Перелік питань до іспиту з «Алгебри та геометрії» для студентів 1 курсу спец. «комп’ютерна інженерія» 2014-2015 н.Р.

1. Визначники порядку 2 та 3, їх властивості. Правило Крамера.

ычисление определителей II и III порядка

Определителем называется число, записанное в виде квадратной таблицы.Таблица ограничивается слева и справа вертикальными линиями.

Главная диагональ определителя содержит элементы aii, противоположная диагональ называется побочной.

Порядком определителя называется число строк (столбцов) квадратной таблицы.

Определитель II порядка вычисляется по формуле:

a1*b2--a2*b1

Определитель III порядка можно вычислить по правилу Сарруса:

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

a13a22a31+a11a23a32+a12a21a33-a11a22a33-a12a23a31-a13a21a32

Основные свойства определителей:

1.1. Значение определителя не изменится, если:

- строки заменить на столбцы, такое действие называется транспонирование, т.е. действия, выполняемые со строками, справедливы и для столбцов;

- все элементы одной строки умножить на какое-либо число и прибавить к соответствующим элементам другой строки.

Такие действия с элементами определителя называются элементарными преобразованиями.

1.2. Определитель меняет знак на противоположный, если две каких-либо строки поменять местами.

1.3. Определитель равен нулю, если:

- все элементы какой-либо строки равны нулю;

- соответствующие элементы каких-либо двух строк равны;

- соответствующие элементы каких-либо двух строк пропорциональны.

Рассмотрим систему уравнений

На первом шаге вычислим определитель , его называют главным определителем системы.

Если определитель равен нулю , то система имеет бесконечно много решений или несовместна(не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если определитель не равен нулю то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:

Y и X

Их корни находим по принципу замены соответствующей переменной свободными членами.

2. Перестановки, їх кількість. Транспозиції, інверсії.

Пусть дано некоторое конечное множество N, состоящее из п элементов. Каждому из этих элементов может быть присвоен номер от 1 до п. В рассматриваемых в дальнейшем задачах свойства элементов множества N не будут существенны, и будем считать, что элементами множества служат сами числа 1, 2, ,п.

Перестановкой степенип называется упорядоченный набор (i₁,i₂,,i_n) п чисел 1,2,,п (или п различных элементов).

Число различных перестановок из п элементов равно произведению 12п, которое обозначается п! (читается “эн-факториал”). Действительно, в качестве i₁можно взять любой из п элементов (любое из чисел 12п), для чего можно выбрать п вариантов. Если элемент i₁ выбран, то в качестве i₂можно взять любой из оставшихся п – 1 элементов, то есть число различных вариантов выбора i₁, i₂ равноп(п –1) и т. д.

Если в некоторой перестановке поменять местами какие-либо два элемента, а все остальные элементы оставить на месте, то получится новая перестановка. Такое преобразование перестановки будем называть транспозицией.

Теорема. Все п! перестановок из п элементов можно расположить в таком порядке, что каждая следующая перестановка будет получаться из предыдущей одной транспозицией, причём начинать можно с любой перестановки.

Доказательство проведём по индукции. Утверждение, очевидно, справедливо при п = 2. Предположим, что утверждение справедливо при п – 1, и покажем, что тогда оно справедливо при п. Пусть задана изначальная перестановка i₁,i₂,,i_n. Рассмотрим все перестановки из п элементов, в которых на первом месте стоит i₁. Таких перестановок (п – 1)! их можно упорядочить любым способом с помощью конечного числа транспозиций, так как, согласно предположению индукции, доказываемое утверждение справедливо для числа элементов п – 1. В последней из полученных перестановок из п элементов поменяем местами элемент i₁с любым из остальных элементов, например, с i₂. Начиная с полученной перестановки, можно упорядочить любым способом все перестановки, у которых на первом месте стоит i₂. Действуя таким образом, можно перебрать все перестановки из п элементов.

Отсюда следует, что от любой перестановки из п элементов можно перейти к любой другой перестановке из тех же элементов при помощи конечного числа транспозиций.

Пусть элементами перестановки являются числа 1,2,,п..Числа iиj составляют инверсию в данной перестановке, если i > jи при этом i стоит в этой перестановке раньше j. Перестановка называется чётной, если она содержит чётное число инверсий и нечётной – в противоположном случае.

Теорема. Всякая транспозиция меняет чётность перестановки.

Доказательство. Сначала рассмотрим транспозицию двух рядом стоящих элементов. Если до транспозиции они составляли инверсию, то после неё инверсию они не составят, и наоборот, если до транспозиции между ними инверсии не было, то после транспозиции она появится. Очевидно, что число инверсий, которые рассматриваемые элементы составляли до транспозиции с элементами, стоящими до них и после них в перестановке при транспозиции не изменится. Таким, образом, чётность перестановки после транспозиции двух рядом стоящих элементов изменится. Пусть теперь первый из тех элементов перестановки, который будет “участвовать” в транспозиции (в дальнейшем будем называть его первым элементом), стоит на i-м месте в перестановке, а второй “участник транспозиции” (в дальнейшем называемый вторым элементом) занимает место с номером i + k. Чтобы поменять местами эти элементы будем действовать следующим образом. Сначала последовательно поменяем местами первый элемент с k – 1 элементами, стоящими между первым и вторым, так, что первый элемент станет соседним элементом слева для второго (тем самым проведём k – 1 транспозиций двух соседних элементов). Затем поменяем местами первый и второй элементы (ещё одна транспозиция двух соседних элементов). Теперь осталось поставить второй элемент на место первого, для чего опять нужно провести k – 1 транспозиций второго элемента с элементами, первоначально находившимися между первым и вторым. Таким образом, проведено 2(k – 1) + 1 транспозиций двух стоящих рядом элементов. Тем самым чётность перестановки была изменена нечётное количество раз, что и доказывает теорему.

При число чётных перестановок степенип равно числу нечётных, то есть равно п!/2. Действительно, все п! перестановок можно упорядочить так, что каждая последующая получается из предыдущей одной транспозицией. Таким образом, две соседние перестановки будут иметь противоположные чётности. Из того, что п! при – число чётное, следует справедливость утверждения.

Можно записать одну под другой две перестановки п-й степени, заключая полученные две строки в скобки, например при п = 5:

(1)

3. Підстановки п-ого степеня, їх кількість. Теорема про розклад транспозиції у транспозицію сусідніх.

Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.

Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ обозначает подстановку, в которой 3 переходит в 4, 1 2, 2  1, 4  3. Подстановка называется четной (илинечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде ,т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.

Пусть нам дана квадратная матрица порядка n

                                    .                                                  (4.3)

Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:

                        ,                                                    (4.4)

где индексы q₁, q₂,..., q_n составляют некоторую перестановку из чисел 1, 2,..., n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (4.4) равен (- 1)^q, где q - число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.

Определителем n -го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символили det A=(детерминант, или определитель, матрицы А).

4. Визначник порядку п. Властивості визначників.