Funk_metoda_part_2

Таким чином ми отримали, що ||xn − x|| → 0 (n → ∞).

4.2Вправи

1.Довести, що якщо послiдовнiсть операторiв збiга¹ться по нормi L(X, Y ), то вона i поточечно збiга¹ться до тi¹¨ само¨ границi.

2.Äëÿ x = (x1, x2, . . .) l2 положемо fn(x) = xn. Довести, що

fn → 0 (n → ∞) слабко. Чи буде fn збiгатися в l2? 3. Äëÿ x L2[−1,1] положемо

Z 1

fn(x) = x(t) cos nπtdt.

−1

(a) Довести, що fn обмежений лiнiйний функцiонал (n = 1, 2, ...), знайти ||fn||.

(b)Довести, що fn → 0 (n → ∞) слабко.

(c)×è áóäå збiгатися в ?fn L2[−1,1]

4.Нехай e1, e2, . . . ортонормований базис гiльбертового про- стору H. Позначимо Pk оператор ортогонального проектування на пiдпростiр Hk =< e1, e2, . . . , ek >. ×è áóäå ïî-

ñëiäîâíiñòü Pk збiгатися рiвномiрно? Чи буде вона збiгатися поточечно?

5.Довести, що якщо послiдовнiсть операторiв Ak L(X, Y ) збiга¹ться поточечно, то послiдовнiсть ||Ak|| обмежена.

6.Довести, що якщо X i Y банахови, то простiр L(X, Y ) ¹ повним вiдносно поточечно¨ збiжностi.

7.Довести, що якщо послiдовнiсть елементiв збiга¹ться по нормi, то вона i слабко збiга¹ться до тi¹¨ само¨ границi.

8.Довести ¹динiсть границi послiдовностi елементiв, яка збiга¹ться слабко.

21

9. Довести, що в lp (1 < p < ∞) ïîñëiäîâíiñòü ek =

(0, . . . , 0, 1, 0, . . .) (одиниця на k-ìó мiсцi) не збiга¹ться, але збiга¹ться слабко.

10.В просторi C[a,b] навести приклад незбiжно¨ послiдовностi, яка збiга¹ться слабко.

11.Довести, що в l1 послiдовнiсть збiга¹ться тодi i тiльки тодi, коли вона збiга¹ться слабко.

12.Довести, що в будь-якому скiнченновимiрному просторi збiжнiсть послiдовностi еквiвалентна слабкiй збiжностi.

13.Довести, що якщо послiдовнiсть xk X слабко фундаментальна, то послiдовнiсть ||xk|| обмежена.

14. Нехай H гiльбертiв простiр, xn, x, yn, y H (n N). Ùî

можна стверджувата про збiжнiсть послiдовностi (xn, yn), ÿêùî:

(a) xn → x (n → ∞) слабко, yn → y;

(b) xn → x (n → ∞) слабко, yn → y слабко?

15.Нехай H гiльбертiв простiр, xn, x H (n N), xn → x (n → ∞) слабко i ||xn|| → ||x||. Довести, що xn → x (n → ∞).

16.Нехай H гiльбертiв простiр, xn H, (n N) ортогональна система елементiв. Довести еквiвалентнiсть наступних тверджень:

(a) P∞

n=1 xn çáiãà¹òüñÿ;

(b) P∞

n=1 xn слабко збiга¹ться;

(c) P∞ ||xn||2 çáiãà¹òüñÿ;

n=1

17.Довести, що послiдовнiсть xk в банаховому просторi X слабко збiга¹ться до x тодi i тiльки тодi, коли одночасно

(a)ïîñëiäîâíiñòü ||xk|| обмежена;

22

(b) f(xk) → f(x) для будь-якого f з деяко¨ множини Φ лiнiйних функцiоналiв, лiнiйнi комбiнацi¨ елементiв яко¨ лежать всюди щiльно в X .

18.Нехай x(n), x l2, x(n) = (x(1n), x(2n), . . .), x = (x1, x2, . . .).

Довести, що x(n) → x (n → ∞) слабко тодi i тiльки тодi,

êîëè supn ||x(n)|| < ∞ i x(kn) → xk ïðè n → ∞ для будь-якого

k N.

5Оберненi оператори

5.1Основнi означення

Нехай A оператор, що дi¹ з X y Y , DA область визначення, à Im A образ цього оператора.

Означення 1. Оператор A назива¹ться оборотним, якщо для будь-якого y Im A рiвняння Ax = y ма¹ ¹диний розв'язок.

ßêùî A ¹ оборотним, то кожному y ImA можна поставити у вiдповiднiсть ¹диний елемент x DA, який ¹ розв'язком рiвняння Ax = y. Оператор, що здiйсню¹ це вiдображення, назива¹ться оберненим до A i познача¹ться A−1.

Нехай X, Y лiнiйнi нормованi простори i A L(X, Y ). Îïå-

ратор A−1 A, ÿêùî r назива¹ться правим оберненим до оператора

ратора A, ÿêùî A−l 1A = IX . Òóò IX òà IY тотожнi оператори вiдповiдно у просторах DA òà ImA.

Теорема 1. Оператор A−1, обернений до лiнiйного оператора A, ¹ також лiнiйним.

Теорема 2. Нехай X i Y лiнiйнi нормованi простори, лiнiйний оператор A äi¹ ç X íà Y i iсну¹ така додатна стала m, ùî

Теорема 3 (Банаха). Нехай A лiнiйний обмежений оператор, що здiйсню¹ вза¹мно однозначне вiдображення банахового

23

простору X на банахiв простiр Y . Тодi обернений оператор A−1 також ¹ обмеженим.

Теорема 4. Нехай X банахiв простiр, I тотожний опера-

òîð â X, i A L(X) такий, що ||A|| < 1. Тодi оператор I − A ¹ неперервно оборотним

Приклад 1. Доведiть, що оператор

Z t

Ax(t) = x(s)ds + x(t),

0

який дi¹ з простору C[0;1] у простiр C[0;1], ¹ неперервно оборотним. A оператор.

y C[0;1] довiльний елемент. Знайдемо розв'язок рiвняння Ax(t) = y(t), тобто

Z t

x(s)ds + x(t) = y(t).

0

Покладемо

Z t

z(t) = x(s)ds.

0

Òîäi z0(t) = x(t). Пiсля цього наше рiвняння прийма¹ вигляд:

y(t) = z(t) + z0(t).

Розв'язавши однорiдне рiвняння z(t) + z0(t) = 0, отрима¹мо

z(t) = Ce−t.

Метод варiацi¨ стало¨ да¹

y(t) = C0e−t i C0 = ety(t).

Îòæå,

Z t z(t) = eτ y(τ)dτ + c e−t.

0

24

Îñêiëüêè z(0) = 0, òî c = 0 i

Лишилося довести, що оператор A−1 ¹ неперервним. Для цього досить довести його обмеженнiсть:

íèì i ||A−1|| ≤ e.

5.2Вправи

1.При яких умовах визначенi нижче оператори ¹ оборотними

(a)Ax = ax, R1 → R1, a R1;

(b)Ax = (α1x1, α2x2), R2 → R2, α = (α1, α2) R2?

2.Äëÿ ÿêèõ α1, α2, ..., αn, ... оператор

A(x1, x2, ..., xn, ...) = (α1x1, α2x2, ..., αnxn, ...)

обмежений в l2? Знайдiть його норму. При яких α1, α2, ..., αn, ...

вiн ма¹ неперервний обернений оператор? 3. Нехай оператор

A(x1, x2, ..., xn, ...) = (0, x1, x2, ..., xn, ...)

äi¹ ç l2 â l2. Покажiть, що A ма¹ лiвий обернений, але не ма¹ правого оберненого.

25

4. Оператор диференцiювання

Ax(t) = dxdt (t)

C[0;1]1 â C[0;1]. Покажiть, що оператор A ма¹ правий обернений, але не ма¹ лiвого оберненого.

5. В просторi C[0;1]1 розглянемо пiдпростiр

L = x C[0;1]1 : x(0) = 0

i оператор A : L → C[0;1]

Ax(t) = dxdt + a(t)x(t),

äå a(t) деяка неперервна на [0; 1] функцiя. Доведiть, що A

¹ неперервно оборотним.

6.Розглянемо оператор A : C[0;1] → C[0;1],

Z 1

Ax(t) = x(s)ds + x(t).

0

Доведiть, що A ¹ неперервно оборотним. Знайдiть оператор

A−1.

7. Розглянемо оператор A : C[0;1] → C[0;1],

Z 1

Ax(t) = es+tx(s)ds + x(t).

0

Доведiть, що A ¹ неперервно оборотним. Знайдiть оператор

A−1.

8. Розглянемо оператор A : C[0;1] → C[0;1],

Z t

Ax(t) = x(τ)dτ.

0

26

(a)Опишiть область значення оператора A;

(b)Чи iсну¹ на областi значення оператора A обмежений обернений оператор?

9.Розглянемо оператор A : C[0;1] → C[0;1],

Z t

Ax(t) = x(τ)dτ + x(t).

0

(a)Доведiть, що kerA = 0, отже для будь-якого y C[0;1] рiвняння Ax = y не може мати бiльше одного розв'язку;

(b)Доведiть, що A ¹ неперервно оборотний i знайдiть A−1.

10.Нехай X комплексний банахiв простiр, A L(X), λ C i |λ| > ||A||. Доведiть, що оператор A − λI ¹ неперервно

оберненим.

6Замкненi оператори

6.1Основнi означення

Нехай X, Y банаховi простори над полем P . Розглянемо декартовий добуток Z = X × Y простiр упорядкованих пар

z = (z, y), x X, y Y

з операцiями

αz1 = (αx1, αy1), z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2),

äå z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) Z, α, β P i нормою

||z|| = ||x||X + ||y||Y .

Означення 1. Графiком лiнiйного оператора A з областю

визначення DA X i областю значень Im A Y назива¹ться сукупнiсть пар

= {(x, y) Z = X × Y : y = Ax, x DA} .

27

Означення 2. Лiнiйний оператор назива¹ться замкненим, якщо його графiк ¹ замкненою множиною в Z.

Таким чином, оператор A замкнений, якщо з того, що

xn DA, n N, xn → x0, Axn → y0,

виплива¹, що x0 DA i Ax0 = y0.

Теорема 1. Якщо A L(X, Y ), òî A замкнений.

Теорема 2. Якщо A замкнений оператор i iсну¹ оператор A−1, то вiн теж замкнений.

Теорема 3. Нехай A замкнений оператор с областю визна-

чення DA = X, тодi оператор A ¹ обмеженим. Приклад 1. Розглянемо оператор A : C[a;b] → C[a;b]

Ax(t) = dxdt ,

з областю визначення - лiнiйним многовидом неперервно диференцiйованих на [a; b] функцiй, якi задовольняють умовi x(a) =

x(b) = 0. Доведiть, що A замкнений оператор.

Розв'язок. Вiдомо, що збiжнiсть в просторi C[a;b] ¹ ðiâíîìið-

ною. Оператор A ¹ лiнiйним. Розглянемо збiжну до x(t) C[a;b] ïîñëiäîâíiñòü {xn(t)}∞n=1 неперервно диференцiйованих на [a; b] функцiй, таких що послiдовнiсть {x0n(t)}∞n=1 çáiãà¹òüñÿ â C[a;b] äî

функцi¨ y(t). З теореми про диференцiювання функцiональних по-

слiдовностей ма¹мо, що функцiя x(t) ¹ неперервно диференцiйованою i x0(t) = y(t). Якщо тепер xn(a) = xn(b) = 0, n N, то цiй умовi буде задовольняти гранична функцiя x(t). Îòæå, x(t) DA

i y(t) = Ax(t). Тому оператор A замкнений.

Цей приклад показу¹, що замкнений оператор не завжди ¹ обмеженим.

28

з областю визначення

Доведiть, що A замкнений оператор.

2. Розглянемо оператор A : C[0;1] → C[0;1]

Ax(t) = x0(t)

з областю визначення на лiнiйному многовидi неперервно диференцiйованих функцiй з умовою x(0) = x(1) = 0. Äî-

âåäiòü, ùî A замкнений оператор.

3.Доведiть, що графiк лiнiйного оператора A : X → Y ¹ лiнiйним многовидом в просторi Z = X × Y .

4.Доведiть, що графiк лiнiйного обмеженого оператора A : X → Y замкнений тодi i тiльки тодi, коли його область визначення DA замкнена в X.

5.Доведiть, що множина нулiв замкненого оператора замкнена.

6.Нехай A : X → Y такий лiнiйний оператор, що його область значень Im A замкнена в Y , i iсну¹ така стала m > 0,

що для будь-якого x з областi визначення DA викону¹ться

íåðiâíiñòü ||Ax||Y ≥ m||x||X . Доведiть, що оператор A замкнений.

7Спряженi оператори

7.1Основнi означення

Розглянемо лiнiйний неперервний оператор A L(X, Y ). Нехай

g лiнiйний неперервний функцiонал, визначений на просторi Y (g Y ). Застосу¹мо функцiонал g до елемента y = Ax. Очевид-

íî, ùî g(Ax) ¹ лiнiйним неперервним функцiоналом, визначеним

29

на просторi X; позначимо його через f. Функцiонал f ¹ елемен- том простору X . Таким чином, кожному функцiоналу g Y

поставили у вiдповiднiсть функцiонал f X . Оператор, який

здiйсню¹ це вiдображення, назива¹ться спряженим до оператора A i познача¹ться: A .

Позначивши значення функцiонала f на елементi x символом (x, f), отрима¹мо, що (Ax, g) = (x, f), àáî

(Ax, g) = (x, A g).

З означення спряженого оператора виплива¹, що

A L(Y , X ) i ||A|| = ||A ||.

Приклад 1. Знайти оператор, спряжений до оператора

A(x1, x2, ...xn, ...) = (x5, x6, ..., xn+4, ...),

дiючого з простору l1 â l1.

Ðîçâ'ÿçîê. Âiäîìî, ùî (l1) = l∞. Тому спряжений оператор áóäå äiÿòè ç l∞ â l∞. Îñêiëüêè

Приклад 2. Знайти оператор, спряжений до оператора A :

L2[a;b] → L2[a;b]:

Z b

Ax(t) = K(t, s)x(s)ds,

a

äå K(t, s) дiйсна визначена i вимiрна в квадратi a ≤ t, s ≤ b функцiя, для яко¨

Z b Z b

K2(t, s)dsdt < ∞.

aa

30