Лекция 12

Оператор суперпозиции. Дискретизованный оператор суперпозиции.

Оператор суперпозиции

Двумерный дискретный оператор суперпозиции определяется, во-первых, как оператор дискретной линейной фильтрации, при­меняемый к конечному массиву отсчетов, и, во-вторых, как дискретизованный оператор аналоговой фильтрации. Обычно эти два определения не эквивалентны. Ниже будут применяться оба опре­деления.

ОПЕРАТОР СУПЕРПОЗИЦИИ КОНЕЧНЫХ МАССИВОВ

Рассмотрим сначала дискретный оператор суперпозиции конеч­ного массива отсчетов F(n₁, n₂) (где n₁, n₂ = 1, 2, ..., N) с ко­нечным массивом Н(l₁ l₂; m₁, m₂) (где l₁ l₂ = 1, 2, ..., L), играющим роль импульсного отклика. В общем случае импульсный отклик может изменяться в зависимости от координат (m₁, m₂) отсчета в выходном массиве Q. Операция суперпозиции в ограни­ченной области определяется соотношением

, (1)

где m₁, m₂ = 1, 2, ..., M, а массивы Н и F имеют нулевые значе­ния вне областей изменения соответствующих индексов. Анали­зируя предельные значения индексов отсчетов импульсного от­клика, можно убедиться, что М = N + L1 и, следовательно, выходной массив Q имеет большие размеры, чем исходный (рис. 1).

Если массивы F и Q представлены соответственно в виде век­тора f размера N²1 и вектора q размера М²1, то преобразова­ние (1) можно записать как q = Df, где D  матрица размера M²N², содержащая отсчеты импульс­ного отклика. Матрицу D оператора суперпозиции удобно разделить на блоки D_т,_п размера MN.

Рис. 1. Суперпозиция конечных массивов отсчетов импульсного отклика и исходного изображения.

А — массив из NN отсчетов изображения; Б — повернутый на 180° массив из LL отсчетов импульсного отклика.

Проанализировав пределы суммирования в выражении (1), можно показать, что

произвольный ненулевой элемент матрицы D имеет вид

, (3)

где 1 n_i N, n_i m_i  n_i+L1. Отсюда следует, что матрица D имеет регулярную структуру и заполнена довольно редко, причем ненулевые блоки, группирующиеся в виде полосы в средней части матрицы D, содержат зоны нулевых элементов.

Если форма импульсного отклика инвариантна относительно сдвига (т. е. одинакова для всех точек выходного массива), то структура матрицы D не зависит в явной форме от координат (m₁, m₂) выходного отсчета. Тогда .

Таким образом, все столбцы матрицы D образуются сдвигом пер­вого столбца. В этом случае оператор суперпозиции называется оператором свертки конечных массивов.

ПРИМЕР

На рис. 2,а приве­дены полученные на ЦВМ распечатки матриц, фигурирующих в операции свертки конечных массивов, для случая, когда входной массив имеет размеры 22 (N = 2), выходной массив 44 (М = 4), а массив отсчетов импульсного отклика 33 (L= 3).

а б

Рис. 2. Примеры матриц операторов свертки конечных массивов.

а  общий случай, М = 4, N = 2, L = 3; б  импульсный отклик гауссовой формы,

М = 16, N = 8, L = 9.

Структура матрицы D лучше видна на примере матрицы большего размера, показанной на рис. 2, б. В рассматриваемой матрице М=16, N=8, L=9, а импульсный отклик симметри­чен и имеет гауссову форму. Заметим, что в данном примере раз­меры матрицы D равны 25664.

Если импульсный отклик является инвариантным относительно сдвига и разделимым, т. е. H = h_C h_R^T, где h_C и h_R  вектор-столбцы, описывающие соответственно характер изменения импульсного отклика по столбцам и строкам, то

D = D_C  D_R. Матрицы D_R и D_C имеют размеры MN и структуру вида

Операция двумерной свертки в этом случае сводится к последовательному вычислению одномерных сверток по строкам и столбцам.

Таким образом, _(3).

Для получения конечной свертки или суперпозиции в общем случае необходимо выполнить N²L² арифметических операций, причем в это число не входят умножения на нулевые элементы матрицы D. Если же оператор является разделимым, т. е, удовлетворяет paвенству (3), то достаточно выполнить NL(М + N) операций.