обусловленный его многократными разбиениями на четные и нечетные подпоследовательности ( n = 0, 4, 2, 6, 1, 5, 3, 7 для N =8 ). Такой порядок следования называют двоично-инверсным. Это приводит к необходимости предварительной перестановки отсчетов исходной последовательности до начала вычислений. Для этого естественные номера отсчетов последовательности x(n) представляются в L -разрядном двоичном коде, коды эти про-

читываются в обратном порядке, то есть справа налево, и преобразуются затем снова в десятичную форму, соответствующую номеру отсчета переставленной последовательности.

Корреляционный анализ дает возможность установить в рядах цифровых данных сигналов наличие определенной связи изменения значений сигналов по независимой переменной. То есть, когда большие значения одного сигнала связаны с большими значениями другого сигнала (положительная корреляция), или, наоборот, малые значения одного сигнала связаны с большими значениями другого (отрицательная корреляция), или данные двух сигналов никак не связаны (нулевая корреляция).

В функциональном пространстве сигналов эта степень связи может выражаться в нормированных единицах коэффициента корреляции, который принимает значения от 1 (полное совпадение сигналов) до -1 (полная противоположность) и не зависит от значения единиц измерений.

Особое значение методы корреляции имеют при анализе случайных процессов для выявления неслучайных составляющих и оценки неслучайных параметров этих процессов.

Автокорреляционная функция (АКФ) сигнала x(t) , конечного

по энергии, является количественной интегральной характеристикой формы сигнала и определяется интегралом от произведения двух копий заданного сигнала x(t) , сдвинутых относительно друг

друга на время τ:

29

KXX (τ) = ∞∫x(t)x(t + τ)dt.

−∞

АКФ может быть вычислена и для слабозатухающих сигналов с бесконечной энергией как среднее значение скалярного произведения сигнала и его копии при устремлении интервала задания сигнала к бесконечности:

Энергия периодических сигналов бесконечна, поэтому АКФ периодических сигналов вычисляется по одному периоду T , с ус-

реднением скалярного произведения сигнала и его сдвинутой копии в пределах этого периода:

Понятия мощности и энергии в теории сигналов не относятся к характеристикам каких-либо физических величин сигналов, а являются их количественными характеристиками, отражающими определенные свойства сигналов и динамику изменения их значений во времени, в пространстве или по любым другим аргументам.

Спектральной плотностью мощности или энергетическим спектром принято называть функцию GXX (ω) , в строгом математическом смысле определяемой как

Из теоремы Хинчина–Винера энергетический спектр и корреляционная функция являются парой преобразования Фурье:

∞

GXX (ω) = ∫KXX (τ)e− jωτdτ,

−∞

KXX (τ) = 21π −∞∫∞GXX (ω)e jωτdω.

Это говорит о том, что спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса является амплитудным спектром автокорреляционной функции.

30