Інтегральне числення ФОЗ. 1
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( 1 1 24.10.2013).
I.
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f ′(x ) = lim |
f ( x + |
x ) − f (x ) |
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f (x ) |
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(a, b), " |
F (x ) |
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(a, b), |
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x (a, b) : F ′ (x ) = f (x ) . |
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|
|
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1. .( |
f ( x ) = 2 x, |
x (−∞; + ∞). # F ( x ) = x2 . |
|
(, |
x (−∞; + ∞) : (x2 )′ = 2 x .
2. . ( |
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f ( x ) = |
1 |
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|
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π |
π |
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# F ( x ) = tg x . (, |
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x |
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cos2 |
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x |
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2 |
2 |
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π |
|
π |
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: (tg x )′ = |
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1 |
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|
|
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x − |
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; |
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|
|
|
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cos2 |
|
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|
|
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|
|
|
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2 |
2 |
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x |
|
|
|
|
|
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|
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%, " |
f ( x ) = 2 x |
! * + |
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F ( x ) = x2 + 1, |
F ( x ) = x2 − |
|
|
|
, F ( x ) = x2 + |
π |
, |
! * " " |
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|
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2 |
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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4 |
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|
3 |
|
|
|
|
|
|
1
" x2 + C , C – . & " f ( x ) = cos2 x -
! * " tg x + C . * ( "
:
. F ( x ) f ( x )
(a, b) , F (x ) + C , C – ,
f ( x ) (a, b) .
! + . (:
(F ( x ) + C )′ = F ′( x ) + C′ = f ( x ) + 0 = f ( x ).
# , + " ’" , * " . - ' ! * " f ( x ) , -
, , + * * . & , ": , * " " + -
" , . & * , .
. F1 ( x ) F2 ( x ) – f ( x )
(a, b) . x (a, b) :
F2 ( x ) − F1 ( x ) = C .
!. % Φ ( x ) = F2 ( x ) − F1 ( x ). # x (a, b):
-
-
Φ′( x ) = (F2 ( x ) − F1 ( x ))′ = F2′( x ) − F1′( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0 .
& * * " x1 , x2 (a, b) , x1 < x2 "
' Φ ( x2 ) − Φ ( x1 ) . 2 ' 5 + ( x1, x2 )
, c , ! *:
Φ ( x2 ) − Φ (x1 ) = Φ′(c )( x2 − x1 ) = 0
(* Φ′(c ) = 0 ). ) + Φ ( x2 ) = Φ ( x1 ), ! " Φ ( x )
' * * |
(a, b) . 6 ,, |
Φ ( x ) = C = const (a, b), ( ! ! . |
|
2 ,, " " |
f ( x ) (a, b) |
, ! , " f ( x ) * , ! -
, "' * " .
. * f ( x ) (a, b)
, * " ! " # # f ( x ) * , -
, * " :
4
∫ f ( x ) dx .
% * " f ( x ) , * " ,
f ( x ) dx # ! #.
∫ ! 5 (! 1686 . 6 ( , -
* ! S – 3 ! Summa. # « » ( * integer – () ! 1696 7
. & , * " ! "
.
2 " , " ( ! ":
∫ f ( x )dx = F ( x ) + C
# ! ! * " F ( x ) f ( x ) ! *
C .
. " , , ,:
∫2 x dx = x2 + C, ∫ |
dx |
|
= tg x + C . |
|
|
|
|
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cos |
2 |
|
||
|
|
x |
', " :
1. ! " :
(∫ f ( x )dx )′ = (F ( x ) + C )′ = f ( x ) + 0 = f ( x ) .
2. $ ! " #
!:
d (∫ f ( x )dx ) = (∫ f ( x )dx )′ dx = f ( x )dx .
3. ! "
:
∫dF ( x ) = ∫F ′( x )dx = ∫ f ( x )dx = F ( x ) + C .
& 1 – 3 - '' * ( , " -
" , ! ' ' ".
4. % # # ! ! ! " :
5
∫k f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx .
5. ! " # (!) # ( - !) ! " :
∫( f ( x ) ± g ( x ))dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx .
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2. " # # .
. " ! ( . -
«* " ( , ») + -
! ' . , ( ! ! * * "
, " ! + ' * " ! ' . 6 "- ' * " ! ' ". ) +:
∫0 dx = C |
|
|
|
|
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∫dx = x + C |
|
|
|
|
|||||||||
∫xα dx = |
|
|
xα +1 |
|
+ C |
(α ≠ −1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
α + 1 |
|
|
||||||||
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|||||||
= ln |
|
x |
|
+ C |
|
||||||||
|
|
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫a x dx = |
a x |
+ C, |
∫ex dx = ex + C |
||||||||||
ln a |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫sin xdx = − cos x + C
∫cos xdx = sin x + C
|
|
|
|
dx |
|
|
= − ctg x + C |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∫ sin 2 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||
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|
dx |
|
|
= tg x + C |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||
∫ cos2 |
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
|
1 |
arctg |
x |
+ C |
||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
+ a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
||||||||||
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x − a |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
= |
|
ln |
|
|
|
|
+ C |
||||||||||||||||
x2 − a2 |
2a |
x + a |
||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||
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|
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|
|
= ln |
|
x + x2 ± a2 |
+ C |
|||||||||||||||
|
|
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|||||||||||||||
|
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||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||
|
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|
x2 ± a2 |
|
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|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
6
|
|
dx |
|
= arcsin |
x |
+ C |
∫ |
|
|
|
|||
|
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a2 − x2 |
|
|
a |
3. $ " .
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|
1 |
|
|
5 |
|
1 |
|
− |
4 |
|
|||
|
|
|
|
||||||||||
1). ∫ 3x5 − |
|
|
|
+ |
|
|
dx = 3∫x5 dx − |
|
∫x |
|
3 dx + 5∫x−3 dx = |
||
|
|
|
x |
3 |
2 |
||||||||
2 3 x4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x−2 |
|
|
|
|
|
x6 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||
= 3 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+ 5 |
|
|
|
|
+ C = |
|
+ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6 |
|
2 |
− |
1 |
|
−2 |
2 |
2 3 x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∫ |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
∫ |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
∫ |
||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
+ 1 |
dx = |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ 1 dx = |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
= ln x + 4 x + x + C.
& ’" :
− |
5 |
+ C . |
2x2 |
dx + 2∫ dx + ∫dx = x x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ |
dx |
|
= ∫x− |
1 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
dx = |
|
+ C = 2 x + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
2 |
∫ |
|
2 x |
|
x |
x |
|
2 |
x |
||||||||
3). |
|
cos |
|
+ sin |
|
dx = |
cos |
|
|
+ 2 cos |
|
sin |
|
+ sin |
|
|
dx = |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
= ∫(1 + sin x )dx = ∫dx + ∫sin x dx = x − cos x + C.
# :
cos2 α + sin 2 α = 1, |
|
sin α = 2 sin |
α |
cos |
α |
. |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||
|
∫ |
|
4 |
− x |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
4 |
x |
4 |
− x |
|||||
4). |
4x 3 + |
|
|
|
|
dx = |
|
3 4x + |
|
|
|
||||||||||||
cos2 |
x |
cos2 x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= 3∫4x dx + ∫ |
|
dx |
|
= 3 |
4x |
+ tg x + C. |
|
|
|||||||||||||||
cos2 x |
ln 4 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
∫ |
1 − sin3 |
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5). |
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
− sin x dx = |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
sin 2 x |
|
|
|
|
|
|
∫ sin 2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx =
7
= ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
− |
∫sin x dx = − ctg x + cos x + C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
dx |
= |
∫ |
x |
4 |
|
|
− 81 + 81 |
dx = |
|
∫ |
|
|
|
x |
4 |
|
|
− 81 |
+ |
|
81 |
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ x2 + 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 9 x2 + |
9 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x2 |
− 9)(x2 + 9) |
|
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
x |
2 − |
9 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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x2 |
+ |
9 |
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||||
= ∫x2 dx − 9∫dx + 81∫ |
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dx |
= |
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x3 |
|
− 9 x + 81 |
1 |
arctg |
x |
+ C . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 + 9 |
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3 |
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3 |
3 |
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∫ |
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1 + x2 − 1 − x2 |
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1 + x2 |
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1 − x |
2 |
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7). |
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dx = |
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− |
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dx = |
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1 − x |
4 |
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∫ |
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1 |
− x |
4 |
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1 − x |
4 |
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||||
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∫ |
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1 + x |
2 |
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1 − x |
2 |
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= |
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− |
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dx = |
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1 |
+ x |
2 |
1 |
− x |
2 |
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1 + x |
2 |
|
|
1 − x |
2 |
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|
1 |
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1 |
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dx |
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dx |
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|||||||||||||||
= ∫ |
|
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|
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|
− |
|
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|
|
|
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|
dx = ∫ |
|
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|
|
|
|
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|
− |
|
∫ |
|
|
|
|
= |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 − x2 |
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|
1 + x2 |
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1 − x2 |
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|
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|
1 + x2 |
|
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|
|
|
|
|
|
=arcsin x − ln x + 1 + x2 + C .
4..
.
! '' * " , " .3. #
3 * . ) ,
! . & 8 , * " ( .
. F (x ) f ( x ) (a, b ), :
∫ f ( x )dx = F ( x ) + C, |
x (a, b ) , |
x = ϕ (t ) |
! " (α , β ), |
" # # ! " (a, b ).
#:
∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt = F (ϕ (t )) + C, t (α , β ) .
!. 2 ' ' " ,-:
8
(F (ϕ (t )))′ = F ′(ϕ (t ))ϕ′(t ) = f (ϕ (t ))ϕ ′(t ),
,, " F (ϕ (t )) , ' " f (ϕ (t ))ϕ ′(t )
(α , β ) , ! + " .
. ' * . ' * " (-
' x = ϕ (t ) , !
∫g (t ) dt = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′ (t ) dt
! 3 , + (
∫ f ( x ) dx .
9 ! " t =ψ ( x ) , ! "
+ t x .
. * , , + ( *.
. ( F ( x ) |
, ' " |
f ( x ) (a, b ), ! |
|||||||||||||
|
∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C. |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
t = ax + b, |
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1 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∫ f (ax + b )dx |
x = |
t − b |
, dx = |
1 |
dt |
= ∫ f (t ) |
a |
dt = |
a |
∫ f (t )dt = |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|
|
||
= |
1 |
F (t ) + C = |
1 |
F (ax + b ) + C |
|
|
|
|
|
|
|
(4.1) |
|||
|
a |
|
|
|
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|
|||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$" .
1). ∫(3x + 5)10 dx
6 ( + ! ! ! ! *, '
! .*'. * . %, (
+ ( ! (
∫x10 dx = |
x11 |
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
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|
||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. (4.1) ,: |
|||||||||||||
∫(3x + 5)10 dx = |
1 |
|
(3x + 5)11 |
+ C = |
(3x + 5)11 |
+ C . |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3 |
|
11 |
33 |
|
||||||
# f ( x ) = x10 , |
a = 3, |
b = 5, |
F ( x ) = |
x11 |
. |
||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
2). ∫a2 − x2 dx, x (0,1) .
2 !
x = a sin t, |
|
|
|
|
|
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|
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|
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= a cos t, |
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|
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|
|
|
2 (1 − sin 2 t ) = |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a2 − x2 = |
a2 − a2 sin 2 t = |
|
|
|
a |
a2 cos2 t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|||||
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π |
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x |
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||||||||||
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|||||||||||||
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t 0, |
|
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, t = arcsin |
|
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, |
|
dx = a cos t dt |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
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a |
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/ ,: |
|
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|
|
|
|
|
||||||||
∫ |
|
|
|
|
dx = ∫a cos t a cos t dt = a2 ∫cos2 t dt = a2 ∫ |
1 + cos 2t |
dt = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a2 − x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
= |
a2 |
∫dt + |
a2 |
∫cos 2t dt = |
a2 |
t + |
a2 |
sin 2t + C = |
a2t |
+ |
a2 |
2 sin t cos t + C = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
a2t |
|
a2 |
|
|
|
|
+ C = |
a2 |
|
arcsin |
x |
+ |
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
= |
+ |
|
sin t |
1 − sin 2 t |
a2 − x2 + C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% ! cos 2t " ' (4.1). ) ! , * " ,
, * " " u ( x ) , 3 * " , - 3 * ' , " u ( x ) , :
∫ f (u ( x ))u′( x ) dx = ∫ f (u ( x )) du ( x ) .
#, ( '' t = u ( x ) , , :
∫ f (t ) dt .
: F ( x ) f ( x ) ,
∫f (u ( x ))u′( x ) dx = ∫ f (u ( x )) du ( x ) = t = u ( x ) =
=∫ f (t ) dt = F (t ) + C = F (u ( x )) + C .
$" :
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
(ln x ) |
|||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
||||
1). ∫ |
|
|
= ∫ |
|
|
x |
|
= ∫ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 − ln 2 x |
4 − ln2 x |
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
4 |
− ln2 x |
) + u = ln x . 2 ! 3 t = ln x ,
,:
10
|
|
dt |
|
= arcsin |
t |
+ C = arcsin |
ln x |
+ C . |
∫ |
|
|
|
|
||||
|
||||||||
4 − t 2 |
2 |
2 |
|
2). 0 " " ! * (
+ ( ) " .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
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|
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1 |
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|
|||
|
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|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
3 |
|
||||||||
∫ |
|
x |
|
+ 1 x |
|
dx |
= |
|
|
|
∫ x |
|
|
+ 1 3x |
|
dx = |
|
|
∫ |
x |
|
+ 1 d (x |
|
+ 1) = t = x |
|
+ 1 |
= |
||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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3 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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2 |
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3 |
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= |
∫ |
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dt = |
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∫t |
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dt = |
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+ C = |
(x3 + 1) |
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+ C . |
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t |
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2 |
2 |
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3 |
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3 |
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3 |
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3 |
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2 |
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3). & + , ( : |
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∫ |
u′(x ) dx |
= ∫ |
du ( x ) |
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, |
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u ( x ) |
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u (x ) |
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! * * ! * " ( -
. $! " t = u ( x ) , , :
∫ |
dt |
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= ln |
|
t |
|
+ C = ln |
u ( x ) |
+ C . |
(4.2) |
|||
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t |
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# ! ', * " .
.
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1). ∫ctgx dx = ∫ |
cos x dx |
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∫ |
d sin x |
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= |
= ln |
sin x |
+ C . |
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sin x |
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sin x |
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2). ∫tgx dx = ∫ |
sin x dx |
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= −∫ |
− sin x dx |
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= −∫ |
d cos x |
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= − ln |
cos x |
+ C . |
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cos x |
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cos x |
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cos x |
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3). $" ! *3 ( : |
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sin |
2 x |
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+ cos |
2 x |
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sin |
x |
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cos |
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x |
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∫ |
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dx |
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= ∫ |
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1 dx |
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= |
∫ |
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2 |
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2 |
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=∫ |
2 |
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dx + ∫ |
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2 |
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dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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sin x |
2 sin |
|
x |
cos |
x |
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2 sin |
|
|
x |
cos |
|
x |
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|
2 cos |
x |
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|
2 sin |
|
x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
2 |
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2 |
2 |
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2 |
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2 |
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∫ |
tg |
x |
|
x |
|
+ |
∫ |
ctg |
x |
|
|
x |
|
|
= − ln |
|
cos |
x |
|
+ ln |
|
sin |
x |
|
+ C = ln |
|
tg |
x |
|
+ C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
d |
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|
|
d |
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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|
2 |
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2 |
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|
2 |
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6 ( + ! ! + ! '
t = tg x .
2
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