Свойства условных вероятностей и плотностей вероятностей

1. Не отрицательность

2. Нормированность

Условное математическое ожидание

Условным математическим ожиданием случайной величины hпри некотором фиксированном значении случайной величины ξ = х называется

• В случае дискретных случайных величин

• В случае дискретных случайных величин

, где– называется функцией регрессии случайной величиныhна случайную величину ξ

, где– называется функцией регрессии случайной величины ξ на случайную величинуh

Пример

• h ξ	-2	4
  1	0.2	0.4	0.6
  3	0.3	0.1	0.4
  	0.5	0.5

  

• 

• 

• 

Корреляционный момент (корреляция) двух случайных величин

Рассматриваются случайные величины ξ и hдля которых задан двумерный закон распределения, если они дискретные или плотности совместного распределения, если непрерывны, тогда корреляционный момент случайных величин ξ иh.

Свойства корреляционного момента

1. ,гдеD – дисперсия

2. 

3. Если случайные величины ξ и hнезависимы, то

4. 

Коэффициент корреляции и его свойства

Коэффициент корреляции есть отношение корреляционного момента к произведению стандартных отклонений случайных величин

Если , то случайные величины ξ иhназываются некоррелированными

Если , то случайные величины ξ иhназываются коррелированными

Свойства

1. 

2. Если случайные величины ξ и hнезависимые, то они некоррелированные ()

Если случайные величины ξ и hкоррелированные (), то эти случайные величины зависимы

Обратные утверждения неверны !

3. Нормированной случайной величиной называется отношение отклонения случайной величины от ее математического ожидания к стандартному отклонению

Коэффициент корреляции двух случайных величин ξ и hравен корреляционному моменту их нормированных случайных величин

4. Если случайные величины ξ и hлинейно-зависимые, то модуль коэффициента корреляции

гдеa,bпроизвольные коэффициенты.

1. 

2. 

3. 

Если линейная зависимость между ξ и hносит возрастающий характер, тогда коэффициент корреляции равен 1. Если линейная зависимость между ξ иhносит убывающмй характер, тогда коэффициент корреляции равен -1.

5. Коэффициент корреляции является мерой линейной зависимости двух случайных величин

6. Степень линейной зависимости

	0 ÷ 0.3	0.4 ÷ 0.7	0.8 ÷ 1
С.Л.З.	Слабая	Средняя	Сильная

Уравнения Регрессии

Кривые, которые задаются двумя уравнениями, называются кривыми регрессии. Ограничимся случаем, когда кривые регрессии являются прямыми (прямые регрессии).

1. 

2. 

уравнение регрессии случайной величиныhна случайную величину ξ

уравнение регрессии случайной величины ξ на случайную величинуh

Характеристики

1. В общем, для произведения случайной величины ξ и hпрямые регрессии не совпадают

2. Если модуль коэффициента корреляции равен 1, т.е. ξ и hлинейно-зависимы, то оба уравнения регрессии совпадают между собой и с самим уравнением линейной зависимости ξ иh

3. Обе прямые регрессии проходят через точку т.е. пересекаются в этой точке

4. Прямая регрессии случайной величины hна случайную величину ξ имеет следующий смысл, если случайные величины ξ иhкоррелированны (), то правая часть уравнения регрессии обеспечивает наилучшее приближение случайной величиныhк случайной функции видав смысле метода наименьших квадратов