Садовский М.В. Квантовая теория поля. Часть 1
.pdf200
¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¢ ⥮ਨ ¯®«ï íä䥪⨢® ¥â®ç¥çë¬? ª¨¬ ®¡à §®¬, \¯à £¬ â¨ç¥áª ï" â®çª §à¥¨ï (¡®«ìè¨á⢠!) á®á⮨⠢ ⮬, çâ® í¬¯¨à¨ç¥áª¨ § ¤ \䨧¨ç¥áª¨©" § àï¤ e( e), ⮣¤ ¥áâì à¥è¥¨ï ¢ ¢¨¤¥ à冷¢ ⥮ਨ ¢®§¬ã饨©, ® ª ¬ «ë¬ à ááâ®ï¨ï¬ ᮢ६¥ ï ⥮à¨ï ¥¯à¨¬¥- ¨¬ . ®®â¢¥âá⢥®, ᥣ®¤ï訩 ¤¥ì, ¯à®¡«¥¬ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® ¯®¢¥¤¥¨ï ®áâ ¥âáï ¥à¥è¥®©.
ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ᢮¡®¤ëå ⥮à¨ïå ¯®«ï, ¯à¨¬¥à ¢ , á¨âã æ¨ï, ª ª 㦥 ®¡á㦤 «®áì ¢ëè¥, ¨ ï. ®áª®«ìªã § ª ¢ § ¬¥ ⥫¥ ä®à¬ã« ⨯ (8.130) ¨ (8.132) â ¬ ¯à®â¨¢®¯®«®¦-
ë© á«ãç î , â® ¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ \ª®áâ âë" ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï (§ àï¤ ) ¤à㣮¥: |
|
g2(r0) ! 0 ¯à¨ r0 ! 0. ¥¯¥àì ¥ § àï¤ |
ª®¥ç®¬ à ááâ®ï¨¨ ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ¯à¨ «î¡®¬ |
§ 票¨ § âà ¢®ç®£® â®ç¥ç®£® § àï¤ , |
ã«¥¢®© â®ç¥çë© § àï¤ ®â¢¥ç ¥â ª®¥ç®¬ã § àï¤ã |
ª®¥ç®¬ à ááâ®ï¨¨: g2(r) à áâ¥â á à®á⮬ r. ¨¬¥¥â ¬¥áâ® íä䥪⨢ ï \ â¨íªà ¨- ஢ª " § àï¤ . ë ¥ § ¥¬, ®¤ ª®, ª ª®¥ r0 ¨ g(r0) á«¥¤ã¥â § 䨪á¨à®¢ âì ¨ ¤® ª ª¨å r ¬®¦®
¯®«ì§®¢ âìáï «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© ä®à¬ã«®© ⨯ |
(8.130). á®, çâ® ¥ ¡¥§£à ¨ç®, ¯®áª®«ìªã ¯à¨ |
㬥ì襨¨ § ¬¥ ⥫ï (á à®á⮬ r) ¬ë ᮢ |
¢ë室¨¬ § ®¡« áâì ¯à¨¬¥¨¬®á⨠⥮ਨ ¢®§- |
¬гй¥¨©. з¥бв¢¥®, ®¤ ª®, ®з¥¢¨¤®, зв® § ап¤ а бв¥в б а ббв®п¨¥¬, зв®, ¯®-¢¨¤¨¬®¬г, ¨ ¢¥¤¥в ª ª®д ©¬¥вг ª¢ аª®¢. ® бгй¥бв¢г, нв¨ § ¢¨б¨¬®бв¨ в ª¦¥ б¥©з б ¨§¬¥аповбп нªб- ¯¥а¨¬¥в¥. ª®ж¥ ªгаб ¬л ¥й¥ ¢¥а¥¬бп ª ®¡б㦤¥¨о д¨§¨з¥бª®© ¯а¨а®¤л п¢«¥¨п б¨¬¯в®- в¨з¥бª®© б¢®¡®¤л ¢ ¨ ¥£® § з¥¨п ¢ д¨§¨ª¥ з бв¨ж.
à㯯 ¯¥à¥®à¬¨à®¢ª¨ ¢ .
®ª ¦¥¬ ⥯¥àì, ª ª ä®à¬ã«ë (8.130) ¨ (8.124) ¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥ë á ¯®¬®éìî ¯à®áâëå à áá㦤¥¨©, ®á®¢ ëå á¬ëá«¥ ¯®ïâ¨ï ¯¥à¥®à¬¨à®¢ª¨ ¨ á®®¡à ¦¥- ¨ïå à §¬¥à®áâ¨, á®áâ ¢«ïîé¨å ®á®¢ã ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© ® £à㯯¥ ¯¥à¥®à¬¨à®¢ª¨ (८ଠ- £à㯯¥), ¨ ¢¢¥¤¥ëå ¢ ¥««- ®¬ ¨ ®ã. áᬮâਬ ᮢ ª¢ ¤à â § âà ¢®ç®£® § àï¤ ª ª äãªæ¨î ¯ à ¬¥âà ®¡à¥§ ¨ï e20( ), ¨ ¢¢¥¤¥¬ дгªж¨о d, ®¯а¥¤¥«пойго б®®в®и¥¨¥ ¬¥¦¤г § з¥¨п¬¨ e20 ¯à¨ ¤¢ãå § 票ïå ¥¥ à£ã¬¥â :
|
|
|
|
|
e02( 22) = e02( 12)d |
|
|
(8.133) |
|||
ਠ2; 2 |
|
m2 |
äãªæ¨ï d ¥ § ¢¨á¨â ®â m |
¨, ¡ã¤ãç¨ ¡¥§à §¬¥à®© ¢¥«¨ç¨®©, |
|||||||
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 2 |
|
¬®¦¥â § ¢¨á¥âì ⮫쪮 ®â ¡¥§à §¬¥àëå ¦¥ ¢¥«¨ç¨ e0 |
( 1) ¨ 2= 1, â ª çâ® ¬®¦® |
||||||||||
§ ¯¨á âì: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
22 |
|
|
|
|
|
e0 |
( 2) = e0 |
( 1)d e0 |
( 1); |
12 |
(8.134) |
|||
â® ¨ ¥áâì ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ £àã¯¯ë ¯¥à¥®à¬¨à®¢ª¨. ¬ëá« ¥£® ¯à®áâ { ¢ ¯¥à¥- ®à¬¨à㥬®© ⥮ਨ ¨§¬¥¥¨¥ ¯ à ¬¥âà ®¡à¥§ ¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ᪮¬¯¥á¨à®¢ ® ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¨§¬¥¥¨¥¬ § âà ¢®ç®£® § àï¤ ¡¥§ ¨§¬¥¥¨ï 䨧¨ç¥áª¨å à¥- §ã«ìâ ⮢ (¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ { ¢¥«¨ç¨ë 䨧¨ç¥áª®£® § àï¤ ). â äãªæ¨® «ì®£®
ãà ¢¥¨ï (8.134) 㤮¡® ¯¥à¥©â¨ ª ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã. «ï í⮣® à áᬮâਬ ¡¥áª®¥ç® ¡«¨§ª¨¥ § 票ï 21 ¨ 22. ¡®§ 稬 21 = ¨ 22 = + d . ®£¤ ¨§ (8.134) ¯®«ãç ¥¬:
e02( + d ) = e02( ) + de02( ) = e02( )d e02( ); 1 + |
d |
= |
|
||||
|
|
||||||
2 |
2 |
|
@d(e2( ); x) |
|
|
d |
|
|
0 |
jx=1 |
|
||||
= e0 |
( ) d(e0 |
( ); 1) + |
@x |
(8.135) |
|||
202
\®¡®©â¨" ¯à®¡«¥¬ë ¯®«®£® ®¡®á®¢ ¨ï ®¯¨á ®© ¢ëè¥ ¯à®æ¥¤ãàë á㬬¨à®¢ - ¨ï. á¢ï§¨ á í⨬, ¨®£¤ £®¢®àïâ, ç⮠८ଠ- £à㯯 ¤ ¥â ¢®§¬®¦®áâì ¯®áâà®- ¥¨ï \ã«ãç襮©" ⥮ਨ ¢®§¬ã饨©, ¢ ª®â®à®© à®«ì ª®áâ âë á¢ï§¨ ¨£à ¥â (8.119). ¤ ª® ¢á¥ ®¡á㦤 ¢è¨¥áï ¢ëè¥ ¯à¨æ¨¯¨ «ìë¥ ¢®¯à®áë, ä ªâ¨ç¥áª¨, ®áâ îâáï. ¥§ã«ìâ â (8.143) ¯®«ãç¥ á ¯®¬®éìî ¯à¨¡«¨¦¥®£® ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï äãªæ¨¨ ¥««- { ®ã (8.142), á¯à ¢¥¤«¨¢®£® ⮫쪮 ¯à¨ e20 1. ¥ïá®, ª 祬㠯ਢ¥¤ãâ ¯®¯à ¢ª¨ ¢ëáè¨å ¯®à浪®¢, ¤¥¦®¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ª®â®àëå ¤® á¨å ¯®à ¥ 㤠«®áì ¯à®¢¥áâ¨. ¥¬ ¥ ¬¥¥¥, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¢ ¤ «ì¥©è¥¬, ª ç¥áâ¢¥ë© «¨§ ¢®§¬®¦®á⥩, á«¥¤ãîé¨å ¨§ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ⨯ (8.137), ®á®¢ ë© â¥å ¨«¨ ¨ëå ¯à¥¤¯®«®¦¥¨ïå ® ¢¨¤¥ äãªæ¨¨ ¥««- { ®ã ¯à¨ ¢á¥å § 票ïå ¥¥ à£ã¬¥â , ¬®¦¥â ®ª § âìáï ¢¥áì¬ ¯®«¥§ë¬.
ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨© å à ªâ¥à à冷¢ ⥮ਨ ¢®§¬ã饨©.
§«®¦¥ë© ¢ëè¥ ¬¥â®¤ ¯¥à¥®à¬¨à®¢®ª ãáâà ï¥â à á室¨¬®á⨠¢ ®â¤¥«ìëå ¤¨ £à ¬¬ å, â.¥. ¢ ®â¤¥«ìëå ç«¥ å à §«®¦¥¨ï ¬ âà¨æë à áá¥ï¨ï ¢ àï¤ ¯® áâ¥- ¯¥ï¬ § àï¤ í«¥ªâà® , ¥ áà §ã ¢® ¢á¥© ¬ âà¨æ¥ à áá¥ï¨ï. ®§¨ª ¥â ¢®¯à®á, ¡ã¤¥â «¨ á室ï騬áï àï¤ â¥®à¨¨ ¢®§¬ã饨©, á®áâ®ï騩 ¨§ ¯¥à¥®à¬¨à㥬ëå á« - £ ¥¬ëå. ãé¥áâ¢ã¥â à£ã¬¥â æ¨ï, ¯à¨ ¤«¥¦ é ï ©á®ã, ¨§ ª®â®à®© á«¥¤ã¥â, çâ® íâ®â àï¤ ï¢«ï¥âáï à á室ï騬áï ¨ ®â®á¨âáï ª ⨯ã â ª §ë¢ ¥¬ëå ᨬ¯â®- â¨ç¥áª¨å à §«®¦¥¨©.
§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï í«¥ªâà® ¬¨, ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï äãª- 樥© e2RD(k2), £¤¥ eR ᮢ ®¡®§ ç ¥â ¯¥à¥®à¬¨à®¢ ë© (䨧¨ç¥áª¨©) § àï¤.ëç¨á«¨¢ á ¯®¬®éìî í⮩ äãªæ¨¨ ¥ª®â®àãî 䨧¨ç¥áªãî ¢¥«¨ç¨ã F (p; e2R), ¬ë ¯®«ã稬 ¡¥áª®¥çë© àï¤ ¯® á⥯¥ï¬ e2R:
X |
|
F (p; eR2 ) = 1 eR2nfn(p) |
(8.144) |
n=0
£¤¥ fn(p) - ¥ª®â®àë¥ äãªæ¨¨ 4-¨¬¯ã«ìᮢ ç áâ¨æ. ®¯ãá⨬, çâ® íâ®â àï¤, ®â- ¤¥«ìë¥ ç«¥ë ª®â®à®£® ¯¥à¥®à¬¨à®¢ ë á ¯®¬®éìî ®¯¨á ®© ¢ëè¥ ¯à®æ¥¤ãàë,
á室¨âáï ¯à¨ ¥ª®â®à®¬ § 票¨ eR. ®£¤ F (p; e2R) F (e2R) ï¥âáï «¨â¨- ç¥áª®© äãªæ¨¥© e2R ¯à¨ e2R 0, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ F (;e2R) ¡ã¤¥â «¨â¨ç¥áª®©
äãªæ¨¥©, ¯à¥¤áâ ¢¨¬®© ¢ ¢¨¤¥ á⥯¥®£® àï¤ . ® F (;e2R) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¨§ãç ¥¬ãî ¬¨ ¢¥«¨ç¨ã F ¤«ï ⮣® á«ãç ï, ª®£¤ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¤¢ãå ç áâ¨æ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï äãªæ¨¥© ;e2RD(k2), ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á¨âã 樨 ¯à¨â殮¨ï ®¤®- ¨¬¥ëå § à冷¢ ¢¬¥áâ® ®ââ «ª¨¢ ¨ï.
¥âà㤮 ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ®¡ë箥 ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢ ªã㬠¥ ®â¢¥- ç ¥â á®áâ®ï¨î á ¨¬¥ì襩 í¥à£¨¥©! á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ᥡ¥, çâ® ®¡à §®- ¢ «®áì N í«¥ªâà® - ¯®§¨âà®ëå ¯ à ¨ çâ® ¢á¥ í«¥ªâà®ë á®á।®â®ç¥ë ¢ ®¤®© ®¡« á⨠¯à®áâà á⢠, ¯®§¨âà®ë ¢ ¤à㣮©. ᫨ í⨠®¡« á⨠¤®áâ â®ç® ¬ «ë ¨ ¤®áâ â®ç® ®â¤ «¥ë ¤à㣠®â ¤à㣠, â® ¯à¨ ¡®«ì讬 N ®âà¨æ ⥫ì ï ªã«®®¢- ᪠ï í¥à£¨ï ¯à¨â¢ îé¨åáï ®¤®¨¬¥ëå § à冷¢ ¡ã¤¥â ¡®«ìè¥ í¥à£¨¨ ¯®ª®ï ç áâ¨æ ¨ ¨å ª¨¥â¨ç¥áª®© í¥à£¨¨. §®¢¥¬ â ª¨¥ á®áâ®ï¨ï \¯ ⮫®£¨ç¥áª¨¬¨".
|
203 |
।¯®« £ ï, çâ® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¬¥¦¤ã § àï¤ ¬¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ;e2RD(k2), à á- ᬮâਬ ¥ª®â®à®¥ ®¡ë箥 á®áâ®ï¨¥, å à ªâ¥à¨§ãî饥áï «¨ç¨¥¬ ¥áª®«ìª¨å
ç áâ¨æ. ⮬ ç¨á«¥ íâ® ¬®¦¥â ¡ëâì ¨ ®¡ëçë© ¢ ªã㬠(á®áâ®ï¨¥ ¡¥§ ç áâ¨æ).â® á®áâ®ï¨¥ ®â¤¥«¥® ¯®â¥æ¨ «ìë¬ ¡ àì¥à®¬ ®â \¯ ⮫®£¨ç¥áª®£®" á®áâ®ï¨ï á â ª®© ¦¥ í¥à£¨¥©, ¯à¨ç¥¬ ¢ëá®â ¡ àì¥à ®¯à¥¤¥«ï¥âáï í¥à£¨¥©, ¥®¡å®¤¨¬®© ¤«ï ᮧ¤ ¨ï N ¯ à, â.¥. í¥à£¨¥© ¯®ª®ï N ç áâ¨æ.
ᨫ㠪¢ ⮢®¬¥å ¨ç¥áª®£® â㥫쮣® íä䥪â áãé¥áâ¢ã¥â ª®¥ç ï ¢¥- à®ïâ®áâì ¯¥à¥å®¤ ¨§ ®¡ë箣® ¢ \¯ ⮫®£¨ç¥áª®¥" á®áâ®ï¨¥. â® ®§ ç ¥â, çâ® ª ¦¤®¥ 䨧¨ç¥áª®¥ á®áâ®ï¨¥ ï¥âáï ¥ãáâ®©ç¨¢ë¬ ¯® ®â®è¥¨î ª ᯮâ - ®¬ã ஦¤¥¨î ¡®«ì讣® ç¨á« ç áâ¨æ. \ ⮫®£¨ç¥áª®¥" á®áâ®ï¨¥, ¢ ª®â®à®¥ ¯¥à¥©¤¥â á¨á⥬ , ¥ ¡ã¤¥â áâ 樮 àë¬, â ª ª ª ¢ ¥¬ ¡ã¤¥â ®¡à §®¢ë¢ âìáï ¢á¥ ¡®«ì襥 ¨ ¡®«ì襥 ç¨á«® ç áâ¨æ, â.¥. ¢ ç áâ®áâ¨, ¡ã¤¥â ¯à®¨á室¨âì à §àã襨¥ ¢ ªã㬠, ®á®¢®£® á®áâ®ï¨ï ã â ª®© á¨áâ¥¬ë ¢®®¡é¥ ¥ ¡ã¤¥â! ᨫã â ª®© \¯ ⮫®£¨¨" ¥«ì§ï ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® á äãªæ¨¥© ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ;e2RD(k2) ¯à¨¢®¤¨â ª ¢¯®«¥ ®¯à¥¤¥«¥ë¬ «¨â¨ç¥áª¨¬ äãªæ¨ï¬. ª®à¥¥ á«¥¤ã¥â ¤ã-
¬ âì, çâ® äãªæ¨ï F ( |
e2 ) ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì «¨â¨ç¥áª®©, ¯®â®¬ã ¨ àï¤ (8.144) |
|
; R |
2 |
|
¥ ï¥âáï á室ï騬áï ¯à¨ eR 6= 0. |
||
á¢ï§¨ á í⨬ ᮢ |
¢®§¨ª ¥â ¥áâ¥áâ¢¥ë© ¢®¯à®á { ª ª®© ¦¥ á¬ëá« ¨¬¥¥â |
|
àï¤ (8.144) ¨ ¯®ç¥¬ã , ®¯¥à¨àãîé ï á â ª¨¬¨ àï¤ ¬¨, 室¨âáï ¢ ¡«¥áâï饬 ᮮ⢥âá⢨¨ á íªá¯¥à¨¬¥â «ì묨 ¤ 묨. ⢥â íâ®â ¢®¯à®á á®á⮨⠢ ⮬, çâ® àï¤ (8.144) ï¥âáï ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¬ à冷¬. ª¨¥ àï¤ë, ¯à¨ ᮡ«î¤¥¨¨ ¥- ª®â®àëå ãá«®¢¨©, ¬®£ãâ ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ë ¤«ï ®¯¨á ¨ï äãªæ¨©, ª®â®àë¥ ®¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ á ®ç¥ì ¡®«ì让, ® ¢á¥£¤ ª®¥ç®© â®ç®áâìî [36]. ®â«¨ç¨¥ ®â
á室ïé¨åáï à冷¢, ç«¥ë ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® àï¤ e2Rnfn(p) á à®á⮬ n á ç « ¯ - ¤ îâ, ® § ⥬, ç¨ ï á ¥ª®â®à®£® ®¬¥à n0 ç¨ îâ à áâ¨, ¯à¨ç¥¬, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, à á⨠¥®£à ¨ç¥®. ਠí⮬ ¬ ªá¨¬ «ì ï â®ç®áâì, á ª®â®à®© ᨬ- ¯â®â¨ç¥áª¨© àï¤ ¬®¦¥â ¯¯à®ªá¨¬¨à®¢ âì äãªæ¨î F , ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢¥«¨ç¨®© fn0 . ¥¬ íâ ¢¥«¨ç¨ ¬¥ìè¥, ⥬ â®ç®áâì ¡®«ìè¥. á«ãç ¥ ¥áâì ®á®¢ - ¨ï ¯®« £ âì, çâ® ¢ àï¤e (8.144) ¢¥«¨ç¨ë fn ¡ã¤ãâ ¯ ¤ âì ¢¯«®âì ¤® n ¯®à浪 n0 ~c=e2R = 137. ª ª ª íâ® § 票¥ n0 ¢¥áì¬ ¢¥«¨ª®, â® â®ç®áâì, á ª®â®à®© ¢àï¤ (8.144) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ॠ«ì®á⨠®ç¥ì ¢¥«¨ª . ®-¢¨¤¨¬®¬ã, ¥â®ç®áâì àï¤ (8.144) ¯®à浪 exp(;~c=e2R), ç⮠ï¥âáï ¨ç⮦® ¬ «®© ¢¥«¨ç¨®©. «ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨å 楫¥© â ª®© â®ç®á⨠¡®«¥¥ 祬 ¤®áâ â®ç®!
204 |
|