Funk_metoda_part_2

Розв'язок. Використовуючи теорему про загальний вигляд лiнiйного неперервного функцiоналу в L2[a;b], ìà¹ìî

Z b Z b

(Ax, y) = y(t) K(t, s)x(s)dsdt =

aa

=x(s) K(t, s)y(t)dtds = (x, A y).

aa

Çâiäñè

Z b

A y(t) = K(s, t)y(s)ds.

a

Тобто при переходi до спряженого оператора в ядрi K(t, s) треба помiняти мiсцями змiннi t i s.

Зауваження. Якщо функцiя

оператор A дi¹ з простору L2[a;b] комплекснозначних функцiй в себе, то

A y(t) = K(s, t)y(s)ds.

(A−1y, f) = y, (A−1) g ,

31

справедливо¨ y Y, g X , то прийдемо до тотожностi

A (A−1) g = g, g X ,

з яко¨ виплива¹, що оператор A ма¹ правий обернений (A−1) . Тому оператор A : Y → X ма¹ обернений i (A )−1 = (A−1) .

7.2Вправи

1.Нехай A òà B два неперервних лiнiйних оператори, що дiють з простору X в простiр Y . Доведiть, що

(αA + βB) = αA + βB .

2.Нехай A òà B два неперервних лiнiйних оператори, що дiють вiдповiдно з простору X в простiр Y i з простору Y в простiр Z. Нехай оператор C = BA. Доведiть, що

a)оператор C ¹ лiнiйним i неперервним;

b)спряжений оператор C = (BA) = A B .

3.Знайдiть спряженi оператори до наступних операторiв, якi дiють з l1 â l1

(a)A(x1, x2, ...xn, ...) = (x1, x2, ..., xn, 0, 0, ...);

(b)A(x1, x2, ...xn, ...) = (0, x1, x2, ..., xn−1, ...);

(c)A(x1, x2, ...xn, ...) = (x2, x3, ..., xn+1, ...);

(d)A(x1, x2, ...xn, ...) = (a1x1, a2x2, ..., anxn, ...),

an R, |an| ≤ 1, n N.

4.Знайдiть спряженi оператори до операторiв попередньо¨ задачi, якщо вони дiють

5. Знайдiть оператор, спряжений до оператора вкладення

I : l2 → c0, Ix = x.

32

6. Знайдiть спряжений оператор до оператора A : L2[0;1] →

L2[0;1], ÿêùî

(d) Aλx(t) = x(t), t ≤ λ, 0, t > λ.

7. Знайдiть спряженi оператори до наступних операторiв, якi

(−∞,∞) â (−∞,∞):

(a) Ahx(t) = x(t + h);

(b) Ax(t) = x(t) − x(−t).

8Компактнi оператори

8.1Основнi означення

Означення 1. Оператор T L (X, Y ) назива¹ться компактним (цiлком неперервним), якщо вiн вiдобража¹ обмеженi множини з X у предкомпактнi множини в Y.

Теорема 1. Нехай A L(X, Y ), B L(Y, Z). Якщо один з цих операторiв цiлком неперервний, то таким оператором ¹ й ¨х добуток BA.

Теорема 2. Нехай T L(X, Y ), äå Y банахiв простiр. Опе-

ратор T ¹ цiлком неперервним тодi i тiльки тодi, коли спряжений

оператор T цiлком неперервний.

Теорема 3. Якщо послiдовнiсть {An}∞n=1 цiлком неперервних операторiв з нормованого простору X в банахiв простiр Y ðiâ-

номiрно збiга¹ться до оператора A : X → Y , тобто

lim ||An − A||L(X,Y ) = 0,

n→∞

33

то граничний оператор A ¹ цiлком неперервним.

Приклад 1. Чи ¹ цiлком неперервним оператор A, ùî äi¹ ç

C[0;1] â C[0;1], ÿêùî

Z t

Ax(t) = x(s)ds.

0

Розв'язок. Оскiльки цей оператор ¹ лiнiйним i обмеженим, то нам досить показати, що образ одинично¨ кулi

B = x C[0;1] : ||x||C[0;1] < 1

¹ предкомпактною множиною. Нехай x(t) B. Òîäi

Z t

|Ax(t)| = | x(s)ds| ≤ 1,

0

x B i t [0; 1]. Таким чином, образ одинично¨ кулi B ¹ рiвномiрно обмеженою множиною. Далi,

Z t1 Z t2

|Ax(t1) − Ax(t2)| = | x(s)ds − x(s)ds| ≤

0 0

Zt1

≤| x(s)ds| ≤ |t2 − t1|||x||C[0;1] ≤ |t2 − t1|

t2

äëÿ áóäü-ÿêèõ x(t) B.

Таким чином, ε > 0 δ = ε таке, що t1, t2 [0; 1], |t1−t2| < δ i x B викону¹ться нерiвнiсть

|Ax(t1) − Ax(t2)| < ε.

Тобто, образ множини B ¹ одностайно неперервною множиною

функцiй. Згiдно з теоремою Арцела - Асколi, образ множини B ¹

предкомпактною множиною. Звiдси виплива¹, що цей оператор ¹ цiлком неперервним.

Приклад 2. Доведiть, що оператор A, ÿêèé äi¹ ç C[a;b] â C[a;b],

Z b

Ax(t) = K(t, s)x(s)ds,

a

34

äå ÿäðî K(t, s) неперервна в квадратi a ≤ t, s ≤ b функцiя, ¹

цiлком неперервним оператором.

Розв'язок. Оператор Ax(t) = Rab K(t, s)x(s)ds ç C[a;b] â C[a;b] ¹ лiнiйним обмеженим оператором. Покажемо, що образ одинично¨ кулi

äå M = maxa≤t,s≤b |K(t, s)|. Таким чином, образ одинично¨ кулi B ¹ рiвномiрно обмеженою множиною.

Функцiя K(t, s) неперервна в замкненiй областi. За теоремою Кантора вона ¹ рiвномiрно неперервною в квадратi a ≤ t, s ≤ b.

Тобто ε > 0 знайдеться таке δ(ε) > 0, ùî t1, t2, s1, s2 [a; b] викону¹ться нерiвнiсть

ε

|K(t1, s1) − K(t2, s2)| < (b − a)

ÿê òiëüêè |t1 − t2| < δ i |s1 − s2| < δ. Оцiнимо рiзницю |Ax(t1) − Ax(t2)|. Ìà¹ìî

для будь-якого x E ÿê òiëüêè |t1 − t2| < δ. Таким чином, образ

множини B ¹ одностайно неперервною множиною функцiй. Отже

оператор ¹ цiлком неперервним. За аналогi¹ю можна довести,

неперервним оператором з L2[a;b] â L2[a;b] у випадку, коли ядро

K(t, s) L2 ×

[a;b] [a;b].

35

8.2Вправи

1.Доведiть твердження:

(a)Лiнiйний цiлком неперервний оператор ¹ обмеженим;

(b)ßêùî A i B цiлком неперервнi оператори з X â Y , òî

¨õ ëiíiéíà êîìáiíàöiÿ αA + βB ¹ цiлком неперервним оператором;

(c)Áóäü-ÿêèé лiнiйний оператор A : Rn → Rm ¹ öiëêîì неперервним.

2.Довести, що образ компактного оператора ¹ сепарабельною множиною.

3.Доведiть, що оператор вкладення

I : C[1a;b] → C[a;b], Ix = x

¹ цiлком неперервним.

4.Чи буде цiлком неперервним оператор вкладення

I : l1 → l2, Ix = x?

5.Якi з наступних операторiв A : C[0;1] → C[0;1] ¹ öiëêîì íåïå- рервними:

36

6. Доведiть, що оператор A : C[a;b] → C[a;b],

n

X

Ax(t) = ϕi(t)x(ti),

i=0

äå ϕi(t) C[a;b], ti [a; b], i = 0, 1, ..., n, ¹ цiлком неперервним.

7. Доведiть, що оператор A, ÿêèé äi¹ ç C[a;b] â C[a;b],

Z t

Ax(t) = K(t, s)x(s)ds,

a

äå ÿäðî K(t, s) неперервна в квадратi a ≤ t, s ≤ b функцiя,

¹ цiлком неперервним оператором. Що можна сказати про цей оператор, якщо розглядати його як оператор з L2[a;b] â

L2[a;b]?

8. Доведiть, що оператор A : L2[0;1] → L2[0;1],

Z t

Ax(t) = x(s)ds;

0

¹цiлком неперервним.

9.Якi з операторiв A : l2 → l2 цiлком неперервнi

(a)A(x1, x2, ...xn, ...) = (0, x1, x2, ..., xn, ...);

(b)A(x1, x2, ...xn, ...) = (x1, x22 , x33 , ..., xnn , ...);

(c)A(x1, x2, ...xn, ...) = (0, x1, x22 , x33 , ..., xnn , ...)?

10.Чи буде цiлком неперервним оператор A : C[−1;1] → C[−1;1]

Ax(t) = 12 [x(t) + x(−t)] .

37

11.Нехай en (n N) - ортонормований базис гiльбертового про-

стору H, λn R (n N), λn → 0 (n → ∞). Äëÿ x H

визначимо оператор A : H → H ÿê

∞

X

Ax = λn(x, en)en.

n=1

Доведiть, що оператор A, визначений на всьому просторi H, ¹ цiлком неперервним.

12. Чи може цiлком неперервний оператор мати

(a) обмежений обернений;

(b) обернений;

(c) обмежений правий обернений;

(d) правий обернений?

9 Спектр лiнiйного оператора

9.1 Основнi факти

Нехай X банахiв простiр над полем C, A L(X). Означення 1. Точка λ C назива¹ться регулярною точкою

оператора A, якщо iсну¹ оператор (A−λI)−1, визначений на всьо- ìó X (i отже, за теоремою Банаха, ¹ неперервним). Сукупнiсть регулярних точок оператора A назива¹ться резольвентною множиною i познача¹ться через ρ(A).

Якщо число λ ρ(A), то обмежений лiнiйний оператор

Rλ = (A − λI)−1

назива¹ться резольвентою оператора A.

Означення 2. Спектром оператора A назива¹ться доповнення множини ρ(A) äî C. Спектр оператора A познача¹ться σ(A).

Теорема 1. Спектром оператора A : X → X ¹ замкнена множина, що лежить в кругу радiуса ||A|| з центром в точцi нуль.

38

Означення 3. Число λ C назива¹ться власним значенням оператора, якщо iсну¹ такий елемент x DA, x 6= 0, ùî

Ax = λx.

При цьому елемент x назива¹ться власним вектором оператора A, що вiдповiдна¹ власному значенню λ.

Кожне власне значення оператора A належить його спектру σ(A), при цьому оператор A − λI не ма¹ оберненого.

Теорема 2. Нехай лiнiйний обмежений оператор A : X → X, äå X банахiв простiр. Тодi iсну¹ скiнченна границя

p

r(A) = lim n ||An||,

n→∞

яка назива¹ться спектральним радiусом. При цьому ма¹ мiсце нерiвнiсть

З цi¹¨ теореми та ознаки Кошi збiжностi невiд'¹мних числових рядiв виплива¹, що якщо r(A) < 1, то оператор I − A ма¹ неперервний обернений оператор

∞

(I − A)−1 = X Ak.

k=0

Цей оператор належить простору L(X) i ðÿä P∞ Ak çáiãà¹òüñÿ

k=0

за нормою простору L(X).

Якщо оператор A : X → X ¹ цiлком неперервним, то для нього справедливо наступне твердження.

Теорема 3. Нехай X комплексний банахiв простiр i опера-

òîð A L(X) цiлком неперервний. Тодi спектр оператора A склада¹ться не бiльше нiж з зчислено¨ множини власних значень, ¹диною граничною точкою яко¨ може бути тiльки точка λ = 0.

Власний пiдпростiр оператора A, який вiдповiда¹ власному зна- ченню λ 6= 0 ¹ скiнченновимiрним.

Означення 4. Нехай H гiльбертовий простiр. Оператор A : H → H назива¹ться самоспряженим, якщо

(Ax, y) = (x, Ay), x, y H.

39

Теорема 4. Нехай A цiлком неперервний самоспряжений оператор в комплексному гiльбертовому просторi H. Òîäi

1.ßêùî A 6= 0, òî A ма¹ принаймнi одне власне значення, вiдмiнне вiд нуля;

2.Усi власнi значення оператора A ¹ дiйсними числами i зосередженi на вiдрiзку [m; M], äå

3.ßêùî M 6= 0, òî M ¹ найбiльшим власним значенням оператора A; à ÿêùî m 6= 0, òî m ¹ найменшим власним значенням оператора A.

Теорема 5. Нехай A цiлком неперервний самоспряжений оператор в комплексному гiльбертовому просторi H. Тодi для будь-якого x H елемент Ax можна подати збiжним рядом Фур'¹ по ортонормованiй системi власних векторiв оператора A.

Теорема 6. Якщо A цiлком неперервний самоспряжений оператор в комплексному гiльбертовому сепарабельному просторi H, òî â H iсну¹ ортонормований базис з власних векторiв опера-

òîðà A.

Приклад 1. В просторi C[−π;π] знайти власнi значення i власнi вектори оператора

Z π

Ax(t) = sin(t + s)x(s)ds.

−π

Розв'язок. Оператор A запишемо у виглядi

Z π Z π

Ax(t) = sin t cos s · x(s)ds + cos t sin s · x(s)ds

−π −π

i розглянемо рiвняння

Z π Z π

λx(t) = sin t cos s · x(s)ds + cos t sin s · x(s)ds.

−π −π

40