Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вступ до аналізу. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2015

Размер:

1.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

. 5 E > 0 N ( E ) (, n > N -

*	xn	> E , + *, lim xn = ∞ .
		n→∞

# ! ! *2 " n * xn

+ ! ! *2, + ! * " E . % * + " , -

.
. 5			E > 0 N (E )				(,	n > N -
* xn > E , + *, lim xn						= + ∞ .
				n→∞
. 5			E > 0 N (E )				(,	n > N -
* xn < − E , + *,					lim xn = − ∞ .
					n→∞
. , lim					n2	= + ∞ .
. , lim						= + ∞ .
				n→∞ n + 1
6 * E > 0 " *:
	n2		1
		> E n −1 +		> E .
		> E n −1 +		> E .
	n + 1		n + 1

4' * + ! , " n > E + 1, ! n > N (E ) = [E + 1] .

5 * , ', " * - , * " , + – .

10. & .

" 1 ( ). ) & {xn } ,

. .( * {xn } , ( a b ,

a ≠ b . # \| a − b \| > 0 . ) * lim xn = a , ε > 0 N1			n > N1
	n →∞
: \| xn	− a \| < ε . * lim xn = b , ε > 0 N	2 n > N	2 -
	n →∞

: | xn − b | < ε . % N = max( N1, N 2 ) . # " n > N ,

! : | xn − a | < ε | xn − b | < ε . % ε = | a − b | 2 . # " n > N :

| a − b | = | a − xn + xn − b | ≤ | xn − a | + | xn − b | < ε + ε = 2ε = 2 | a − b | . 3

' | a − b | > 0 , , 1 < 23 , , , .

& ( " ! +. ) ( + *

+ " *.

" 2 ( ). ) &

, .

. .( * {xn } ! +, lim xn = x0 . # ε > 0

n →∞

N n > N : | xn − x0 | < ε . " n ,:

| xn | = | xn − x0 + x0 | ≤ | xn − x0 | + | x0 | < | x0 | + ε .

% M1 = max | xk | . # n ! : | xn | ≤ M ,

1≤k ≤ N

M= max(M1, | x0 | + ε) . # ! * {xn } ! +.

$ . )! + " , ! ! +

, ! + *. . , * xn = (−1)n ! +, , " . 9 ( 4), , ! + '.

" 3 ( ). -! {xn }, { yn },{zn }

1)	N0 n > N0 : xn ≤ yn ≤ zn ;
2)	lim xn	= lim zn = a .
	n →∞	n →∞
. { yn } , lim yn = a .
		n →∞
	. ) * lim xn = a , ε > 0 N1 n > N1 : \| xn − a \| < ε .
		n →∞
! −ε < xn − a < ε . ) * lim zn = a , ε > 0 N			2 n > N 2 : \| zn − a \| < ε
		n →∞

. ! −ε < zn − a < ε . % N = max( N0 , N1, N 2 ) . # " n > N -

−ε < xn − a ≤ yn − a ≤ zn − a < ε ,

+ | yn − a | < ε . # " ! * " ε > 0 (2 " N -

(, n > N : \| yn	− a \| < ε . ( ,, lim yn = a . #-
	n →∞

4' ' * ! . 5 -

! * ", ! " ' *

", ( (, " ( + , " , + "-. 5 * « » + 2, 2 -

" ' * , ( , + , « » + -

* " , , + . % {xn }, {zn } – « -

», * { yn } – «(».

1. ,

lim	1	= 0 .

n → ∞ 2n

$" " ! .*':

2n = (1 + 1)n = 1 + n + n(n −1) + K > 1 + n . 2

0 <	1	<	1	.
	2n
			n + 1
8 ',, lim					1	= 0	. # -

n → ∞ n + 1

, !. 2. , a > 1:

lim na = 1.

n → ∞

%: αn = na − 1. # na = 1 + αn , a = (1 + αn )n . 6 - ' ! .*' ,:

a = 1 + nαn + ... > 1 + nαn ,

0 < αn < a −1 , n

* lim a −1 = 0 , ,

n →∞ n

3. ,

lim nn = 1 .

n → ∞

%: αn = nn − 1 > 0 . # nn = 1 + αn , n = (1 + αn )n . 6 -

' ! .*' ,:

n = (1 + αn )n = 1 + nαn

n(n −1)

αn2 + ... >

n(n −1)

αn2 ,

α2

n − 1

−1

0 < αn < , n − 1

* lim = 0 (* (),

n → ∞ n − 1

, !.

" 4. -! lim xn = a ,	lim yn = b , a < b . . N
n → ∞	n → ∞
n > N : xn < yn .

. ) *	lim xn = a , ε > 0 N1 n > N1 : \| xn − a \| < ε .
	n → ∞
) * lim yn = b ,	ε > 0 N1 n > N 2 : \| yn − b \| < ε . %
n → ∞
N = max( N1, N 2 ) . # " n > N , : \| xn − a \| < ε ,
\| yn − b \| < ε . !: a − ε < xn < a + ε , b − ε < yn < b + ε . ) * a < b , !-
ε * , ! *: a + ε < b − ε (! ε < (b − a) 2

). # " n > N ! :

xn < a + ε < b − ε < yn , ( * -

# 1. ) &

lim xn = a ,

a < b (a > b) , N n > N -

n → ∞

xn < b ( xn > b) .

# 2. 5

lim xn = a ,

a > 0 ( a < 0 ) , N n > N -

n → ∞

xn > 0 ( xn < 0) .

# 3. ) &

lim xn = a ,

lim yn = b ,

n xn ≤ yn

n → ∞

, a ≤ b .

(, " ! ! a > b , ' 1 ! !,

xn > yn , ! -

' " , * .

6, "

xn ≤ 0 ( xn ≥ 0 ), a ≤ 0 ( a ≥ 0 ) –

! " -

6 + , " ! 3 !

xn < yn ( -

*), + ! , * " a ≤ b , a < b . 6, "

xn < 0 (

xn > 0 ), a ≤ 0 (a ≥ 0 ).

. .(

, y

n + 1

. ), n x

< y

+ 2

n + 2

lim xn = lim yn = 1.

n → ∞

11. # .

. % * {αn } , * " , "

lim αn = 0 .

n → ∞

# ! " ε > 0 N n > N : | αn | < ε .

., {1 n2}, {1 2n} , ( . . 9,

2 . 10, 1).

". , ! ! -

. .( {αn }, {βn } – . #

ε > 0 N1 n > N1 : | αn | < ε 2 N 2 n > N 2 : | βn | < ε 2 . % N = max( N1, N 2 ) . # n > N ! | αn | < ε 2 ,

| βn | < ε2 . ) +

\| αn	± βn \| ≤ \| αn	\| + \| βn	\| <	ε	+	ε	= ε .

			2		2

4 ( ,, {αn ± βn } .

* 2 ', * " ! * " -

". -

( , ) .

. .( * {xn } – ! +. # M > 0 n : | xn | ≤ M . .( * {αn } . # ε > 0 Nn > N : | αn | < ε M . # n > N ! :

\| x α		\| = \| x \| \| α		\| ≤ M	ε	= ε .
	n		n
n		n			M

4 ( ,, * {xnαn } – .

#. ! !

(, ( {αn }, {βn } – . % * {βn } , ! + ', * ! +, * {αnβn } – -

4" * 2 ', * " ! * " +-

. $ . % ( -

* +. # + !

', + ( !. 0 * + ! ! + '.

1. .( αn

αn		=	1 n2	=		n
					n2
βn			1 n
	2. .( αn
αn		=	1 n2	=		1
			2 n2
βn				2

= 1 , βn = 1 . 4 . ? n2 n

=1 + . n

=	1	, β		=	2	. 4 .
			n
	n2				n2

, ', " ', 1 . 2

3. .( α

, β

(−1)n

. 4 . -

αn

1 n2

= (−1)n , ! + ' ' ( . . 9, -

(−1)n

βn

4).

lim xn = a ! -

n → ∞

xn = a + αn , {αn } – .

. .! *. .(

lim xn = a . 4 ,, ε > 0 N

n → ∞

n > N : | xn − a | < ε . % αn = xn − a . # * {αn } – -

, xn = a + αn .

*. .( xn = a + αn , * {αn } – . # ε > 0 N n > N : | αn | < ε . ) * αn = xn − a , ε > 0 N

n > N : | xn − a | < ε , !

lim xn = a .

n → ∞

. .( x =

. 8 ',, lim x = 1. / ,:

n + 1

n → ∞

x =

n + 1 −1

= 1 −

= 1 + α

+ 1

n + 1

αn = −

– .

n + 1

" (( ). -!

lim xn = a,

lim yn = b .

. :

n → ∞

1) lim ( xn ± yn ) = a ± b ;

n → ∞

2) lim ( xn yn ) = ab ;

n → ∞

3) " y		≠ 0, b ≠ 0 ,	lim	xn	=	a	.
	n
			n → ∞ yn			b

. ) *			lim xn		= a, lim yn = b , *
			n → ∞				n → ∞

xn = a + αn , yn = b + βn , {αn }, {βn } – -

. 6 xn ± yn = a ± b + αn ± βn . ) * * {αn ± βn } – -

, * ,:

lim ( xn ± yn ) = a ± b . :

n → ∞

xn yn = (a + αn )(b + βn ) = ab + aβn + bαn + αnβn .

) * {αn }, {βn } – ,

{aβn }, {bαn }, {αnβn } + , , ,, ( -

* {aβn + bαn + αnβn } – , *

lim ( xn yn ) = ab .

n → ∞

6 , ,

lim c = c , , ,,

n → ∞

lim (cxn ) = c lim xn .

n → ∞

# ! .

, *

−

– . (:

bx − ay

b(a + α

) − a(b + β

)

−

= αn −

βn

byn

) * {αn }, {βn } – , *

+ .

αn

−

βn

% +, * {1 yn } ! +. ) *	lim yn = b ≠ 0 ,
	n → ∞
ε > 0 N n > N : \| yn − b \| < ε . # n > N ,:
\| yn \| = \| b + yn − b \| ≥ \| b \| − \| yn − b \| >\|b \| −ε .
% ε = \| b \| 2 . # \| yn \| > \| b \| 2 , + n > N : \| 1 yn \| < 2		\| b \| .		# !
* {1 yn } ( ! +. *			a	1
	αn −			βn
	αn −			βn
			b	yn

– " ! ! +.

x			a			x	n		a
# *	n	−		– , +	lim			=		.


yn			b		n → ∞ yn				b

. % * {xn } , * " , "

lim xn = ∞ .

n → ∞

/ + " + ", " "

" " ! + ' *. . . . -

* ( , ! + '. ! - + " . $" *:

n, & n − , xn = 0, &n − .

4" * ! +, , '. (, " !

! ', E > 0 N n > N : | xn | > E . "

N – , N + 1 – , | xN +1 | = 0 < E . " N – , N + 2 + , | xN + 2 | = 0 < E . ! * " !

, * ".

". ) & {xn }, { yn } ,

lim xn = + ∞, lim yn = + ∞ , {xn + yn }
n → ∞	n → ∞
,	lim ( xn + yn ) = + ∞ .
	n → ∞

. ) * lim xn = + ∞ , E > 0 N1 n > N1 : xn > E 2 .
n → ∞
) * lim yn = + ∞ , E > 0 N	2 n > N 2 : yn > E 2 . %
n → ∞

N = max( N1, N 2 ) yn > E 2 . ) +

. #, " n > N , , * ": xn > E 2 ,

n > N : xn + yn	> E 2 + E 2 = E , ! lim ( xn + yn ) = + ∞ .
	n → ∞

* ", " lim xn = − ∞	lim yn = − ∞ ,
n → ∞	n → ∞

lim ( xn + yn ) = − ∞ . # ! ( -

n → ∞

, + ' ' + . $ . % * {xn − yn } (+ " -

( ) * -

+ – " * + ! ', + (

!, + * " ( , -

1. .( xn = 2n2 , yn = n2 . 4 . &

* xn − yn = n2 – + .

2. .( xn = 1 + n,

yn = n . 4 . -

* xn − yn

= 1 , ': lim ( xn − yn ) = 1.

n → ∞

3. .(

= n +

= n . 4 . -

− y

, ', *

4. .( x

= n + (−1)n ,

= n . 4 .

* x − y

= (−1)n , " .

". ) & {xn }, { yn } , -

{xn yn } – .

". ) * * {xn } , E > 0

N1 n > N1 : | xn | > E . ) * * { yn } – ,


E > 0 N2 n > N2 : \| yn \| >	E . %: N = max( N1, N 2 ) . #

n > N : \| xn \| >		E , \| yn \| > E . ) + n > N :
	39


\| xn	yn \| = \| xn	\| \| yn	\| > E E = E , ( ,, lim xn yn = ∞ , ! -
				n → ∞

* {xn yn } – .

$ . % ( -

* +, + " -

. & , * " (.

". , ( , ) -

. .( * {xn } – , -

* { yn } – ! +. # M > 0 n : | yn | ≤ M . 0 E > 0 N n > N :

| xn | > E + M . # n > N : | xn + yn | ≥ | xn | − | yn | > E + M − M = E , ! -

* {xn + yn } .

". -

. .( xn = C , { yn } – *. #

E > 0	N n > N : \| yn \| > E \| C \| . ) + n > N : \| xn yn \| = \| Cyn \| =
= \| C \| \|	yn \| > \| C \| E \| C \| = E , ! {xn yn } – -
*.

$ . % ! ! + -

+ ( * ().

". ) & n xn ≠ 0 , {xn }

, {1 xn } – .

. .( * {xn } – . # E > 0N n > N : | xn | > E . % +, * {1 xn } – -. " * ! , ε > 0 N1 n > N1 | 1 xn | < ε .

6 * ε > 0 E = 1 ε . " * E ( * " N

(, n > N | xn | > E . # n > N :

1	=	1	<	1	=	1	= ε ,

xn		\| xn \|		E		1 ε

( ,, * {1 xn } – .

., ( * {1 xn } – . 4 ,,ε > 0 N n > N | 1 xn | < ε . % +, * {xn } –

. " * ! , E > 0 N1 n > N1 -

: | xn | > E . 6 * E > 0 ε = 1 E . " * ε

( * " N (, n > N | 1 xn | < ε . # n > N -

\| x \| =	1	>	1	= E ,

n	1 xn		ε

( ,, * {xn } – . # .

12. % & ! . e . " ' .

". ) & {xn } ,

lim xn = sup{xn}.

n → ∞

. ) * * {xn } ! + , +

X = {x1, x2 ,..., xn ,...} ! + , + , sup X ( . .4). % a =sup X . 6 ' * ε > 0 xN : a − ε < xN ≤ a .

* * {xn } ' ! , n > N ! -

: a − ε < xn ≤ a . 6 " ,,

a = lim xn . # .

n → ∞

* ", " * {xn } ! - ' ! + , ,

lim xn = inf{xn}.

n → ∞

#. ) & , . # ,

. $ . # 2 , * " ' " , !-

+ ( ) ' ! ( ! '-

), * ' " .

1. , a :

lim

= 0 .

(12.1)

n → ∞ n!

$" a > 0 . #

, x

an+1

an a

x .

n+1

(n + 1)!

n!(n + 1)

n + 1

) +, ' " N !:

xn +1 < xn ,

! * {xn } – . n : xn > 0 , ! - 41

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.05.2015744.11 Кб491Вопросы.docx
#
10.11.2018110.08 Кб2восточн_Aziya.doc
#
20.05.20151.43 Mб19ВСЕ ВОПРОСЫ ПО ИСТОРИИ ЭКОНОМИКИ.doc
#
20.05.20153.47 Mб73Всемирная история.pdf
#
12.08.201955.98 Кб1всесв. 10 кл. СРСР.docx
#
20.05.20151.42 Mб3Вступ до аналізу. Ч. 1.pdf
#
20.05.20151.45 Mб3Вступ до аналізу. Ч. 2.pdf
#
20.05.201520.47 Кб14ВСТУП.docx
#
20.05.201516.14 Кб23Галицько-Волинська держава.docx
#
10.11.201876.29 Кб1Галищько-Волинська держава.doc
#
13.08.2019167.94 Кб2галя doc.doc

E > 0	N n > N : \| yn \| > E \| C \| . ) + n > N : \| xn yn \| = \| Cyn \| =
= \| C \| \|	yn \| > \| C \| E \| C \| = E , ! {xn yn } – -
*.