Задача 38

Вычислить агрегатные индексы физического объема, цен и выручки реализации продукции за апрель (база – март).

Таблица

Данные о продукции машиностроительного завода

Виды продукции	Выпущено единиц продукции			Цена реализации, тыс. у.е.
	март	апрель	март		апрель
Погрузочная машина	242	245	2,5		2,2
Врубовая машина	150	145	43,3		45,1
Конвейерный грузчик	187	190	53,2		55,1

а) общий индекс товарооборота

∆Z = ∑q₁• p₁- ∑q₀• p₀

∆Z = 17547.5 - 17048.4 = 499.1

За счет всех факторов общий товарооборот увеличился на 2.93% или на 499.1.

б) общий индекс цен (метод Пааше)

∆Z_p= ∑q₁• p₁- ∑q₁• p₀

∆Z_p= 17547.5 - 16999 = 548.5

За счет изменения цен сводный товарооборот возросли на 3.23% или на 548.5.

в) общий индекс физического объема продукции (индекс Ласпейреса)

∆Z_q= ∑q₁• p₀- ∑q₀• p₀

∆Z_q= 16999 - 17048.4 = -49.4

За счет изменения объема выработанной продукции, товарооборот снизились на 0.29% или на 49.4.

Покажем взаимосвязь индексов

I = Iq • Ip = 1 • 1.03 = 1.03

Задача 43

Имеются следующие данные о численности рабочих и объеме основных фондов:

Номер завода	Средняя списочная численность рабочих, чел.	Объем основных фондов на начало отчетного периода, млн.руб.
	350	6
	810	14
	470	8
	510	8
	400	9
	650	10
	660	9
	700	11
	750	12
	400	3
	380	5
	800	13
	740	12
	460	6
	500	10
	490	11
	640	9

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу:

x	y	x2	y2	x • y
350	6	122500	36	2100
810	14	656100	196	11340
470	8	220900	64	3760
510	8	260100	64	4080
400	9	160000	81	3600
650	10	422500	100	6500
660	9	435600	81	5940
700	11	490000	121	7700
750	12	562500	144	9000
400	3	160000	9	1200
380	5	144400	25	1900
800	13	640000	169	10400
740	12	547600	144	8880
460	6	211600	36	2760
500	10	250000	100	5000
490	11	240100	121	5390
640	9	409600	81	5760
9710	156	5933500	1572	95310

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x²= ∑y•x

Для наших данных система уравнений имеет вид:

17a + 9710 b = 156

9710 a + 5933500 b = 95310

Из первого уравнения выражаем аи подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.01602, a = 0.0252

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 0.01602 x + 0.0252

Графический метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X. Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции.

Рисунок 1 – Поле корреляции

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Ковариация.

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < r_xy< 0.3: слабая;

0.3 < r_xy< 0.5: умеренная;

0.5 < r_xy< 0.7: заметная;

0.7 < r_xy< 0.9: высокая;

0.9 < r_xy< 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X высокая и прямая.

Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.

Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

R²= 0.84²= 0.7079

т.е. в 70.79 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 29.21 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу:

x	y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
350	6	5.63	10.09	0.13	48919.03	0.0612
810	14	13	23.27	0.99	57036.68	0.0712
470	8	7.56	1.38	0.2	10236.68	0.0556
510	8	8.2	1.38	0.0385	3742.56	0.0245
400	9	6.43	0.0311	6.58	29301.38	0.29
650	10	10.44	0.68	0.19	6213.15	0.0439
660	9	10.6	0.0311	2.56	7889.62	0.18
700	11	11.24	3.33	0.0578	16595.5	0.0219
750	12	12.04	7.97	0.00173	31977.85	0.00346
400	3	6.43	38.15	11.79	29301.38	1.14
380	5	6.11	17.44	1.24	36548.44	0.22
800	13	12.84	14.62	0.0248	52360.21	0.0121
740	12	11.88	7.97	0.0141	28501.38	0.00989
460	6	7.4	10.09	1.95	12360.21	0.23
500	10	8.04	0.68	3.86	5066.09	0.2
490	11	7.88	3.33	9.76	6589.62	0.28
640	9	10.28	0.0311	1.64	4736.68	0.14
9710	156	156	140.47	41.03	387376.47	2.99

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S²_y= 2.74 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

S_y= 1.65 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

S_a- стандартное отклонение случайной величины a.

S_b- стандартное отклонение случайной величины b.

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.