Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1
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á«ãç ¥ ¯à®¨§¢®«ì®© ª «¨¡à®¢ª¨, 4-¯®â¥æ¨ « ¯®«ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥,
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¤®«¦® ¡ëâì ¤®áâ â®ç® ᨫìë¬, ⥬ ᨫ쥥, 祬 ¬¥ìè¥ ¨â¥à¢ « ¢à¥¬¥¨ t.«ï ¯¥à¥¬¥®£® ¯®«ï t !;1, â ª çâ® ¤®áâ â®ç® á« ¡®¥ ¯¥à¥¬¥®¥ ¯®«¥ ¥
¬®¦¥â ¡ëâì ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª¨¬. ¨èì áâ â¨ç¥áª¨¥ ¯®«ï, ¤«ï ª®â®àëå t ! 1 ¢á¥£¤ ¬®¦® áç¨â âì ª« áá¨ç¥áª¨¬¨.
¡ ¨§¬¥à¨¬®á⨠¯®«¥© ¢ ª¢ ⮢®© í«¥ªâத¨ ¬¨ª¥.
ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¯à¥¤¥«ì®© ᪮à®á⨠à á¯à®áâà ¥¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨© (᪮à®á⨠ᢥâ ) ¯à¨¢®¤¨â ª 楫®¬ã àï¤ã ¤®¯®«¨â¥«ìëå ®£à ¨ç¥¨© ¢®§¬®¦®á⥩ ¨§¬¥à¥¨ï à §«¨çëå 䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨ ¢ ५ï⨢¨áâ᪮© ª¢ ⮢®© ⥮ਨ, ¯® áà ¢¥¨î á ¥à¥«ï⨢¨áâ᪨¬ á«ãç ¥¬. â®â ¢®¯à®á ¡ë« ¯à® «¨§¨à®¢ à ¨å íâ ¯ å à §¢¨â¨ï ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï ¤ ã ¨ ©- ¥à«á®¬. ç¥á⢥®¥ ®¡á㦤¥¨¥ íâ¨å ®£à ¨ç¥¨© ¬®¦® ©â¨ ¢® ¢¥¤¥¨¨ ª ª¨£¥ [1]. 室¥ ᢮¥£® «¨§ , ¤ ã ¨ ©¥à«á ¯®¤ï«¨ ä㤠¬¥â «ìë© ¢®¯à®á ® ¢®§¬®¦®á⨠¨§¬¥à¥¨ï á ¬®£® í«¥ªâ஬ £¨â®£® ¯®«ï. ç áâ®áâ¨, ®¨ ã⢥ত «¨, çâ® ¯®áª®«ìªã ¨§¬¥à¥¨¥ «î¡®© ª®¬¯®¥âë í«¥ªâà¨ç¥áª®£® (¤«ï ®¯à¥¤¥«¥®áâ¨) ¯®«ï âॡã¥â ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨¬¯ã«ìá § à殮- ®£® ¯à®¡®£® ⥫ , â® ®¡à ⮥ ¤¥©á⢨¥ ¯®«ï, ¨§«ã祮£® ¯à¨ ¢ë¯®«¥¨¨ â ª®© ®¯¥à 樨, ¢á¥£¤ ¯à¨¢®¤¨â ª ®£à ¨ç¥¨î â®ç®á⨠¨§¬¥à¥¨ï ¯®«ï. ®®â¢¥âá⢥® â®ç®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯à殮®á⨠¯®«ï ¥«ì§ï ¢¢¥á⨠¢ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¨ á à áᬮâà¥ë¬¨ ¢ëè¥ ®á®¢ ¬¨ ª¢ ⮢®© í«¥ªâத¨ ¬¨ª¨. â®, â ª¦¥ ª ª àï¤ ¤àã£¨å ®¡áâ®ï⥫ìáâ¢, ª®â®àë¥ ¬ë ¥é¥ à áᬮâਬ ¨¦¥, ¡ë«¨ ¯à¨ç¨®© ¤«¨â¥«ì®£® ᪥¯â¨ç¥áª®£® ®â®è¥¨ï ¤ ã ª ª¢ ⮢®© ⥮ਨ ¯®«ï.
®«¥¥ ¤¥â «ì® ¢®¯à®á ®¡ ¨§¬¥à¨¬®á⨠¯®«¥© ¡ë« ¯à® «¨§¨à®¢ ¢ à ¡®â å ®à ¨ ®- §¥ä¥«ì¤ (á¬. ¨â¥à¥áë© ®¡§®à í⮩ ¯à®¡«¥¬ë ¢ áâ âì¥ ®§¥ä¥«ì¤ ¢ á¡. [30]). ª § «®áì, ¢ ç áâ®áâ¨, çâ® ¢®¯à®á à¥è ¥âáï (¢ ¤ãå¥ ª®¯¥£ £¥áª®© ¨â¥à¯à¥â 樨 ª¢ ⮢®© ¬¥å ¨ª¨) ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ¯à®â殮ëå ¯à®¡ëå ⥫. á ¬®¬ ¤¥«¥, à áᬮâਬ ¨§¬¥à¥¨¥ ª®¬¯®¥âë í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¯®«ï Ex, ãá।¥®© ¯® ®¡ê¥¬ã V ¨ ¨â¥à¢ «ã ¢à¥¬¥¨ T . ®§ì¬¥¬ ¯à®¡®¥ ⥫®, § ¯®«ïî饥 ®¡ê¥¬ V á à ¢®¬¥à®© ¯«®â®áâìî § àï¤ , ¨ ¨§¬¥à¨¬ ¥£® ¨¬¯ã«ìáë p0x ¨ p00x ¢ ç «¥ ¨ ª®æ¥ ¢à¥¬¥®£® ¨â¥à¢ « T . ¤¥« ¢ ¯à®¡®¥ ⥫® ¤®áâ â®ç® â殮«ë¬, ¬®¦® ¯à®-
¨§¢®«ì® 㬥ìè¨âì ¥£® ᬥ饨¥ ¢ â¥ç¥¨¥ í⮣® ¨â¥à¢ « ¢à¥¬¥¨, |
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àëå ¢®¯à®á ®¡ ¨§¬¥à¨¬®á⨠¯®«¥© à áᬠâਢ «áï ¡ë á ¡®«¥¥ ᮢ६¥ëå ¯®§¨æ¨©.
4 «ï £«ï¤®á⨠¢ íâ¨å ®æ¥ª å c ¨ ~ ¢ë¯¨á ë ¢ ¬ ¢¨¤¥.
. |
53 |
¨á. 3-1
ªãã¬ë¥ ä«ãªâã 樨 ¨ íä䥪⠧¨¬¨à .
¥ «ì®áâì ¢ ªãã¬ëå (\ã«¥¢ëå") ä«ãªâã 権 í«¥ªâ஬ £¨â®£® ¯®«ï ¯à¥ªà á® ¨««îáâà¨àã- ¥âáï à áᬮâ२¥¬ â ª §ë¢ ¥¬®£® íä䥪⠧¨¬¨à [10]. áᬮâਬ ¤¢¥ ¡®«ì訥 ¨¤¥ «ì® ¯à®¢®¤ï騥 ¬¥â ««¨ç¥áª¨¥ ¯« áâ¨ë, ¯®¬¥é¥ë¥ ¢ ¢ ªã㬥, à ááâ®ï¨¨ a ¤à㣠®â ¤à㣠, ª ª íâ® ¯®ª § ® ¨á.3-1. ãáâì ¯« áâ¨ë ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ª¢ ¤à âë á® áâ®à®®© L, ¯à¨ç¥¬ L a. áᬮâਬ ¬®¤ë ª®«¥¡ ¨© í«¥ªâ஬ £¨â®£® ¯®«ï ¢ ®¡ê¥¬¥ L2a. à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï á®áâ®ïâ ¢ ⮬, çâ® ¢¥ªâ®à í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¯®«ï E ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà¥, ¢¥ªâ®à ¬ £¨â®£® ¯®«ï H ¯ à ««¥«¥ ¯« á⨥ ¢ãâ॥© ¯®¢¥àå®áâ¨. ª« ¤ ¢ í¥à£¨î ¢®áïâ ⮫쪮 ¯®¯¥à¥çë¥ ¬®¤ë. ᫨ ª®¬¯®¥â kz , ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà ï ¯®¢¥àå®á⨠¯« áâ¨, ®â«¨ç ®â ã«ï, â® ® ¬®- ¦¥â ¯à¨¨¬ âì ⮫쪮 ¤¨áªà¥âë¥ § 票ï kz = n =a (n = 1; 2; :::), ç⮡ë 㧫ë (㫨) ¯®«ï à ᯮ« £ «¨áì ¯« á⨠å. ਠí⮬ 㦮 ¥é¥ ãç¥áâì ¤¢ á®áâ®ï¨ï ¯®«ïਧ 樨. ᫨ ¦¥ kz = 0, в® ®бв ¥вбп в®«мª® ®¤ ¬®¤ (н«¥ªва¨з¥бª п б®бв ¢«пой п г нв®© ¬®¤л ¯а®бв® а ¢ г«о ¢ б¨«г ®вбгвбв¢¨п в £¥ж¨ «м®£® н«¥ªва¨з¥бª®£® ¯®«п ¯®¢¥ае®бв¨ ¨¤¥ «м®£® ¯а®- ¢®¤¨ª ). ®£¤ н¥а£¨п г«¥¢ле ª®«¥¡ ¨© н«¥ªв஬ £¨в®£® ¯®«п ¢ а бб¬ ва¨¢ ¥¬®¬ ®¡к¥¬¥ ¬¥¦¤г ¯« бв¨ ¬¨ а ¢ :
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á®®â®è¥¨ï¬¨ (3.78). ®¡áâ¢¥ë¥ § 票ï í⮣® ®¯¥à â®à , § |
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(3.84) |
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á⢥®, ¨¬¥¥â ¢¤¢®¥ ¬¥ìè¥ á⥯¥¥© ᢮¡®¤ë, 祬 ª®¬¯«¥ªá®¥ ¯®«¥, ¥£® « £à - ¦¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ (2.30). ®®â¢¥âá⢥®, ¬®¦® ¢ëç¨á«¨âì ⥧®à í¥à£¨¨ - ¨¬¯ã«ìá ¨, ¢ ç áâ®áâ¨, ¤«ï ¯«®â®á⨠í¥à£¨¨ ¯®«ãç¨âì:
|
1 |
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|
2 |
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T00 = |
2 |
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+ (r')2 + m2'2) |
(3.85) |
®£¤ , ¯®¤áâ ¢«ïï ¢ |
d3rT00 à §«®¦¥¨¥ (3.84), ¯®«ã稬 £ ¬¨«ì⮨ ¢ ¢¨¤¥: |
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H = |
1 |
X |
+ |
+ |
(3.86) |
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2 |
p |
"p(^cpc^p + c^p^cp) |
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®¢ ¢¨¤ ¥®¡å®¤¨¬®áâì ª¢ ⮢ ¨ï ¯® ®§¥, â ª çâ® ª®¬¬ãâ æ¨®ë¥ á®®â®- è¥¨ï ¤«ï ®¯¥à â®à®¢ ஦¤¥¨ï ¨ ã¨ç⮦¥¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤:
+ |
+ + |
(3.87) |
[^cp; ^cp] = 1 |
[^cp; c^p] = [^cp; c^p] = 0 |
. |
59 |
®£¤ £ ¬¨«ì⮨ |
|
|
1 |
|
|
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+ |
|
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H = Xp "p cpcp + |
2 |
(3.88) |
|||
â ª çâ®, ¯®á«¥ ®â¡à áë¢ ¨ï í¥à£¨¨ ¢ ªã㬠, ¥£® ᮡáâ¢¥ë¥ § ç¥¨ï ¯à¨®¡à¥- |
|||||
â îâ ¢¨¤: |
|
|
|
|
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E = |
p |
"pNp |
|
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(3.89) |
|
|
|
|
|
|
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X |
|
|
|
|
®ïâ®, çâ® ¤«ï íନ⮢ ¯®«ï (â ª¦¥, ª ª ¢ ª« áᨪ¥ ¤«ï ¢¥é¥á⢥®£®) ¯«®â-
®áâì ⮪ ¨ § àï¤ à ¢ë ⮦¤¥á⢥® ã«î.
¬¥â¨¬, çâ® ¨§ à áᬮâà¥ëå ¤® á¨å ¯®à 䨧¨ç¥áª¨å ç áâ¨æ, ¯à¨¬¥à®¬ ¨á- ⨮ ¥©âà «ì®© ç áâ¨æë ¡ë« ä®â®, ¢¥é¥á⢥®áâì ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¯®«ï ®â¢¥ç « 䨧¨ç¥áª®© ¨§¬¥à¨¬®á⨠¯à殮®á⥩ í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¨ ¬ £¨â®£® ¯®«ï.
âáâ㯫¥¨¥ ® £à㯯¥ ®à¥æ .
®£« á® á¯¥æ¨ «ì®© ⥮ਨ ®â®á¨â¥«ì®á⨠¢á¥ ¨¥àæ¨ «ìë¥ á¨áâ¥¬ë ®âáç¥â íª¢¨¢ «¥âë.᫨ ¤¢¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¤¢¨¦ãâáï ¤à㣠®â®á¨â¥«ì® ¤à㣠¢ ¯à ¢«¥¨¨ x1 ᮠ᪮à®áâìî v, â® á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ¨¬¨ ¢ëà ¦ ¥âáï ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ®à¥æ [25]:
x00 = (x0 |
; x1) = x0ch u ; x1sh u |
|
x01 = (x1 |
; x0) = x1ch u ; x0sh u |
|
|
x02 = x2 x03 = x3 |
(3.90) |
£¤¥ |
1 |
|
= v |
|
|
|
= |
|
th u = |
(3.91) |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
||||
|
2 |
|
c |
|
|
|
®¡é¥¬ á«ãç ¥, ¯®áâ㫨àã¥âáï ¨¢pà¨1 ;â®áâì |
䨧¨ç¥áª¨å § ª®®¢ ®â®á¨â¥«ì® «¨¥©ëå ¯à¥- |
|||||
®¡à §®¢ ¨© ª®®à¤¨ â ¢¨¤ (¥®¤®à®¤ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ®à¥æ ): |
|
|||||
á®åà ïîé¨å ª¢ ¤à â ¨â¥à¢ « : |
|
x ! x0 = x + a |
(3.92) |
|||
(x ; y)2 = (x ; y )(x ; y ) = g (x ; y )(y ; y ) |
(3.93) |
|||||
(3.92) ᬥ饨¥ ᮢ¥àè ¥âáï ¯®á«¥ ®¤®à®¤®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï. ¥®¤®à®¤ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï®à¥æ §ë¢ îâ â ª¦¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨ ã ª àí.
।¨ à áᬠâਢ ¥¬ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ᮤ¥à¦ âáï ¥ ⮫쪮 á¬¥é¥¨ï ¨ ¢à é¥¨ï ¢ ¯á¥¢- ¤®¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥, ® ¨ ®âà ¦¥¨ï ¯à®áâà á⢠¨ ¢à¥¬¥¨, ®¡®§ ç ¥¬ë¥ P , T ¨ P T :
P xk = ;xk |
P x0 = x0 |
|
T xk = xk |
T x0 = ;x0 |
|
|
P T x = ;x |
(3.94) |
â¥à¢ « (3.93) ¥ ¨§¬¥ï¥âáï ¯à¨ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ïå (3.92) ¥á«¨: |
|
|
= |
= g g |
(3.95) |
¬ âà¨ç®¬ ¢¨¤¥ ¯®á«¥¤¥¥ ãá«®¢¨¥ § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª:
|
|
|
~ |
|
(3.96) |
|
|
|
|
g = g |
|||
£¤¥ â¨«ì¤ |
®¡®§ ç ¥â ®¯¥à æ¨î âà ᯮ¨à®¢ ¨ï. âáî¤ ïá®, çâ® |
|||||
|
|
|
Det = 1 |
(3.97) |
||
§ (3.95) â ª¦¥ á«¥¤ã¥â: |
X |
|
|
|||
|
00 |
|
( 00 )2 ; |
( 0k)2 = 1 |
(3.98) |
|
|
|
|
|
k |
|
|
â ª çâ® ( |
|
) |
1. ®®â¢¥âá⢥® ¢®§¨ª ¥â ¤¢¥ ¢®§¬®¦®áâ¨: |
|
||
|
|
|
00 1 |
|
00 ;1 |
(3.99) |
ª¨¬ ®¡а §®¬, ®¡й¨¥ ¯а¥®¡а §®¢ ¨п (3.92) ¯®¤а §¤¥«повбп |
ç¥âëॠª« áá : |
|||||