- •Глава I . Функции. Пределы.
- •§1. Числовые множества
- •1. Множества и операции над ними
- •2. Декартово произведение. Соответствия
- •4. Числовые промежутки
- •5. Границы числовых множеств
- •§2. Функции действительной переменной
- •1. Отображение
- •2. Основные характеристики функции
- •§3. Пределы
- •1. Предел числовой последовательности
- •2. Предел функции
- •Для определения пределов последовательностей и функций используются некоторые известные приемы.
- •3. Бесконечно малые величины и их сравнение
- •§4. Непрерывность функции
- •1. Непрерывность функции в точке
- •2. Точки разрыва функции
- •3. Свойства непрерывных функций
- •Последовательности в экономических задачах
- •1. Задачи о непрерывном начислении процентов
- •2. Потоки платежей. Финансовая рента
- •3. Рекуррентное уравнение динамики основного капитала
- •4. Паутинообразная модель рынка
- •Вопросы промежуточного контроля
- •Типовые задания для контроля знаний и закрепления практических навыков
3. Свойства непрерывных функций
Непрерывные функции обладают рядом важных свойств, некоторые из которых мы сформулируем. Функция непрерывная на отрезке [,] за исключением конечного числа точек этого отрезка, в которых она терпит разрывы первого рода, называетсякусочно-непрерывной на этом отрезке. Функция называется кусочно-непрерывной на всей числовой оси, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке этой оси.
ТЕОРЕМА 1. Если функции инепрерывны в точке, то в этой точке непрерывны следующие функции:
с, с, с =const; 3) ;
; 4) , 0.
ТЕОРЕМА 2. Если функция =непрерывна в точке, а функциянепрерывна в точке=, то сложная функциянепрерывна в точке.
Замечание. ТЕОРЕМА 2 даёт правило замены переменных при вычислении пределов непрерывных функций
= =. (3)
ТЕОРЕМА 3. Если функция =непрерывна в точкеи 0, то существует окрестность , в которой функциясохраняет свой знак
Символом обозначают множество непрерывных на отрезкефункций. Таким образом, записьбудет означать, что функцияопределена и непрерывна на отрезке.
ТЕОРЕМА (первая теорема Вейерштрасса1). Если , то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует числотакое, что.
Ясно, что обратное утверждение не имеет места, так как функция ограничена на(), однако не является непрерывной на этом отрезке (разрывI рода в точке ).
В том случае, когда , она может быть и неограниченной. Действительно,непрерывна на, но является неограниченной на этом промежутке.
Если функция не является непрерывной на , то ограниченности на этом отрезке может и не быть. Например, функция
определена на отрезке , однако не является ограниченной на нем.
ТЕОРЕМА (вторая теорема Вейерштрасса). Если , то она достигает насвоего наибольшего и наименьшего значения, т.е. существуют такие точки, что.
ТЕОРЕМА (Больцано2 – Коши3). Пусть , причем. Тогда существует точкатакая, что.
Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если непрерывная кривая на концах отрезкапринимает значения разных знаков, то она пересекает ось абсцисс
Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если непрерывная кривая на концах отрезка принимает значения разных знаков, то она пересекает ось абсцисс.
Теореме Больцано – Коши можно придать другую форму, которую часто называют теоремой о промежуточных значениях непрерывной функции или второй теоремой Больцано – Коши.
ТЕОРЕМА. Пусть и,,. Тогда для любоготакого, что, найдется точкатакая, что.
ТЕОРЕМА. Всякая непрерывная на отрезке [,] функция ограничена этом отрезке, достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значенийM = sup,m = infи принимает на нём все промежуточные значения из отрезка [m, M].
Типовой пример
Найти корень уравнения = 0.
►Рассмотрим функцию =. Она элементарная, поэтому непрерывная для всех 0.
Т.к. значения функции разных знаков, то корень уравнения лежит в интервале (0,1), т.е. 0 << 1. Разделим отрезок [0,1] пополам и вычислим = . Отсюда следует, что<< 1. Разделим отрезок [1/2,1] пополам и вычислим=< 0. Отсюда следует, что<<, т.е. мы уже вычислили корень уравнения с точностью до 0,25 . Продолжая этот процесс, можно вычислить корень с любой наперед заданной точностью.◄