18. понятие производной
.doc-
понятие производной
Основные определения
Производная равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что последний стремится к нулю:
Ф
Определение
Понятие производной
Пусть задана некоторая функция . Возьмем какое-нибудь значение из области определения этой функции: . Соответствующее значение функции в этой точке будет равно .
Приращение аргумента и функции
П
Определение
Обычно обозначается как .
З
Пример
Решение. Искомое приращение: .
Ответ.
Зададим аргументу приращение . А тогда значение функции в новой точке .
П
Определение
З
Пример
Решение. Подставляя в формулу, получаем, что приращение функции:
Ответ.
Определение производной
П
Определение
или
З
Пример
Решение. Найдем приращение заданной функции в точке :
Тогда
Ответ.
Дифференцирование функции
О
Определение
Функция имеет производную на интервале или называется дифференцируемой в этом интервале, если производная существует в каждой точке этого интервала.
Функция имеет в точке бесконечную производную, если в этой точке .
(
Теорема
Если функция имеет конечную производную в точке , то она непрерывна в этой точке.
Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция непрерывна в некоторой точке , то она может и не иметь производной в этой точке.
Ф
Определение
где - число, не зависящее от , - б.м. функция при .
(
Теорема
Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы имела в этой точке конечную производную.
Теорема устанавливает, что для функции дифференцируемость в данной точке и существование конечной производной в этой точке - понятия равносильные.