2. Индивидуальное задание по теме "Функции"

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный педагогический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

семенко задания.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

615.56 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

четной функция f · g

2? Ответ обоснуйте.

x является периодической,

17. Докажите, что функция y = sin

и найдите ее главный период.

18. Докажите, что функция y =

не является периодиче-

Вариант •0

1.	Найдите область определения функции y = arccos(3 sin x).
2.	Выясните, равны ли функции y = sin(arcsin x) è y = x.
3.	Постройте график последовательности	2 − n	.
		n
	(		)n2N

4. а) Найдите образ множества A = R и прообраз множества

B = [−2; 2] при отображении y = x2. Изобразите их на чертеже. б) Найдите образ множества A = I и прообраз множества

B = R+ при отображении

y =	0;	x I;
{	1;	x Q:

Изобразите их на чертеже.

5. Дана функция y = x2 −2x + 5. Измените в случае необходимо-

сти ее область определения и область прибытия так, чтобы она

стала 1) инъекцией, 2) сюръекцией, 3) биекцией.

6. Для функции y = x2 − x − 6; x [1; +∞), найдите обратную, если последняя существует.

						3
7*. Для функции y = sin x;		x [−		5	; −		], найдите обратную,
				2		2
если последняя существует.			g ◦ f;		f ◦ f è g ◦ g из функций f
8. Составьте композиции f ◦ g;
è g, åñëè f(x) = x2 + x − 5, à g(x) = 1=x.
9*. Составьте композиции f ◦ g;			g ◦ f; f ◦ f è g ◦ g из функций
f è g, åñëè
	f(x) =	0;			x ≤ 0;
	{ sin x;				x > 0;

à g(x) = x + 2.

10. Составьте композицию f4 ◦ f2 ◦ f4 ◦ f1 ◦ f4, åñëè f1(x) = sin x, f2(x) = 3x + 1, f3(x) = 2x, f4(x) = 1=x; f5(x) = ln x.

11. Разложите функцию y = tg3(x3 −1) на составляющие ее простейшие функции, являющиеся нетождественными.

12. Пусть D(f) = (0; 1); T (f) = R. Найдите область определения
функции y = f	(x x	) :
	+ 1

13.Выясните, какие из простейших элементарных функций являются ограничеными снизу, ограниченными сверху, ограниченными. Постройте эскизы графиков этих функций.

14.Выясните, являются ли функции

a) y = 5 cos 3x + 2 sin 3x; á) y = tg2 x + ctg2 x

ограниченными снизу, ограниченными сверху, ограниченными.

15. Исследуйте на четность (нечетность) функции a) y = x · cos x; á) y = 5x − 51x :

16*. Пусть f è g - четные функции, D(f) = D(g). Является ли четной функция ff−· gg ? Ответ обоснуйте.

17. Докажите, что функция y = cos4 x является периодической,

и найдите ее главный период.

18. Докажите, что функция y = e x не является периодической.

Вариант •1

1. Найдите область определения функции y = √ln

−

− 16.

Выясните, равны ли функции y = lg x4 è y = 4 lg x−.

√

Постройте график последовательности

sin

n N .

4. а) Найдите образ множества A = [0; 1]

и прообраз множества

(

)

B = (−1; 3] при отображении y = 2 − 3x. Изобразите их на чер-

òåæå.

б) Найдите образ множества A = (−∞; 2) и прообраз множества B = [−3; 2] при отображении

y =	x2 − 1;	\|x\| < 1;
	{ lg \|x\|;	\|x\| ≥ 1:

Изобразите их на чертеже.

5. Дана функция y = 2jxj. Измените, в случае необходимости, ее

область определения и область прибытия так, чтобы она стала 1) инъекцией, 2) сюръекцией, 3) биекцией.

6. Для функции y = ln(x + 1) найдите обратную, если последняя

существует.

7*. Для функции y = cos x; x [2 ; 3 ], найдите обратную, если

последняя существует.

g ◦ f;

f ◦ f è g ◦ g из функций f

8. Составьте композиции f ◦ g;

è g, åñëè f(x) =

, à g(x) = arcsin x.

из функций

9*. Составьте

композиции

−

f ◦ g; g ◦ f; f ◦ f

g ◦ g

f è g, åñëè

f(x) = {

;

x ̸= 0;

−1;

x = 0;

à g(x) = x + 2.

10. Составьте композицию f2 ◦ f3 ◦ f1 ◦ f5 ◦ f4, åñëè f1(x) = sin x,

f2(x) = 3x + 1, f3(x) = 2x, f4	(x) = 1=x, f5(x) = ln x.
	√		на составляющие ее про-
11. Разложите функцию y =		(x + 2)3

стейшие функции, являющиеся нетождественными.

12.Пусть D(f) = (0; 1); T (f) = R. Найдите область определения функции y = f(cos x):

14.Выясните, являются[ ] ли функции

à) y = log2 x; x	1	; 2 , á) y =		√		1
	2
					4	−		x2
ограниченными снизу,
			ограниченными сверху, ограниченными.
15. Исследуйте на четность (нечетноñòü) функциè
			√				D(√
a) y = 5x2 − \|x\| + 3; á) y = (1 − x)2							+ (1 + x)2:
16*. Пусть f è g - четные функции,								f) = D(g). Является ли

четной функция f + g? Ответ обоснуйте.

17. Докажите, что функция y = sin 2x + cos 3x является периодической, и найдите ее главный период.

18. Докажите, что функция y = x2 не является периодической.

	Вариант •2
					y = √
1.	Найдите область определения		2x3			lg(2 − √		:
1.	Найдите область определения		2x3			lg(2 − √	x − 1)	:
		функции
2.	Выясните, равны ли функции y =			;	x (−10; 0), è
2.	Выясните, равны ли функции y =		x2	;	x (−10; 0), è
y = 2x; x (−10; 0) .

3.Постройте график последовательности ((−1)n)n2N .

4.а) Найдите образ множества A = [1; 10) и прообраз множества

B = [−3; 0] при отображении y = lg x + 1. Изобразите их на

чертеже.

б) Найдите образ множества A = [2; +∞) и прообраз множества B = [−3; 2) при отображении

x3;	x	2;	:
y = { sin x;	\|x\| ≥		:
	\| \| ≤	2

Изобразите их на чертеже.

5. Дана функция y = sin 2x. Измените, в случае необходимости,

ее область определения и область прибытия так, чтобы она стала

1) инъекцией, 2) сюръекцией, 3) биекцией.

6. Для функции y = 2x + 1 найдите обратную, если последняя

существует.

7*. Для функции y = ctg x; x (− ; 0), найдите обратную, если

последняя существует.			g ◦ f;		f ◦ f è g ◦ g из функций f
8. Составьте композиции f ◦ g;
è g, åñëè f(x) = ln x, à g(x) =		√		.
			x
9*. Составьте композиции f ◦ g;				g ◦ f; f ◦ f è g ◦ g из функций
f è g, åñëè	{
f(x) =		x2;			x ≤ 2;
		0;			x > 2;

à g(x) = 2x.

10. Составьте композицию f2 ◦ f3 ◦ f1 ◦ f5 ◦ f4, åñëè f1(x) = sin x,

f2(x) = 3x + 1, f3(x) = 2x, f4(x) = 1=x, f5(x) = ln x.

11.Разложите функцию y = 3arccos3 x2 на составляющие ее про- стейшие функции, являющиеся нетождественными.

12.Пусть D(f) = (0; 1); T (f) = R. Найдите область определения

функции y = f(x + |x|):

14.Выясните, являются ли функции а) y = 2 jx+2j;

á) y = 1= cos x ограниченными снизу, ограниченными сверху,

ограниченными.

15. Исследуйте на четность (нечетность) функции а) y = sin2 x; á) y = cos(sin x):

16*. Пусть f è g - четные функции,D(f) = D(g). Является ли четной функция f − g? Ответ обоснуйте.

17. Докажите, что функция y = sin 2x + cos 5x является перио-

дической, и найдите ее главный период.

18. Докажите, что функция y = lg x не является периодической.

	Вариант •3
1.	Найдите область определения функции			√		4
						4

	Выясните, равны ли функции y = √			y =	−x + √3 + x.
			è y = \|x\|.
2.		x2	è y = \|x\|.

3.Постройте график последовательности (n2)n2N .

4.а) Найдите образ множества A = R+ и прообраз множества B = [−3; 5) при отображении y = 2x+1. Изобразите их на черте-

æå.

б) Найдите образ множества A = [−2; 0] и прообраз множества B = [−6; 8] при отображении

y =	1;	x ≤ 1;
{	3 − x2;	x > 1:

Изобразите их на чертеже.

5. Дана функция y = cos 2x. Измените в случае необходимости ее

область определения и область прибытия так, чтобы она стала

1) инъекцией, 2) сюръеêöèåй, 3) биекцией.

√

6. Для функции y = x − 1 найдите обратную, если последняя

существует.

7*. Для функции y = arccos x2; x [0; 1], найдите обратную,

если последняя существует.		.◦ f;	f ◦ f è g ◦ g из функций f
8. Составьте композиции f ◦ g; g
è g, åñëè f(x) = sin x, à g(x) = 2x		g ◦ f; f ◦ f è g ◦ g из функций
9*. Составьте композиции f ◦ g;
f è g, åñëè
f(x) =	1;		x ≤ 0;
	{ ln x;		x > 0;

à g(x) = |x|.

10. Составьте композицию f1 ◦ f1 ◦ f2 ◦ f2 ◦ f3, åñëè f1(x) = sin x, f2(x) = 3x + 1, f3(x) = 2x, f4(x) = 1=x, f5(x) = ln x.

3x2 + 5

11. Разложите функцию y = lg 2x2 + 1 на составляющие ее простейшие функции, являющиеся нетождественными.

12. Пусть D(f) = (0; 1); T (f) = R. Найдите область определения функции y = f(−x2):

13. Выясните, какие из простейших элементарных функций яв-

ляются ограничеными снизу, ограниченными сверху, ограничен-
ными. Постройте эскизы графиков этих функций.				1
14. Выясните, являются ли функции a) y = ecos x; á) y =

		x2	−	3x + 2
ограниченными снизу, ограниченными сверху,
	ограниченными.

15. Исследуйте на четность (нечетность) функции a) y = ln(x2 − 1); á) y = x · 2x:

16*. Пусть f è g - четные функции, D(f) = D(g). Является ли четной функция f · g? Ответ обоснуйте.

17.Докажите, что функция y = sin 2 + sin 3 является периоди- ческой, и найдите ее главный период.

x + 1

18.Докажите, что функция y = x − 2 не является периодиче- ской.

на составляющие ее простей-

1. Найдите√ îáëàñòü îïðåäеления функции

√ √

y = x2 − 4 + x − 2 + 2 − x.

Вариант •4

				√		.
2.	Выясните, равны ли функции y = x è y =				x2
4. а) Найдите образ множества		(	n	)
3.	Постройте график последовательности		2	n2N .

A = [−3; 5] и прообраз множества B = R при отображении y = x2 + 1. Изобразите их на чертеже. б) Найдите образ множества A = [−6; 3] и прообраз множества B = [−5; +∞) при отображении

y = {	3x;	x < 0;
y = {	−2x;	x ≥ 0:

Изобразите их на чертеже.

5. Дана функция y = tg x. Измените в случае необходимости ее

область определения и область прибытия так, чтобы она стала

1) инъекцией, 2) сюръекцией, 3) биекцией.

6. Для функции y = 31 x найдите обратную, если последняя

существует.		x [− 2			; 2	], найдите обратную,
если последняя существует.x;
7*. Для функции y = sin5

8. Составьте композиции f ◦ g; g ◦ f;				f ◦ f è g ◦ g из функций f
è g, åñëè f(x) = \|x\|, à g(x) = tg x.					f ◦ f è g ◦ g из функций
9*. Составьте композиции f ◦ g; g ◦ f;
f è g, åñëè	{
f(x) =		x;	x ≤ 0;

		√x;	x > 0;

à g(x) = x − 1.

10. Составьте композицию f3 ◦ f5 ◦ f1 ◦ f2 ◦ f4, åñëè f1(x) = sin x,

f2(x) = 3x + 1, f3(x) = 2x, f4(x) = 1=x, f5(x) = ln x. 11. Разложите функцию y = cos2 x2

шие функции, являющиеся нетождественными.

12. Пусть D(f) = (0; 1); T (f) = R. Найдите область определения функции y = f(ln x):

14.Выясните, являются ли функции a) y = sin x + 2 cos x;

á) y = x + x1 ограниченными снизу, ограниченными сверху, ограниченными.

15. Исследуйте на четность (нечетность) функции a) y = |x2 − x|; á) y = ln ex+1:

16*. Пусть f è g - четные функции, D(f) = D(g). Является ли четной функция fg ? Ответ обоснуйте.

17.Докажите, что функция y = cos(4x + 4 ) является периоди- ческой, и найдите ее главный период.

18.Докажите, что функция y = x2 − 1 не является периодиче-

ñêîé.

Вариант •5

1.Найдите область определения функции y = arcsin x + ln 1 .

√x√

2. Выясните, равны ли функции y = x · (x − 1) è y = x ·

√

x− 1.

3.Постройте график последовательности (−2n)n2N .

4.а) Найдите образ множества A = [−1; 0] и прообраз множества

( )

B =	1	; 4 при отображении y = 2x + 6. Изобразите их на
	2

чертеже.

б) Найдите образ множества A = [−5; 5] и прообраз множества B = (−2; 4] при отображении

y = {		x		;	x	≤ 1;
	\|1		;\|		\|x\|	> 1:
		x
					\| \|

Изобразите их на чертеже.

√

5. Дана функция y = x − 1. Измените в случае необходимости

ее область определения и область прибытия так, чтобы она стала 1) инъекцией, 2) сюръекцией, 3) биекцией.

6. Для функции y = 1 + lg(x+ 2) найдите обратную, если послед-

няя существует.	√1 − x2; x [−1; 0], найдите обратную,
7*. Для функции y =

если последняя существует.

8. Составьте композиции f ◦ g; g ◦ f; f ◦ f è g ◦ g из функций f

è g, åñëè f(x) = tg x, à g(x) = ctg x.

9*. Составьте композиции f ◦ g;			g ◦ f; f ◦ f è g ◦ g из функций
f è g, åñëè
	f(x) =	x2;	x ≤ 0;
	{	2x;	x > 0;

à g(x) = ln x.

10.Составьте композицию f5 ◦ f3 ◦ f1 ◦ f2 ◦ f4, åñëè f1(x) = sin x, f2(x) = 3x + 1, f3(x) = 2x, f4(x) = 1=x, f5(x) = ln x.

11.Разложите функцию y = 53 arctg3(x2+1)2 на составляющие ее

простейшие функции, являющиеся нетождественными.

12.Пусть D(f) = (0; 1); T (f) = R. Найдите область определения функции y = f(tg x):

13.Выясните. какие из простейших элементарных функций являются ограничеными снизу, ограниченными сверху, ограничен-

ными. Постройте эскизы графиков этих функций.

14. Выясните, являются ли функции a) y = x2 + sin(x + 1) ;

1 + x2

á) y = x · cos x ограниченными снизу, ограниченными сверху,

ограниченными.

15. Исследуйте на четность (нечетность) функции

a) y =	\|x\|	2	; á) y = 3x+1 − 3x 1:
	x
	\| \| −

16*. Пусть f è g - четные функции, D(f) = D(g). Является ли четной функция f2 · g? Ответ обоснуйте.

17. Докажите, что функция y = sin(3x + 1) является периодиче-

ской, и найдите ее главный период.

18. Докажите, что функция y = lg x не является периодической.

Вариант •6

√

1. Найдите область определения функции y = log0;5 x + 3.

2.Выясните, равны ли функции y = ln xx −− 23 è y = ln(x − 2) − ln(x − 3).

3.Постройте график последовательности ((−2)n)n2N :

4.а) Найдите образ множества A = (3; 5) и прообраз множества

B = (−2; 0) при отображении y = x3 + x . Изобразите их на

чертеже.

б) Найдите образ множества A = (4; 8] и прообраз множества B = [−6; 11] при отображении

x2 + 6;	x < 6;
y = { log6 x;	x ≥ 6:

Изобразите их на чертеже.

5. Дана функция y = 1=x. Измените в случае необходимости ее

область определения и область прибытия так, чтобы она стала 1) инъекцией, 2) сюръекцией, 3) биекцией.

6. Для функции y = 1 − x найдите обратную, если последняя существует.

7*. Для функции y = cos3 x; x [0; ], найдите обратную, если

последняя существует.			g ◦.f;	f ◦ f è g ◦ g из функций f
8. Составьте композиции f ◦ g;
è g, åñëè f(x) = log2 x, à g(x) = 2x
9*. Составьте композиции f ◦ g;			g ◦ f; f ◦ f è g ◦ g из функций
f è g, åñëè	{
f(x) =		0;		x < −1;
		2x + 1;		x ≥ −1;

à g(x) = sin x.

10.Составьте композицию f5 ◦ f2 ◦ f1 ◦ f2 ◦ f5, åñëè f1(x) = sin x, f2(x) = 3x + 1, f3(x) = 2x, f4(x) = 1=x, f5(x) = ln x.

11.Разложите функцию y = sin3 2x − sin 2x на составляющие ее

простейшие функции, являющиеся нетождественными.

12. Пусть D(f) = (0; 1); T (f) = R. Найдите область определения

√

функции y = f( 4 2x):

13. Выясните. какие из простейших элементарных функций являются ограничеными снизу, ограниченными сверху, ограничен-

ными. Постройте эскизы графиков этих функций. 14. Выясните, являются ли функции a) y = 2x + 8 ;

x + 3

á) y = x2 + cos x ограниченными снизу, ограниченными сверху,

ограниченными.

15. Исследуйте√ на четность (нечетность) функции a) y = sin x − 12 ; á) y = 3x − x2:

16*. Пусть f è g - четные функции, D(f) = D(g). Является ли

ñêîé.

Вариант •7

1.Найдите область определения функции y = arcsin x.

√cos 3x

2.	Выясните, равны ли функции y = x6 è y = x3.
	1
3.	Постройте график последовательности (n −		)n2N	:
		n
4.	а) Найдите образ множества A = [3; 8] и прообраз множества

B = (−8; −3) при отображении y = x2 + x. Изобразите их на

чертеже.

б) Найдите образ множества A = [1; 2] и прообраз множества

B= (−3; 5] при отображении

{x2 − 16; y = √

16 − x2;

|x| ≥ 4;

|x| < 4:

Изобразите их на чертеже.

5. Дана функция y = |x|. Измените в случае необходимости ее

четной функция

область определения и область прибытия так, чтобы она стала 1) инъекцией, 2) сюръекцией, 3) биекцией.

6. Для функции y = arctg x найдите обратную, если последняя

существует.		x	[	2 ;	2	], найдите обратную, если
7*. Для функции y = sin x;		x	[	2 ;	2	], найдите обратную, если
					3
последняя существует.			g ◦ f;			f ◦ f è g ◦ g из функций f
8. Составьте композиции f ◦ g;			g ◦ f;			f ◦ f è g ◦ g из функций f
è g, åñëè f(x) = cos x, à g(x) = ln x.
9*. Составьте композиции f ◦ g;				g ◦ f; f ◦ f è g ◦ g из функций
f è g, åñëè
f(x) =		2x + 5;				x ≤ 0;
	{ x2;					x > 0;

à g(x) = arcsin x.

10. Составьте композицию f5 ◦ f3 ◦ f4 ◦ f1 ◦ f2, åñëè f1(x) = sin x,

f2(x) = 3x + 1, f3(x) = 2x, f4(x) = 1=x, f5(x) = ln x.

√

11. Разложите функцию y = lg cos2 3x на составляющие ее простейшие функции, являющиеся нетождественными.

12.Пусть D(f) = (0; 1); T (f) = R. Найдите область определения функции y = f(ctg x):

13.Выясните. какие из простейших элементарных функций являются ограничеными снизу, ограниченными сверху, ограниченными. Постройте эскизы графиков этих функций.

14.Выясните, являются ли функции a) y = 10jxj; á) y = x+sin x

ограниченными снизу, ограниченными сверху, ограниченными.

15. Èññëедуйтå íà ÷åòíость (нечетность) функции a) y = √3 1 − x + √3 1 + x; á) y = ex2 + x:

16*. Пусть f è g - четные функции, D(f) = D(g). Является ли

√

3 f · g? Ответ обоснуйте.

17. Докажите, что функция y = | sin 5x| является периодической,

и найдите ее главный период.

18. Докажите, что функция y = x − x2 не является периодиче- ñêîé.

Вариант •8

1.Найдите область определения функции y = arcsin xx −+ 13 .

2.Выясните, равны ли функции y = x2 è y = x.

x ((−1)n )

3.Постройте график последовательности n n2N .

4. а) Найдите образ множества A = [0; 1] и прообраз множества

B = R при отображении y = ln(x + 2) . Изобразите их на чер-

òåæå.

б) Найдите образ множества A = R+ и прообраз множества B = [0; 1] при отображении

y =	x2 + 1;	x < −1;
	{ ln \|x\|;	x ≥ 1:

Изобразите их на чертеже.

5. Дана функция y = ctg 2x. Измените в случае необходимости ее

область определения и область прибытия так, чтобы она стала 1) инъекцией, 2) сюръекцией, 3) биекцией.

6. Для функции y = 2x − x2;				x (−∞; 1], найдите обратную,
если последняя существует.
	√		;	x [0; 1], найдите обратную, если
7*. Для функции y =		1 − x2
последняя существует.				g ◦ f; f ◦ f è g ◦ g из функций f
8. Составьте композиции f ◦ g;
è g, åñëè f(x) = 2x, à g(x) = sin x.
9*. Составьте композиции f ◦ g;					g ◦ f; f ◦ f è g ◦ g из функций
f è g, åñëè
	f(x) =			0;	x ≤ 0;
	{			1;	x > 0;

à g(x) = ln x.

10. Составьте композицию f3 ◦ f5 ◦ f5 ◦ f2 ◦ f1, åñëè f1(x) = sin x, f2(x) = 3x + 1, f3(x) = 2x, f4(x) = 1=x, f5(x) = ln x.

√

11. Разложите функцию y = sin3 3 (1 + x)2 на составляющие ее простейшие функции,

являющиеся нетождественными.

3. Постройте график последовательности

12. Пусть D(f) = (0; 1); T (f) = R. Найдите область определения функции y = f(arccos x):

13. Выясните. какие из простейших элементарных функций являются ограничеными снизу, ограниченными сверху, ограниченными. Постройте эскизы графиков этих функций.

14. Выясните, являются ли функции

√

á)

x3 + 1

y = x2

+ x

ограниченными снизу,

y = 4 cos 2x−7 sin 2x+

ограниченными сверху, ограниченными.

15. Исследуйте на четность (нечетность) функции

; á) y = 10lg x:

a) y =

−

x + 1

−

f è g

D(f) = D(g)

16*. Пусть

- четные функции,

. Является ли

четной функция (f · g)3? Ответ обоснуйте.

17. Докажите, что функция y = tg2 x является периодической, и

найдите ее главный период.

18. Докажите, что функция y = 2 x не является периодической.

Вариант •9

1. Найдите область определения функции y = arcsin(1 − x) + lg(lg x).

2. Выясните, равны ли функции y = lg x2 è 2 lg |x|.

( )

2n n2N .

4. а) Найдите образ множества A = [2; +∞) и прообраз множе-

ñòâà B = [2; +∞) при отображении y = x + 1 . Изобразите их на чертеже.

б) Найдите образ множества A = [−2; e] и прообраз множества B = R при отображении

y =	x;	x ≤ 0;
	{ ln x;	x > 0:

Изобразите их на чертеже.

5. Дана функция y = x3. Измените в случае необходимости ее

область определения и область прибытия так, чтобы она стала

1) инъекцией, 2) сюръекцией, 3) биекцией.

6. Для функции y = 10x найдите обратную, если последняя су-

ществует.

7*. Для функции y = ctg x; x ( ; 2 ), найдите обратную, если

последняя существует.							f ◦ f è g ◦ g из функций f
8. Составьте композиции f ◦ g; g ◦ f;
è g, åñëè f(x) =			1		, à g(x) = 3x.
		x	−	1
9*. Составьте						f ◦ g; g ◦ f; f ◦ f		è	g ◦ g	из функций
	композиции

f è g, åñëè

√

à g(x) = x.

f(x) =	x;	x ≤ 0;
{	−x;	x > 0;

10.Составьте композицию f3 ◦ f5 ◦ f5 ◦ f2 ◦ f1, åñëè f1(x) = sin x, f2(x) = 3x + 1, f3(x) = 2x, f4(x) = 1=x, f5(x) = ln x.

11.Разложите функцию y = (2x + 1)2 − ln(2x + 1) на составляю-

щие ее простейшие функции, являющиеся нетождественными.

12.Пусть D(f) = (0; 1); T (f) = R. Найдите область определения функции y = f(ln |x|):

ными. Постройте эскизы графиков этих функций.
14. Выясните, являются ли функции a) y =	(	2 )	;
		1	j sin xj

á) y = x·sin x ограниченными снизу,ограниченными сверху, огра-

ниченными.

15. Исследуйте на четность (нечетность) функции a)y = 3 x + 3x; á) y = x2 − 5x:

16*. Пусть f è g - четные функции, D(f) = D(g). Является ли четной функция f2 + g2? Ответ обоснуйте.

17. Докажите, что функция y = cos 2x + tg x2 является периоди- ческой, и найдите ее главный периîä.

√

18. Докажите, что функция y = 3 x не является периодической.

Вариант •10

Найдите область определения функции

y =

(x − log2 3) · (log7 6 − x).

Выясните, равны ли функции

√

y = (1

y = 1

−

√

− n + 1

Постройте график последовательности

(

)n2N .

4. а) Найдите образ множества A = [−5; 10] и прообраз множества B = [−5; 10] при отображении y = −x2 + 3x−2 . Изобразите

их на чертеже.

б) Найдите образ множества A = R и прообраз множества B = [−10; 2] при отображении

2x + 2;	x < 0;
y = { sin x;	x ≥ 0:

Изобразите их на чертеже.

5. Дана функция y = lg x. Измените в случае необходимости ее область определения и область прибытия так, чтобы она стала

1) инъекцией, 2) сюръекцией, 3) биекцией.

6. Для функции y = x2 + x;

x [2 ; 2], найдите обратную, если

последняя существует.

7*. Для функции y =

8 + x3

8 − x3

найдите обратную, если последняя

существует.

8. Составьте композиции f ◦ g; g ◦ f;

f ◦ f è g ◦ g из функций f

è g, åñëè f(x) =

, à g(x) = 2x + 6.

−

9*. Составьте

из функций

композиции

◦ g; g ◦ f; f ◦ f g ◦ g

f è g, åñëè

f(x) =

2x;

x ≤ 0;

{ ln x;

x > 0;

à g(x) = ex.

10.Составьте композицию f3 ◦ f5 ◦ f5 ◦ f2 ◦ f1, åñëè f1(x) = sin x, f2(x) = 3x + 1, f3(x) = 2x, f4(x) = 1=x, f5(x) = ln x.

11.Разложите функцию y = lg tg sin3(2x + 1) на составляющие

ее простейшие функции, являющиеся нетождественными.

12. Пусть D(f) = (0; 1); T (f) = R. Найдите область определения
функции y = f	(x)	:
	1

13. Выясните. какие из простейших элементарных функций яв-

ляются ограничеными снизу, ограниченными сверху, ограничен-
ными. Постройте эскизы графиков этих функций.
								1
14. Выясните, являются ли функции a) y = 34 cos 4x; á) y =
									sin x
ограниченными снизу, ограниченными сверху, ограниченными.
15. Исследуйте на четность (нечетность) функции
16*.		√			√			D(f) = D(g). Является ли
			f è g
a) y =		5 (1	− x)2 +		5	(1 + x)2	; á) y = esin x:
	Пусть			- четные функции,

четной функция f2 − g? Ответ обоснуйте.

17. Докажите, что функция y = 2cos 5x является периодической,

и найдите ее главный период.	√
18. Докажите, что функция y =	√	2 − x2	не является периодиче-
ñêîé.

Вариант •11

√

x2 − 16

1. Найдите область определения функции y = log2 (x2 + 3x − 10) . 2. Выясните, равны ли функции y = lg(x − 2)2 è y = 2 lg(x − 2).

3. Постройте график последовательности (2n − 1)n2N .

4. а) Найдите образ множества A = [−1; 1] и прообраз множества B = (−∞; 0) при отображении y = x2 − 1. Изобразите их на

чертеже.
б) Найдите образ множества

	[− 2		; 2	] и прообраз множества
B = [ 2; 2] при отображенииA =	[− 2		; 2	] и прообраз множества
−
cos x;		x <		0;
y = { sin x;		x ≥		0:

Изобразите их на чертеже.

5. Дана функция y = x2 +x. Измените в случае необходимости ее

область определения и область прибытия так, чтобы она стала 1) инъекцией, 2) сюръекцией, 3) биекцией.

6. Для функции y = x2 + 1 ; x R+, найдите обратную, если последняя существует.

7*. Для функции y = cos x; x [ ; 2 ], найдите обратную, если

последняя существует.

8. Составьте композиции f ◦ g; g ◦ f; f ◦ f è g ◦ g из функций f

è g, åñëè f(x) = tg x, à g(x) = arcsin x.

9*. Составьте композиции f ◦ g; g ◦ f; f ◦ f è g ◦ g из функций f è g, åñëè

				f(x) =	1 − x;	x < 0;
		√			{ x − 1;	x ≥ 0;
à	g(x) =	√	x − 1	.
	g(x) =		x − 1

10. Составьте композицию f3 ◦ f5 ◦ f5 ◦ f2 ◦ f1, åñëè f1(x) = sin x,

f2(x) = 3x + 1, f3(x) = 2x, f4(x) = 1=x, f5(x) = ln x.

2 ( x3 )

11. Разложите функцию y = arctg tg 3 на составляющие ее

простейшие функции, являющиеся нетождественными.

12.Пусть D(f) = (0; 1); T (f) = R. Найдите область определения функции y = f(arctg x):

ными. Постройте эскизы графиков этих функций√ . 14. Выясните, являются ли функции a) y = 16 − x2;

x + 1

á) y = x2 + 2x + 3 ограниченными снизу,ограниченными сверху, ограниченными.

15. Исследуйте на четность (нечетность) функции

a) y = x − x1 ; á) y = 2cos x:

16*. Пусть f è g - четные функции, D(f) = D(g). Является ли четной функция f − g2? Ответ обоснуйте.

17.Докажите, что функция y = 1 + cos x3 является периодиче- ской, и найдите ее главный период. 2

18.Докажите, что функция y = x + 1 не является периодиче-

	Вариант •12
1. Найдите область определения функции y = arccos x+√
							2		.
						4x	−	1	.
2.	Выясните, равны ли функции y =	x2 − 9	è y = x		3.		−
2.	Выясните, равны ли функции y =	x2 − 9	è y = x	−	3.
ñêîé.		x + 3		−
		(n + 1 )n2N .
			2n
3.	Постройте график последовательности

4. а) Найдите образ множества A = [0; +∞) и прообраз множества B = {3} при отображении y = x3 + 1. Изобразите их на

чертеже.

б) Найдите образ множества A = [−2; 2] и прообраз множества B = [−2; 2] при отображении

y = {	2x;	x	< 1;
y = {	2 x;	\|\|x\|\|	≥ 1:

Изобразите их на чертеже.

5. Дана функция y = 3x. Измените в случае необходимости ее

область определения и область прибытия так, чтобы она стала 1) инъекцией, 2) сюръекцией, 3) биекцией.

6. Для функции y = 2x − x2;				x [1; +∞), найдите обратную,
если последняя существует.				(−32	; − 2 ), найдите обратную,
7*. Для функции y = tg x; x

если последняя существует.				g ◦ f;	f ◦ f è g ◦ g из функций f
8. Составьте композиции f ◦ g;
è g, åñëè f(x) =	x −	1	, à g(x) = arccos x.
	x +	1

9*. Составьте композиции f ◦ g; g ◦ f; f ◦ f è g ◦ g из функций f è g, åñëè

f(x) =	sin x;	x ≤ 0;
	{ cos x;	x > 0;

à g(x) = x2.

10. Составьте композицию f3 ◦ f5 ◦ f5 ◦ f2 ◦ f1, åñëè f1(x) = sin x,

f2(x) = 3x + 1, f3(x) = 2x, f4(x) = 1=x, f5(x) = ln x.

11. Разложите функцию y = ln(ln x2) на составляющие ее простейшие функции, являющиеся нетождественными.

12.Пусть D(f) = (0; 1); T (f) = R. Найдите область определения функции y = f(e x):

14.Выясните, являются ли функции a) y = cos 3x + 5 sin 3x + 1;

á) y =

+ x + 6

ограниченными снизу, ограниченными сверху,

+ x + 1

ограниченными.

15. Исследуйте на четность (нечетность) функции

a) y =

(x − 2) · x2; á) y = arcsin

1 + x2

. Является ли

Пусть

- четные функции,

D(f) = D(g)

16*.

√

четной функция f1 + g1 ? Ответ обоснуйте.

17. Докажите, что функция y = ctg 2x + tg 3x является периоди-

ческой, и найдите ее главный период.

18. Докажите, что функция y = x4 не является периодической.

Вариант •13

1. Найдите область определения функции y = arccos(lg(x + 2)):

2. Выясните, равны ли функции y = lg x2 è y = 2 lg x; åñëè x > 1.

Постройте график последовательности

(

2n)n N .

B = 0

[

−

]

а) Найдите образ множества A =

;

и прообраз множе-

ñòâà

{

}

при отображении

+ 1. Изобразите их на

чертеже.

б) Найдите образ множества A = [− ; ] и прообраз множества B = R при отображении

y =	\| sin x\|;	x [− ; ];
{	2x;	x R \ [− ; ]:

Изобразите их на чертеже.

5. Дана функция y = x2 . Измените в случае необходимости ее область определения и область прибытия так, чтобы она стала

1) инъекцией, 2) сюръекцией, 3) биекцией.

6.	Для функции y =	1	найдите обратную, если последняя суще-
		x
ствует.					(− 2		2 ), найдите обратную, ес-
ли последняя существует.
7*.Для функции y = tg3 x;				x		;

8.	Составьте композиции f ◦ g;				g ◦ f;		f ◦ f è g ◦ g из функций f

è g, åñëè f(x) = x2 + 2x − 8, à g(x) = ln(x − 1).

9*. Составьте композиции f ◦ g; g ◦ f; f ◦ f è g ◦ g из функций f è g, åñëè

f(x) = {	2x;	x < 0;
f(x) = {	2 x;	x ≥ 0;

à g(x) = x −1 1 .

10.Составьте композицию f3 ◦ f5 ◦ f5 ◦ f2 ◦ f1, åñëè f1(x) = sin x, f2(x) = 3x + 1, f3(x) = 2x, f4(x) = 1=x, f5(x) = ln x.

11.Разложите функцию y = tg | sin3 x + 1| на составляющие ее

простейшие функции, являющиеся нетождественными.

12.Пусть D(f) = (0; 0; 5); T (f) = R. Найдите область определения функции y = f(cos 3x):

ными. Постройте эскизы графиков этих функций.

14. Выясните, являются ли функции a) y = arcsin x2 − 3x + 4 ;

á) y = x2 + sin x ограниченными снизу, ограниченными сверху,

ограниченными.

15. Исследуйте на четность (нечетность) функции a) y = etg3 x; á) y = −3x2 + |x| − 2:

16*. Пусть f è g - четные функции, D(f) = D(g). Является ли четной функция f1 − g1 ? Ответ обоснуйте.

17.Докажите, что функция y = sin 4 + cos 2 является периоди- ческой, и найдите ее главный период.

18.Докажите, что функция y = x1 не является периодической.

Вариант •14

Найдите область определения функции

√

Выясните, равны ли функции y = √

y =

.− x + ctg 3x

è y = x2

)

(

cos n

Постройте график последовательности

n2N .

а) Найдите образ множества A = −

;

и прообраз множе-

ñòâà B = ( ; 0] при отображении

y[=

cos

x . Изобразите их на

−∞

]

чертеже.

б) Найдите образ множества A = [0; +∞) и прообраз множества B = [2; 5] при отображении

y =	ln(	x);	x ≤ −e;
	{ x;	−	x > −e:

Изобразите их на чертеже.

5. Дана функция y = lg(x − 10). Измените в случае необходимо-

сти ее область определения и область прибытия так, чтобы она стала 1) инъекцией, 2) сюръекцией, 3) биекцией.

1 − x

6. Для функции y = 1 + x найдите обратную, если последняя существует.

7*. Для функции y = x2 + x − 12; x (−∞; −4), найдите обрат-

ную, если последняя существует.

8. Составьте композиции f ◦ g; g ◦ f; f ◦ f è g ◦ g из функций f

è g, åñëè f(x) = x − 1, à g(x) = lg(x2 − 10).

9*. Составьте композиции f ◦ g;			g ◦ f; f ◦ f è g ◦ g из функций
f è g, åñëè
	f(x) =	1;	x ̸= 0;
	{	−1;	x = 0;

à g(x) = 2.

10. Составьте композицию f3 ◦ f5 ◦ f5 ◦ f2 ◦ f1, åñëè f1(x) = sin x,

f2(x) = 3x + 1, f3(x) = 2x, f4√(x) = 1=x, f5(x) = ln x.

11. Разложите функцию y = cos2 x + 5 на составляющие ее простейшие функции, являющиеся нетождественными.

12. Пусть D(f) = (0; 1); T (f) = R. Найдите область определения

√

функции y = f( x + 2):

13. Выясните. какие из простейших элементарных функций являются ограничеными снизу, ограниченными сверху, ограничен-

ными. Постройте эскизы графиков этих функций.

14. Выясните, являются ли функции a) y = sin6 x + cos6 x;

á) y = x2 + 1 ограниченными снизу, ограниченными сверху, ограниченными.

15. Исследуйте на четность (нечетность) функции a) y = ln cos x; á) y = x · 2 x:

16*. Пусть f è g - четные функции, D(f) = D(g). Является ли четной функция (f − g)2? Ответ обоснуйте.

17. Докажите, что функция y = cos 4(x − 10 ) является периоди- ческой, и найдите ее главный период.

18. Докажите, что функция y = x2 − 1 не является периодиче- ской.

Вариант •15

	Найдите область определения функции y = tg(√							).
1.	Найдите область определения функции y = tg(√						16 − x2	).
2.	Выясните, равны ли функции y = lg(x2 − 5x + 6) è
y = lg(x − 3) + lg(x − 2).
3.	Постройте график последовательности (2 − n)n2N .
		−
4. а) Найдите образ множества A =				;		и прообраз множе-
4. а) Найдите образ множества A =			2	;	2	и прообраз множе-
ñòâà B = [1; + ) при отображении						x. Изобразите их на
	∞	(y = tg )
	∞

чертеже.

б) Найдите образ множества A = (−2; 3] и прообраз множества B = (−8; 9) при отображении

x3	;	x < 0;
y = { x3 + 1;		x ≥ 0:

ограниченными снизу, ограниченными сверху,

Изобразите их на чертеже.

5. Дана функция y = |x+1|. Измените в случае необходимости ее область определения и область прибытия так, чтобы она стала

1) инъекцией, 2) сюръекцией, 3) биекцией.

6. Для функции y = 2x + 1 найдите обратную, если последняя существует.

7*. Для функции y = ctg x; x (−2 ; − ), найдите обратную,

если последняя существует.		g ◦ f; f ◦ f è g ◦ g из функций f
8. Составьте композиции f ◦ g;		g ◦ f; f ◦ f è g ◦ g из функций f
è g, åñëè f(x) = 7x, à g(x) = log2(6 − x).
9*. Составьте композиции f ◦ g; g ◦ f;			f ◦ f è g ◦ g из функций
f è g, åñëè
2x2	−	x + 4;	x < 0;
f(x) = { 0;	−		x ≥ 0;

à g(x) = 1.

10. Составьте композицию f3 ◦ f5 ◦ f5 ◦ f2 ◦ f1, åñëè f1(x) = sin x,

f2(x) = 3x + 1, f3(x) = 2x, f4(x) = 1=x, f5(x) = ln x.

11. Разложите функцию y = ln √2cos x + 2 на составляющие ее простейшие функции, являющиеся нетождественными.

12.Пусть D(f) = (0; 0; 5); T (f) = R. Найдите область определения функции y = f(sin 2x):

ными. Постройте эскизы графиков этих функций. 14. Выясните, являются ли функции a) y = 24x x2 5;

2x + 1 á) y = x2 + x + 1

ограниченными.

15. Исследуйте на четность (нечетность) функции a) y = x · 2jxj; á) y = arcctg x:

16*. Пусть f è g - четные функции, D(f) = D(g). Является ли четной функция ff+· gg ? Ответ обоснуйте.

17. Докажите, что функция y = 2sin2 x является периодической, и найдите ее главный период.

18. Докажите, что функция y = |x − 6| не является периодиче- ской.

Указания к решению задач индивидуального задания по теме "Функции"

Решение задач нулевого варианта

Задача 1

Найдите область определения функции y = arccos(3 sin x).

Решение.

Найдем D(f) - область определения функции, где

f(x) = arccos(3 sin x). Чтобы найти D(f), нужно найти все такие значения переменныой x, при которых имеет смысл выражение f(x). В нашем примере f(x) имеет смысл, когда 3 sin x [−1; 1] (по определению функции y = arccos x). Найдем x.

π-arcsin(1/3)	1/3	arcsin(1/3)
−π+arcsin(1/3)	-1/3	-arcsin(1/3)

! и #. 6

Òàê êàê −1 ≤ 3 sin x ≤ 1, òî −1=3 ≤ sin x ≤ 1=3. Решим это

неравенство с помощью числовой окружности. Изобразим числовую окружность (рис. 6), отметим на оси OY числа −1=3; 1=3,

через полученные точки проведем прямые параллельно оси OX

до пересечения с окружностью, обозначим полученные при пересечении точки: в первой четверти (где величина x меняется

между 0 и =2) получим точку x = arcsin 13 , в третьей четвер- ти (где величина x меняется между и 3 =2) получим точку

x= arcsin 13 + , в четвертой четверти (можно считать, что здесь величина x меняется между − =2 и 0) получим точку

x= − arcsin 13 , а во второй четверти (где x меняется от =2 до ) получим тогда точку x = − arcsin 13 + .

Чтобы значения sin x находились между -1/3 и 1/3, нужно, чтобы x принимал значения в промежутках числовой окружно-


		1				1
ñòè: [− arcsin					+ 2 n; arcsin						+ 2 n],
ñòè: [− arcsin				3	+ 2 n; arcsin				3		+ 2 n],
[ − arcsin		1				1						+ 2 n], n Z. Совокупность этих
			+ 2 n; + arcsin
		3	+ 2 n; + arcsin							3
промежутков можно записать в виде
1						1
[− arcsin		+ n; arcsin						+ n];					n Z.
[− arcsin	3	+ n; arcsin					3	+ n];				1	n Z.	1
Ответ: D(f) =						[− arcsin						1	+ n; arcsin	1	+ n].

												3		3
						n2Z

						Задача 2

Выясните, равны ли функции y = sin(arcsin x) è y = x.

Решение.

Напомним, что функции f è g равны, когда 1) равны их области определения, т.е. D(f) = D(g) = X; 2) равны их области прибытия, т.е. T (f) = T (g); 3) равны их законы соответствия, т.е. f(x) = g(x) ïðè âñåõ x X.

В нашем случае f(x) = sin(arcsin x), à g(x) = x.

D(f) = [−1; 1], D(g) = R, ò.å. D(f) ≠ D(g), и, следовательно, данные функции не равны.

Задача 3			)n2N
(		n	)n2N
Постройте график последовательности	2	− n	.
		− n

Решение.

при отображении y =

Решение.

Графиком последовательности (xn)n2N называется совокуп-

ность точек плоскости (n; xn) ïðè âñåõ n N. В нашем случае

это будет совокупность точек вида (n; 2 −n n); n N или, иначе, множество точек

{	(1; 1); (2; 0); (3;	−	1	); (4;	−	2	); : : : ((n;	2 − n	); : : :	}	:
			3			4
								n

Задача 4

à)

á)

Найдите образ множества A = R и прообраз множества

= [−2; 2] при отображении y = x2. Изобразите их на чертеже. Найдите образ множества A = I и пробраз множества B = R+

{	0;	x I;	Изобразите их на чертеже.
{	1;	x Q:

à) A = R, B = [−2; 2], f(x) = x2.

f < A >= {f(x)| x A} = {x2| x R} = [0; +∞) :

f 1 < B >= {x D(f)| f(x) B} = {x R| x2 [−2; 2]} =


= {x R\| − 2 ≤ x	2	≤ 2} = {x R\| 0 ≤ x			2	√	√
	2				2	√	√
						≤ 2} = [− 2; 2] :
á) A = I, B = R+, f(x) =			0;	x I;
		{	1;	x Q:

f < A >= {f(x)| x A} = {f(x)| x I} = {0} :

f 1 < B >= {x D(f)| f(x) B} = {x R| f(x) R+} = = {x R| {0; 1} R+} = R :

Задача 5

Дана функция y = x2 − 2x + 5. Измените в случае необхо-

димости ее область определения и область прибытия так, чтобы она стала 1) инъекцией, 2) сюръекцией, 3) биекцией.

Решение.

f(x) = x2 − 2x + 5, D(f) = R; T (f) = R.

1.Функция f будет инъекцией, если каждый y T (f) имеет не более одного прообраза в D(f), т.е. уравнение f(x) = y имеет не более одного решения относительно x â D(f).

2.Функция f будет сюрьекцией, если каждый y T (f) имеет не менее одного прообраза в D(f), т.е. уравнение f(x) = y имеет не менее одного решения относительно x â D(f).

3.Функция f будет биекцией, если каждый y T (f) имеет один единственный прообраз в D(f), т.е. уравнение f(x) = y имеет только одно решение относительно x â D(f). Таким образом,

f будет биекцией, если она инъекция и сюрьекция одновременно. Решим уравнение x2 − 2x + 5 = y относительно x.

x2 − 2x + 5 = y (x − 1)2 + 1 = y (x − 1)2 = y − 1

√ √ √

|x − 1| = y − 1 x − 1 = ± y − 1 x = 1 ± y − 1 :

Åñëè y ≥ 1, то уравнение x2 − 2x + 5 = y имеет в D(f) = R

√

два решения x = 1 ± y − 1, одно из которых меньше 1, а другое

больше 1.

Åñëè y < 1, то уравнение x2 − 2x + 5 = y не имеет решений. Следовательно, f(x) = x2 − 2x + 5 будет

1)инъекцией, если D(f) = [1; +∞), èëè D(f) = (−∞; 1],

T (f) = R;

2)сюрьекцией, если D(f) = R, T (f) = [1; +∞);

3)биекцией, если D(f) = [1; +∞), èëè D(f) = (−∞; 1],

T (f) = [1; +∞).

Задача 6

Для функции y = x2 −x −6; x [1; +∞), найдите обратную, если последняя существует.

Решение.

Функция y = f(x); x D(f); имеет обратную, если уравнение f(x) = y имеет единственное решение относительно x â D(f),

при этом обратная функция имеет вид x = f 1(y); y E(f), ãäå E(f) - область значений функции f.

Найдем решения уравнения x2 − x − 6 = y относительно x в промежутке [1; +∞).

2					1 2				1						1							2	25
x −x−6 = y (x−								)	−		−6 = y (x−										)		= y +
x −x−6 = y (x−							2	)	−	4	−6 = y (x−									2	)		= y +			4

				1					25		1												25
				1					25		1												25

		x −		2	= √y +				4		x −			2		= ±√y +								4

											1		± √y +		25
						x =											:
						x =						2				4	:
Уравнение имеет единственное решение в промежутке [1; +∞):
1			25
x =		+ √y +				, следовательно, функция y = x2 − x − 6 имеет
x =	2	+ √y +		4		, следовательно, функция y = x2 − x − 6 имеет
															1								25
обратную на промежутке [1; +∞): f 1(y) =																			+ √y +								,
обратную на промежутке [1; +∞): f 1(y) =																		2	+ √y +						4		,

y [−254 ; +∞).

Найденную обратную функцию можно записать как функ-
цию переменной x: g(x) = 2	+ √			x [− 4 ; +∞).
цию переменной x: g(x) = 2	+ √	x +	4 ;	x [− 4 ; +∞).
1			25		25
Задача 7					], найдите обратную,
Для функции y = sin x;	x [−52		; −	2	], найдите обратную,
				3

если последняя существует.

Решение.

Решим уравнение sin x = y относительно x в промежутке

[−

; −

]: x = (−1)k arcsin y + k; k Z; x

[−

; −

Учитывая, что arcsin y −

;

, подберем значение

[

k Z

, при котором −

≤ (−1)

arcsin y + k ≤ −

. Последние

неравенства выполняются только при k = −2, следовательно,

уравнение sin x = y имеет единственное решение в промежутке

[−

; −

]: x = arcsin y − 2 .

2 ; y

[

1; 1] является обрат-

Функция f 1(y) = arcsin y

−

52 ; −

ной к функции y = sin x на промежутке [−

Найденную обратную функцию можно записать как функ-

цию переменной x: g(x) = arcsin x − 2 ;

x [−1; 1].

Задача 8

Составьте композиции f ◦ g;

g ◦ f;

f ◦ f è g ◦ g из функций

f è g, åñëè f(x) = x2 + x − 5, à g(x) =

Решение.

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = (g(x))2 + g(x) − 5 = (

)

(

) − 5;

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) =

;

f(x)

x2 + x

−

(f◦f)(x) = f(f(x)) = (f(x))2+f(x)−5 = (x2+x−5)2+(x2+x−5)−5;

		(g ◦ g)(x) = g(g(x)) =			1	=		1		= x; x ̸= 0:

				g(x)					1
									x
			Задача 9
	Составьте композиции f ◦ g;				g ◦ f;			f ◦ f è g ◦ g из функций
f è g, åñëè
		f(x) =	0;				x ≤ 0;
			{ sin x;				x > 0;
à g(x) = x + 2.
	Решение.
(f	◦	g)(x) = f(g(x)) = f(x + 2) =			0;					x + 2 ≤ 0;	=
	◦				{ sin(x + 2); x + 2 > 0;

					=	0;		x ≤ −2;	;
						{ sin(x + 2);		x > −2;
	(g	◦	f)(x) = g(f(x)) = f(x) + 2 =					2;		x ≤ 0;	;
		◦						{ sin x + 2;		x > 0;
		(f		◦	f)(x) = f(f(x)) =		0;		f(x) ≤ 0; =
				◦		{ sin(f(x));			f(x) > 0;
	=			0;		åñëè x	0 èëè{x > 0; sin x ≤ 0};				=
		{ sin(sin x);				åñëè {x≤> 0;		sin x > 0};
=	0;			åñëè x ≤ 0 èëè + 2 n ≤ x ≤ 2 + 2 n;						n N {0};
	{ sin(sin x); åñëè 2 n < x < + 2 n; n N {0}:

(g ◦ g)(x) = g(g(x)) = g(x) + 2 = x + 2 + 2 = x + 4:

Задача 10

Составьте композицию f3 ◦ f5 ◦ f5 ◦ f2 ◦ f1, åñëè f1(x) = sin x, f2(x) = 3x + 1, f3(x) = 2x, f4(x) = 1=x, f5(x) = ln x.

Решение.

(f2

(f4

(f1

(x))))

(f4 ◦ f2 ◦ f4 ◦ f1 ◦ f4)(x) = f4

= f4

sin

= f4

(

( (

x)))

sin

= f4	3	1		+ 1	=	1			:
			1			1
	sin				3			+ 1
			x			1
						sin
							x

Задача 11

Разложите функцию y = tg3(x3 −1) на составляющие ее простейшие функции, являющиеся нетождественными.

Решение.

y = tg3(x3 − 1). Обозначим f1(x) = x − 1; f2(x) = x3; f3(x) = tg x, тогда y = (f2 ◦ f3 ◦ f1 ◦ f2)(x):

Задача 12

Пусть D(f) = (0; 1); T (f) = R. Найдите область определения
функции y = f	(x x	) :
	+ 1

Решение.

Так как функция f определена в интервале (0; 1), то функция

+ 1

g(x) = f (

) определена в тех значениях x, при которых

x + 1

(0; 1), èëè 0 <

x + 1

< 1. Решим последнее двойное

неравенство.

+ 1

x + 1

> 0

x + 1

x −

x < 0

< 1

< 0

x (−∞; −1):

Ответ: D(g) = (−∞; −1); ãäå g(x) = f (

x + 1

) :

Задача 14

Выясните, являются ли функции a) y = 5 cos 3x + 2 sin 3x; á) y = tg2 x+ctg2 x ограниченными снизу, ограниченными сверху, ограниченными.

Решение.

Напомним, что функция y = f(x); x D(f) называется

ограниченной снизу (соответственно, ограниченной сверху, ограниченной), если множество ее значений E(f) ограничено

снизу (соответственно, ограничено сверху, ограничено), т.е. существует число m такое, что m ≤ f(x) ïðè âñåõ x D(f) (ñîîò-

ветственно, существует число M такое, что f(x) ≤ M ïðè âñåõ x D(f), существуют числа m; M такие, что m ≤ f(x) ≤ M ïðè âñåõ x D(f)).

à) f(x) = 5 cos 3x + 2 sin 3x. Òàê êàê −1 ≤ cos 3x ≤ 1 è

−1 ≤ sin 3x ≤ 1 ïðè âñåõ x D(f) = R, òî

−7 ≤ 5 cos 3x + 2 sin 3x ≤ 7 ïðè âñåõ x R и, значит, данная

функция ограничена.					x	D({				}
		0			x	D({				}
á) f(x) = tg2 x+ctg2 x;				D(f) = R\				2	+ n;	n\| n Z : Çà-
метим, что f(x)	≥		ïðè âñåõ				f), следовательно, данная
	≥

функция ограничена снизу. Докажем теперь, что она неограни- чена сверху. Допустим противное, пусть данная функция ограничена сверху, т.е. существует число M такое, что f(x) ≤ M ïðè âñåõ x D(f), èëè tg2 x + ctg2 x ≤ M ïðè âñåõ x D(f). Îáî-

значим t = tg2 x, t принимает любые неотрицательные значения

ïðè âñåõ x D(f). Тогда неравенство t + 1t ≤ M справедливо при всех t ≥ 0, но это не так, поскольку при t = M + 1; M > 0;

1		1		≤ M ñïðà-
имеем M + 1 +		> M, то есть неравенство t +
	M + 1		t

ведливо не при всех t ≥ 0. Значит, наше предположение неверно, заданная функция неограничена сверху.

Задача 15

Исследуйте на четность (нечетность) функции a) y = x·cos x;

á) y = 5x − 51x :

Решение.

Напомним, что функция y = f(x); x D(f) называется четной (соответственно, нечетной), если выполняются следующие

два условия:

1)D(f) - симметричное относительно нуля множество, т.е. каково бы ни было число x из области определения функции f, число −x также принадлежит области определения функции f; 2)äëÿ âñåõ x D(f) справедливо равенство f(−x) = f(x) (соответственно, f(−x) = −f(x)).

à) f(x) = x · cos x; D(f) = R - симметричное относительно

нуля множество. Проверим теперь второе условие:

f(−x) = −x · cos(−x) = −x · cos x = −f(x) äëÿ âñåõ x R. Следовательно, данная функция нечетная.

á) f(x) = 5x − 51x ; D(f) = R - симметричное относительно нуля множество. Проверим теперь второе условие:

f(−x) = 5 x − 51x = 51x − 5x = −f(x) äëÿ âñåõ x R. Следовательно, данная функция нечетная.

Задача 16

Пусть f è g - четные функции, D(f) = D(g). Является ли четной функция ff−· gg ? Ответ обоснуйте.

Решение.

Функция h = f − g определена в тех же точках, что и f è g, f · g

за исключением тех точек, в которых функции f è g обращаются в ноль. Так как f è g - четные функции, то их области опре-

деления есть симметричные относительно нуля множества (по условию функции f è g определены в одних и тех же точках),

кроме того, если в некторой точке x0 f(x0) = 0 èëè g(x0) = 0, òî f(−x0) = f(x0) = 0 èëè g(−x0) = g(x0) = 0. Следовательно, h определена на симметричном относительно нуля множе-

стве. Проверим теперь условие 2) определения четной (нечетной) функции (см. задачу 15):

h(	x) =	f(−x) − g(−x)			=	f(x) − g(x)			ïðè âñåõ x	D(h).
−		f( x)	·	g( x)		f(x)	·	g(x)
		−	·	−			·

Данная функция является четной.

Задача 17

Докажите, что функция y = cos4 x является периодической, и найдите ее главный период.

Решение.

Напомним, что функция y = f(x); x D(f) называется периодической, если существует число T ≠ 0 такое, что выполняются следующие два условия:

1)x ± T D(f) ïðè âñåõ x D(f);

2)f(x ± T ) = f(x) ïðè âñåõ x D(f):

При этом число T называют периодом функции f. Наименьший положительный период функции f называют ее

главным периодом.

Так как любое число вида 2 n; n Z, является периодом функции y = cos x, òî 2 n является и периодом функции

y = cos4 x. Действительно, f(x + 2 n) = cos4(x + 2 n) = = (cos(x + 2 n))4 = (cos x)4 = cos4 x ïðè âñåõ x R.

Покажем теперь, что число является главным периодом функции y = cos4 x.

Сначала убедимся, что - период данной функции:

f(x + ) = cos4(x + ) = (cos(x + ))4 = (cos x · cos )4 = = (− cos x)4 = cos4 x

ïðè âñåõ x R, следовательно, - период функции y = cos4 x. Теперь убедимся, что - это наименьший положительный период данной функции. От противного, пусть T - период функции

y = cos4 x такой, что 0 < T < , тогда cos4(x + T ) = cos4 x ïðè âñåõ x R, в частности это равенство выполняется при x = 0: cos4(0 + T ) = cos4 0 cos4 T = 1, последнее же невозможно ни при каких 0 < T < . Полученное противоречие доказывает, чтоглавный период функции y = cos4 x.

Задача 18

Докажите, что функция y = e x не является периодической.

Решение.

Если бы функция y = e x была периодической, то существовало бы число T ≠ 0 такое, что e (x+T ) = e x ïðè âñåõ x R. Íî äëÿ x = 0, имеем e (0+T ) = e0 e T = 1, а последнее равенство справедливо только при T = 0. Следовательно, функция y = e x не является периодической.

3. Индивидуальное задание по теме "Предел и непрерывность"

Вариант • 0

1. Используя определение предела, докажите равенства:

nlim

2n + 3

= 2 ;

lim (5

−

2x) = 1

;

−

x − 2

lim

2x) =

; 4)

lim

;

−

−∞

−2

x +

x 1 x + 1

lim

x − 2

= 1 ;

lim

x − 2

−∞

x +

x + 1

1+ x + 1

2.	Найдите lim	f(x); lim f(x);		lim f(x) (если эти пределы
	x!0	x!0+		x!0
				1
	существуют) для функции f(x) =					.
	существуют) для функции f(x) =				21=x + 1	.
3.	Установите, при каком выборе числа a функция
		x2	a;		x 6 0 ;
		f(x) = { x −−3;			x > 0

непрерывна в точке x = 0.

4. Исследуйте функцию f на непрерывность и выясните характер разрывов, если

	x + 2;			x 6 0	;
f(x) =	−x2 + 3; 0 < x 6 2 ;
	1=(x	−	3);	x > 2 :

Постройте график этой функции.

Вариант •1

1. Используя определение предела, докажите равенства:

lim

n + 1

= 1 ;

lim(2x + 4) = 6 ;

n!1 n − 3

x!1

2x + 1

lim

−

2x) = +

∞

;

lim

1 ;

! 1

−

lim

2x + 1

lim

2x + 1

= −∞ :

−

1 = 2 ;

−

2.	Найдите lim	f(x); lim f(x); lim f(x) (если эти пределы
	x!0	x!0+	x!0
	существуют) для функции f(x) =			\|x\|	.
	существуют) для функции f(x) =			x2 + \|x\|	.
				x2 + \|x\|
3.	Установите, при каком выборе числа a функция
		a	2x;	x < 1;
		f(x) = { 3a−+ x;		x ≥ 1
	непрерывна в точке x = 1.
4.	Исследуйте функцию f на непрерывность и выясните ха-

рактер разрывов, если

		1=x;	x < 1;
f(x) =		3x − 2;	1 ≤ x < 3;
Постройте график			x ≥ 3:
	sin(x − 3);		x ≥ 3:

этой функции.

Вариант •2

1. Используя определение предела, докажите равенства:

lim

2n + 1

= 2 ;

lim (3x

−

2) = 4 ;

n + 3

lim

−

5x) = +

∞

;

lim

x − 2

= 0

;

2 x

−

! 1

lim

x −

= 1 ;

lim

x −

−∞

x +

−

2.	Найдите lim	f(x); lim f(x);	lim f(x) (если эти пределы
	x!1	x!1+	x!1
	существуют) для функции f(x) =			x2 − 1	:
				\|x − 1\|
3.	Установите, при каком выборе числа a функция
		x2 + ax;		x 6 1 ;
		f(x) = { cos x;		x > 1

непрерывна в точке x = 1.

4. Исследуйте функцию f на непрерывность и выясните характер разрывов, если

	1 − x2;				x 6 −1	;
f(x) =	x + 3;		1);	−	1 < x 6 1 ;
	ln (x	−			x > 1 :

Постройте график этой функции.

Вариант •3

1. Используя определение предела, докажите равенства:

1) lim	3n + 1	= 3 ;	2)	lim (2x	−	2) = 4 ;
	n + 2
n				x 3
!1				!

lim

(2x + 6) = + ;

lim

x + 6

= −2 ;

∞

0 x

−

x lim

x +

= 1 ;

lim

x +

= −∞ :

−

! 1

2.	Найдите lim	f(x); lim f(x);		lim f(x) (если эти пределы
	x!0	x!0+		x!0
				1
	существуют) для функции f(x) =
	существуют) для функции f(x) =				1 + 71=x .
					1 + 71=x .
3.	Установите, при каком выборе числа a функция
		x2	1;		x 6 0 ;
		f(x) = { a +−sin x; x > 0

непрерывна в точке x = 0.

4. Исследуйте функцию f на непрерывность и выясните характер разрывов, если

	ex;	x 6 0	;
f(x) =	cos 2x;	0 < x 6 =2	;
		x > =2 :
	1 + x2;	x > =2 :

Постройте график этой функции.

Вариант •4

1. Используя определение предела, докажите равенства:

lim

2n − 1

= 1 ;

lim (3x

−

8) =

−

5 ;

2n + 1

lim

(3x

−

8) =

−∞

; 4)

lim

3x + 1

;

! 1

x + 5

3x + 1

lim

3x + 1

= +∞ :

x lim

x + 5 = 3 ;

x + 5

! 1


2.	Найдите lim	f(x); lim	f(x);	lim f(x) (если эти пределы
	x!2	x!2+		x!2
				5
	существуют) для функции f(x) =					.
	существуют) для функции f(x) =				(x − 2)2	.
3.	Установите, при каком выборе числа a функция
		f(x) =	ax + 3; x 6 −1 ;
		{ x2 + 1;		x > −1

непрерывна в точке x = −1.

4. Исследуйте функцию f на непрерывность и выясните характер разрывов, если

	x2 + x;			x 6 0	;
f(x) =	3 sin x;			0 < x 6 =2	;
	1	−	x;	x > =2	:

Постройте график этой функции.

Вариант •5

1. Используя определение предела, докажите равенства:

lim

4n − 1

= 2 ;

lim (5x + 4) =

−

1 ;

lim

−

5x) = +

∞

;

lim

x + 2

= 4 ;

−

x 2 x

! 1

x +

lim

x +

x lim

−

1 = 1 ;

−

1 = −∞ :

x 1

! 1

2. Найдите lim f(x);	lim f(x);	lim f(x) (если эти пределы
x!0	x!0+	x!0

существуют) для функции f(x) = 3 +

3 − 21=x .

3. Установите, при каком выборе числа a функция

f(x) =	x2 + 3a; x 6 −1 ;
{	8 + ax; x > −1

непрерывна в точке x = −1.

4. Исследуйте функцию f на непрерывность и выясните характер разрывов, если

		x2;			x 6 0		;
f(x) =	sin x;				0 < x 6	2	;
		2x	−	1;	x >	2	:

Постройте график этой функции.

Вариант •6

1. Используя определение предела, докажите равенства:

lim

n − 1

;

lim (5

−

3x) = 11 ;

3n + 2

lim

3x) = +

;

lim

−

∞

−

x = −3 ;

! 1

lim

−

1 ;

lim

−∞

−

2.	Найдите lim	f(x); lim	f(x); lim f(x) (если эти пределы
	x!0	x!0+	x!0
	существуют) для функции f(x) =			\|x\| + 2x	.
				x
3.	Установите, при каком выборе числа a функция
			a cos x;	x 6 ;
		f(x) = { x= + 1; x >

непрерывна в точке x = .

4. Исследуйте функцию f на непрерывность и выясните характер разрывов, если

		2x + 3;		x 6 −1	;
f(x) =	x + 2;		−	1 < x < 0 ;
		1 + sin x;	−	x > 0	:

Постройте график этой функции.

Вариант •7

1. Используя определение предела, докажите равенства:

lim

2n − 2

= 2 ;

lim (3

−

2x) =

−

1 ;

−

x + 4

lim

−

2x) =

−∞

; 4)

lim

= −

;

2 x

−

lim

x +

= 1 ;

lim

x + 4

= +

∞

−

1+ x

2.	Найдите lim f(x);	lim f(x);	lim	f(x) (åñëè ýòè ïðå-
	x! 3	x! 3+	x! 3		x + 5
	делы существуют) для функции f(x) =				x + 5
						.
					x2 − 9	.
3.	Установите, при каком выборе числа a функция
		x2 + a;	x 6 0 ;
	f(x) = { arctg x;		x > 0
	непрерывна в точке x = 0.
4.	Исследуйте функцию f на непрерывность и выясните ха-

рактер разрывов, если

		x	1;	x 6 0	;
f(x) =		2x−2	− 1;	0 < x 6 2 ;
Постройте график				x > 2 :
	cos(x − 2);			x > 2 :

этой функции.

Вариант •8

1. Используя определение предела, докажите равенства:

lim

= 2 ;

lim (2x + 1) = 3

;

n!1 n + 1

x!1

lim

(2x + 1) = +

∞

; 4)

lim

x + 1

;

x 0

2x + 6

lim

x + 1

;

lim

x + 1

−∞

2x + 6

! 1

2x + 6 2

2.	Найдите lim	f(x); lim f(x);	lim f(x) (если эти пределы
	x!4	x!4+	x!4
	существуют) для функции f(x) =			x + 2
				(x − 4)2 .
3.	Установите, при каком выборе числа b функция
		x2 + b;		x 6 0 ;
		f(x) = { −2x + 3;		x > 0

непрерывна в точке x = 0.

4. Исследуйте функцию f на непрерывность и выясните характер разрывов, если

	cos x;			x 6	0	;
f(x) =	ln x;			0 < x < 1 ;
		−		x > 1
	x2		x;	x > 1		:

Постройте график этой функции.

Вариант •9

1. Используя определение предела, докажите равенства:

1) lim		4n − 1	= 2 ;	2) lim (3x	−	1) = 5 ;
		2n + 3
n	!1			x 2
				!

lim

(3x

−

1) =

−∞

; 4)

lim

x − 1

= 0 ;

2x + 4

! 1

lim

x − 1

;

lim

x − 1

= +

∞

2x + 4

x +

2x + 4 2


2.	Найдите lim	f(x); lim f(x);	lim f(x) (если эти пределы
	x!1	x!1+	x!1	1
	существуют) для функции f(x) = 5 + 3				1 x	.
3.	Установите, при каком выборе числа a функция
		x2 + a;		x 6 0 ;
		f(x) = { 1 + sin x;		x > 0

непрерывна в точке x = 0.

4. Исследуйте функцию f на непрерывность и выясните характер разрывов, если

	−x − 1			x < −1	;
f(x) =	1=x2		1)=4	1 x ≤ 2 ;
	(x	−		− ≤ x > 2 :

Постройте график этой функции.

Вариант •10

1. Используя определение предела, докажите равенства:

lim

5n − 8

;

lim(2

−

7x) = 5 ;

3n + 1

−

lim

−

7x) =

−∞

; 4)

lim

3x − 1

−

5 ;

−

lim

3x − 1

= 3 ;

lim

3x − 1

= + :

! 1

−

∞

2.	Найдите lim	f(x);	lim f(x);	lim f(x) (если эти пределы
	x!0	x!0+		x!0
	существуют) для функции f(x) =				x2 − 5x		.
						\|x\|
3.	Установите, при каком выборе числа b функция
		f(x) =	−3x + b;			x 6 1 ;
			{ x2 + 2;			x > 1

непрерывна в точке x = 1.

4. Исследуйте функцию f на непрерывность и выясните характер разрывов, если

		x − 1;	−	x 6 −1	;
f(x) =		2 + ln x ;		1 < x < 1 ;
	x2 + x;\| \|			x > 1 :

Постройте график этой функции.

Вариант •11

1. Используя определение предела, докажите равенства:

lim

2n + 1

= 2 ;

lim(2x + 3) = 9

;

n!1 n − 3

x!3

x + 3

lim

(2x + 3) = + ;

= −

xlim2 x

3 ;

x +

∞

−

x lim

x + 3

= 1 ;

lim

x + 3

−∞

−

! 1

2. Найдите lim f(x);	lim f(x);	lim f(x) (åñëè ýòè ïðå-
x! 2	x! 2+	x! 2

делы существуют) для функции f(x) = x2 − 4 .

|x + 2|

3. Установите, при каком выборе числа a функция

f(x) = {	ax2 + 1;	x 6 1 ;
f(x) = {	3x + 2;	x > 1

непрерывна в точке x = 1.

4. Исследуйте функцию f на непрерывность и выясните характер разрывов, если

		x2 − 1;		x 6 −1	;
f(x) =		2x + 2;	−	1 < x 6 0 ;
	ctg 2x;		−	x > 0	:

Постройте график этой функции.

Вариант •12

1. Используя определение предела, докажите равенства:

lim

2n + 1

= 2 ;

lim(2x

−

4) =

4 ;

−

5x + 2

lim

(2x

−

4) =

−∞

; 4)

lim

−

7 ;

−

! 1

5x + 2

lim

5x + 2

x lim

−

2 = 5 ;

−

= +∞ :

2+ x

! 1

2.	Найдите lim	f(x); lim	f(x);	lim f(x) (если эти пределы
	x!0	x!0+		x!0
				1
	существуют) для функции f(x) =
	существуют) для функции f(x) =				2 + 21=x .
					2 + 21=x .
3.	Установите, при каком выборе числа a функция
		f(x) =	ax − 5; x 6 −1 ;
		{ x2 + a;		x > −1

непрерывна в точке x = −1.

4. Исследуйте функцию f на непрерывность и выясните характер разрывов, если

		tg x;		x < 0	;
f(x) =	x 2;		;	0 6 x < 2 ;
		4 −x2	;	x > 2 :
		−

Постройте график этой функции.

Вариант •13

1. Используя определение предела, докажите равенства:

nlim

2n + 1

= 2 ;

xlim5(3x + 10) = −5 ;

−

3x + 4

(−2x + 3) = +∞ ;

x lim

xlim1

;

x + 6

! 1

3x + 4

lim

= −∞ :

x lim

x + 6

= 3 ;

6+ x + 6

! 1


2.	Найдите lim	f(x); lim	f(x); lim f(x) (если эти пределы
	x!1	x!1+	x!1
	существуют) для функции f(x) =			3
	существуют) для функции f(x) =			(x − 1)2 .
3.	Установите, при каком выборе числа a функция
		f(x) =	−x + 3; x 6 2 ;
		{ x2 − ax;		x > 2
	непрерывна в точке x = 2.
4.	Исследуйте функцию f на непрерывность и выясните ха-

рактер разрывов, если

	2x + 1;		x 6 −1	;
f(x) =	x2;	−	1 < x 6 0 ;
	ln(x + 1);	−	x > 0	:
Постройте график
	этой функции.

Вариант •14

1. Используя определение предела, докажите равенства:

2n + 1

lim (4

−

2x) = 2 ;

nlim

3n + 1 = 3 ;

lim

−

2x) = +

∞

;

lim

x + 2

= 2 ;

−

! 1

4 x

lim

x + 2

= 1 ;

lim

x + 2

−∞

−


2.	Найдите lim	f(x); lim	f(x);	lim f(x) (если эти пределы
	x!0	x!0+		x!0
				1
	существуют) для функции f(x) = 2 −					.
	существуют) для функции f(x) = 2 −				1 + 31=x	.
3.	Установите, при каком выборе числа a функция
		f(x) =	4=(x − a); x 6 1 ;
		{ x2 + 1;		x > 1

непрерывна в точке x = 1.

4. Исследуйте функцию f на непрерывность и выясните характер разрывов, если

		x	1;	x 6	0	;
f(x) =		2x−2	1;	0 < x < 2 ;
	ex 2−;			x > 2 :

Постройте график этой функции.

Вариант •15

1. Используя определение предела, докажите равенства:

1) nlim	4n + 1	= 2 ;	2)	lim(2x			−	4) = 2 ;
	2n + 3
				x	!	3
!1

lim

(2x

−

4) = +

∞

;

lim

3x − 5

= 4 ;

−

! 1

lim

3x − 5

= 3 ;

lim

3x − 5

−∞

! 1

−

2.	Найдите lim	f(x); lim f(x);		lim f(x) (если эти пределы
	x!0	x!0+		x!0
	существуют) для функции f(x) =				x + 2\|x\|	.
					\|x\|
3.	Установите, при каком выборе числа a функция
		ax		4; x 6 1 ;
		f(x) = {	x +−2	; x > 1
		f(x) = {		; x > 1
			x
	непрерывна в точке x = 1.
4.	Исследуйте функцию f на непрерывность и выясните ха-

рактер разрывов, если

		−x + 1;		x 6 −2	;
f(x) =	x2 + 1;		−	2 < x 6 1 ;
		2 + ln x;	−	x > 1	:
Постройте график
	этой функции.

Указания к решению задач индивидуального задания по теме "Предел и непрерывность"

Решение задач нулевого варианта

Задача 1

Используя определение предела, доказать:

1) lim 2n + 3 = 2 :

n!1 n − 3

Решение. Нам потребуется определение предела число-

вой последовательности. Говорят, что lim xn = a; åñëè äëÿ

n!1

любого " > 0 существует натуральное число n0 = n0(") такое, что при всех n > n0 выполнено неравенство |xn − a| < ":

В нашем случае нужно доказать, что для любого " > 0 íåðà-

венство

− 2

−

< "

(1)

n + 3

будет справедлмво при всех

больших

некоторого номера

n0:

Преобразуем неравенство (1):

−

2n + 3

− 2

< "

3 2n + 6

< "

n 3

2n + n − 3

< ":

(2)

−

Так как нашей целью является

доказать,

что (2) справедливо

ïðè âñåõ n; больших некоторого номера n0; заранее будем предполагать, что n > 3: Тогда n − 3 > 0; n9 3 > 0; и (2) принимает вид

n − 3

< ":

Найдем решение этого неравества в предположении n > 3 :

< " 9 < "(n −

3) "n > 9 + 3"

−

n >

9 + 3"

Положим n0

= max {3 ; [

]}, где квадратные скобки

+ 3"

обозначают целую часть числа. Очевидно, что при n > n0 âû-

полнено неравенство (1), а это, в силу произвольности выбора " > 0; означает, что lim 2n + 3 = 2 : Утверждение доказано.

n!1 n − 3

При решении последующих задач нам потребуются понятия окрестностей точек на числовой прямой и определение предела функции.

Пусть c некоторая конечная точка на числовой прямой. Интервал (c−"; c+") (ðèñ.8), ãäå ">0 заданное число , называется

c		r	" cr	c +r	"	U"(c). Очевидно,
					-	"-окрестностью точки c. Îáî-
	−					значим эту окрестность через
	−		Ð è ñ. 8			x U"(c) \|x − c\| < ":
			Ð è ñ. 8			x U"(c) \|x − c\| < ":

Определим теперь окрестности бесконечно удаленных точек +∞, −∞, ∞. Пусть M>0 некоторое число. M-окрестностью

+1 (обозначается UM (+∞)) называется бесконечный интервал

0r	Mr	Mr	0r	Mr	0r Mr
(M; +∞) (рис.9). Заметим, что x UM (+∞) x > M.
		−		−
	Ð è ñ. 9	Ð è ñ. 10		Ð è ñ. 11
M-окрестностью 1 (обозначается				UM (−∞)) называ-
ется бесконечный интервал		(−∞; −M) (ðèñ.10).			Заметим, что

x UM (−∞) x < −M.

M-окрестностью 1 (обозначается UM (∞)) называется объединение интервалов (−∞; −M) (M; +∞) (рис.11). Очевидно, x UM (∞) |x| > M.

Определение. Говорят, что lim f(x) = b , если для любой

x!a

окрестности U точки b можно указать окрестность V точки a такую, что для всех x, принадлежащих V , x ≠ a, значение f(x) будет принадлежать U.

В данном определении в качестве a è b могут выступать как конечные точки, так и бесконечно удаленные. Так, если b - конечное число, то U = U"(b); åñëè æå b = ±∞; òî U = UM (±∞): Соответственно, если a - конечное число, то V = V (a); åñëè æå a = ±∞; òî V = VN (±∞):

Например, запись lim f(x) = 3 означает, что для любой окрест-

x!1

ности U"(3) существует окрестность U (1) такая, что для всех x ≠ 1, принадлежащих U (1), значение f(x) будет принадлежать

U"(3).

Пример. а) Докажем, что lim 2x = +	∞	:
x!+1
Мы должны показать, что для любой окрестности UM (+∞)

существует окрестность VN (+∞) такая, что для всех точек x; принадлежащих VN (+∞); f(x) будет принадлежать UM (+∞): Другими словами, для всякого M>0 существует N>0 такое, что если x>N; òî 2x>M.

Зафиксируем число M > 0: Без ограничения общности можно считать, что M > 1 (если неравенство 2x>M выполнено для M > 1; то тем более оно будет выполнено для M ≤ 1): Множество решений неравенства 2x > M есть интервал (log2 M; +∞).

Выбрав N= log2 M (здесь log2 M > 0; òàê							êàê M > 1),	ìû
тем самым для любого M>0 укажем N>0							такое, что если
x>N,				òî 2x>M. По определению предела это означает,				÷òî
x	lim			2x = +	∞	:
	!	+	1

б) Докажем, что lim 2x = 0:

x! 1

Мы должны показать, что для всякого " > 0 существует N > 0 такое, что если x < −N; òî |2x − 0| < ".

Зафиксируем " > 0: Без ограничения общности можно счи- тать, что " < 1 (если неравенство |2x − 0| < " выполнено для " < 1, то тем более оно будет выполнено для " ≥ 1 ). Множество решений неравенства |2x| < ", которое, так как 2x > 0 ïðè âñåõ x, эквивалентно неравенству 2x < ", есть интервал (−∞; log2 "). Òàê êàê 0 < " < 1, òî log2 " < 0. Выбрав N = − log2 ", таким образом для любого достаточно малого " мы укажем N > 0 такое, что если x < −N, òî |2x − 0| < ", что и требовалось доказать.

Отметим, что аналогичным образом можно доказать, что для фиксированного числа a

lim ax = +	∞		;	x	lim ax = 0 ; åñëè a > 1 ;
x +	∞			x	! 1
! 1					! 1
lim ax = 0 ;	x		lim		ax = +	∞	; åñëè 0 < a < 1 :
x +	x	! 1				∞
! 1		! 1

Далее для удобства будем использовать обозначение

lim ax = a 1 ;

x! 1

тогда предыдущие формулы примут вид

a+1	= +	∞	; a 1 = 0 ;	ïðè a > 1 ;	(3)
a+1			a 1 = +∞ ;	ïðè 0 < a < 1 :
	= 0 ;

Обратимся к решению оставшихся задач нулевого варианта.

2) Доказать, что lim(5	−	2x) = 1 :
x 2	−
!

Решение. В соответствии с определением предела, требуется доказать, что для любого " > 0 существует > 0 такое, что

äëÿ âñåõ x; удовлетворяющих условию 0 < |x − 2| < ; будет выполнено неравенство |(5 − 2x) − 1| < " :

Найдем решение последнего неравенства в предположении, что " - произвольное фиксированное положительное число.

\|(5 − 2x) − 1\| < " \|4 − 2x\| < " {				2x < "
\|(5 − 2x) − 1\| < " \|4 − 2x\| < " {				44 −2x > "
				− −
−2x < −4 + "			x > 2 − "=2	0 < \|x−2\| < "=2 :
{	2x > 4	"	{ x < 2 + "=2	0 < \|x−2\| < "=2 :
−	− −

Итак, если взять = "=2; òî äëÿ âñåõ x; удовлетворяющих условию 0 < |x−2| < ; будет выполнено неравенство |(5−2x)−1| < " : Так как мы доказали существование такого числа для любого

положительного числа	";	мы доказали, что					lim(5	−	2x) = 1 :
	";						x 2	−
				−		−∞	!
3) Доказать, что	lim		(5		2x) =		:
	x!+1

Решение. Требуется доказать, что M > 0 существует N > 0 такое, что для всех x; удовлетворяющих неравенству x > N; будет выполнено неравенство 5 − 2x < −M:

Найдем множество решений последнего неравенства для любого фиксированного положительного числа M:

5 − 2x < −M −2x < −M − 5 x > M + 5 :

Положив N = (M + 5)=2, тем самым для любого M > 0 мы укажем число N > 0 такое, что если x > N; òî 5 − 2x < −M:

Следовательно, lim (5 − 2x) = −∞ :

x!+1

4) Доказать, что lim	x − 2	=	−	1	:
				2
x!1 x + 1
Решение. Необходимо показать,				что для любого " > 0 ñó-

ществует > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x − 1| < ; выполнено неравенство

x + 1		−	(−2 )
	x − 2		1	< " :	(4)

Найдем множество решений последнего неравенства, которое, очевидно, равносильно системе неравенств

x − 2 1

+ < "

x + 1 2

x − 2	+ 1	> "

x + 1	2	−

x(3 − 2") − 3 − 2"

2(x + 1)

x(3 + 2") − 3 + 2"

2(x + 1)

< 0

(5)

> 0 :

Методом интервалов находим решения первого и второго нера-

венств системы (5) соответственно, считая при этом, что " очень маленькое положительное число:

−

3 + 2"

;

3+2"

(− 3

2")

r2"

−

3 − 2"

; +

−r1

; x

(

; 1)

−∞ −

(

3 + 2"

∞)

3+2r"

Решением системы неравенств (5) будет пересечение найден-

ных множеств:			1						.

							2
				r2"	1r			3+2r
		3		r2"	1r			3+2r		"
		3+2"						3 2"
		(	3 − 2"					)
Это есть интервал U =			3 − 2"		;	3 + 2"			.
	e	3 + 2"				3 − 2"

Покажем, что этот интервал содержит точку 1, то есть

3 − 2"	< 1 <	3 + 2"	:
3 + 2"		3 − 2"

Действительно, при малых ", очевидно, выполнены неравенства

−

3 − 2"

> 0 ;

3 + 2"

−

1 =

> 0 :

3 + 2"

−

Положим = min( 1; 2) =

. Тогда, если x U (1), òî åñòü

3 + 2"

íåíî, òàê êàê

, à

множество

решений

неравенства

åñëè 0 <

< , то неравенство

− 2

< " будет выпол-

−

x + 1

U (1)

−

(4). Тем самым мы доказали, что lim

−

1 x + 1

x − 2

5) Доказать, что

lim

= 1 :

x!+1 x + 1

Решение. Необходимо показать, что для любого " > 0 ñóùå-

ствует M > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих неравен-

−

x + 1

êîòî-

Найдем множество решений последнего

неравенства,

ñòâó x > M, выполнено неравенство

x − 2

< " :

рое, очевидно, равносильно следующей системе неравенств:

x − 2

−

1 < "

−

2 + (−1 − ")(x + 1)

< 0

x + 1

−

1 > "

x 2 + (

−

1 + ")(x + 1)

> 0

x + 1

− −

−

x + 1

x 2 x

"x + 3 + "

−

< 0

> 0

−

− x + 1

x + 1

x 2 x 1 + "x + "

"x 3 + "

Находим

решенияxпервого и второго неравенств

системы мето-

− − −

> 0

−

> 0:

+ 1

x + 1

дом интервалов:

−

;

x (−∞; −1 − 3=") (−1; +∞) ;

−

			−			+
		+
				r1	−	1	+r	3	;	x (−∞; −1) (−1 + 3="; +∞) :

			−					"
Решением системы неравенств будет пересечение найденных мно-
жеств:
	r	3			−	1	+r	3	;	x (−∞; −1−3=") (−1+3="; +∞) :
1
− −		"						"
Пусть " > 0 настолько мало, что −1 + 3=" > 0.
Выбрав M = −1 + 3=", тем самым мы для любого достаточ-

но малого " > 0 укажем M > 0 такое, что если x > M, òî

x − 2

< ", что и требовалось доказать.

x + 1 −

6) Доказать,

÷òî

lim

−

−∞

1+ x + 1

Решение. Напомним, что число b называется пределом функ-

öèè f(x)

в точке a справа (записывают lim f(x) = b), åñ-

x!a+

ли для любой окрестности U точки b можно указать интервал (a; a + ) такой, что для всех x из интервала (a; a + ) f(x) будет принадлежать U:

Аналогично вводится понятие предела слева (применяется

запись lim f(x) = b), нужно лишь вместо интервала (a; a + )

x!a

рассмотреть интервал (a − ; a).

Итак, в нашем случае мы должны доказать, что для любой окрестности UM (−∞) существует интервал (−1; −1 + ) такой, что для всех x из интервала (−1; −1+ ) f(x) будет принадлежать

UM (−∞):

Более кратко: для любого M > 0 существует > 0 такое, что

−1 < x < −1 + = f(x) < −M :

Найдем все значения x, удовлетворяющие неравенству f(x) < −M и расположенные правее x = −1:

	f(x) <		M		x − 2	<				M
{		−		x + 1				−

	x > −1				x >				1
							−

x(1 + M) − 2 + M < 0 x + 1

x + 1 > 0

{

	x(1 + M) − 2 + M < 0

	x > −1


	1 + M		(6)
x <	2	− M
x <
	−	1 :
x >		1 :

2 − M

Покажем, что 1 + M > −1 ïðè âñåõ M > 0. Действительно,

2 − M

−

2 − M

+ 1 > 0

> 0 ;

1 + M

а так как последнее неравенство при любом M > 0 выполнено,

то и исходное неравенство

2 − M

−

1 справедливо

M>0.

1 + M

2 − M

Итак, множество решений системы (6) есть интервал

2 − M

(−

1 + M )

Обозначим через такое число, что

1 + =

; òî åñòü

2 − M

−

1 + M

−

(

−

1) =

> 0. Таким образом,

M > 0 ìû óêà-

1 + M

M + 1

çàëè > 0 такое, что если

1 < x <

−

1 + , òî

x − 2

−

M, à

−

x + 1

зто и означает, что

lim

x − 2

−∞

1+ x + 1

Задача 2

Найти lim f(x);

lim f(x);

lim f(x) (если эти пределы су-

x!0

x!0+

x!0

ществуют) для функции f(x) =

21=x + 1

Решение. Предел функции в точке a справа (слева) - это предел, вычисляемый в предположении, что x стремится к a; оставаясь все время больше (соответственно, меньше) значения a:

Важно помнить, что lim f(x) существует тогда, и только то-

x!a

гда, когда существуют и равны между собой пределы в точке a справа и слева.

Пределы справа (слева) обладают всеми свойствами обычных (двусторонних) пределов: предел константы равен самой константе, предел суммы, произведения, частного равен, соответственно, сумме, произведению, частному пределов (в последнем случае - если предел знаменателя отличен от 0) и так далее.

При решении данной задачи нам придется воспользоваться свойствами пределов, приведенными далее на стр. 117. В частности,

•если одна из функций в точке стремится к ±∞; а другая функция имеет в этой точке конечный предел b, то их сумма стремится к ±∞:

±∞ + b = ±∞ ;

(7)

•если числитель дроби в точке имеет конечный предел b, а знаменатель стремится в этой точке к ∞; то дробь стремится к 0:

b	= 0 ;	(8)

∞

•если числитель дроби имеет конечный предел b ≠ 0, а знаменатель стремится к 0, то дробь стремится к ∞, причем

знак бесконечности определяется знаками числителя и знаменателя:

0± в знаменателе означает, что знаменателя стремится к 0 справа (слева).

Перейдем непосредственно к решению нашей задачи.

Найдем

lim

: Используя формулы (9) и (3), получим

x!0 21=x + 1

lim

−∞

; lim 21=x = 21 = 0 ;

−

lim (21=x + 1) = 0 + 1 = 1 ;	lim	1		=	1	= 1 :
			+ 1		1
x!0	x!0 21=x

Найдем теперь lim : Опять используем формулы (9),

x!0+ 21=x + 1

(3) и формулы (7) и (8):

lim

= +

∞

;

lim 21=x = 2+1 = +

∞

;

x 0+ x

lim (21=x + 1) = +

∞

+ 1 = +

;

lim

= 0 :

x!0+

x!0+ 21=x + 1

+∞

Как известно, предел функции в точке существует, когда существуют и равны между собой пределы справа и слева. В нашем случае lim f(x) ≠ lim f(x): Следовательно, lim f(x) íå

существует. x!0+	x!0		x!0
	Задача 3
Установить, при каком выборе числа a функция
	x2	a;	x 6 0 ;
	f(x) = { x −−3;		x > 0

непрерывна в точке x = 0.

Решение. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0; åñëè

lim f(x) = f(x0);

x!x0

или, что то же самое,

lim f(x) =	lim f(x) = f(x0):	(10)
x!x0+	x!x0

Известно, что элементарная функция непрерывна во всех точ- ках, где она определена. Напомним, что элементарными называются функции, полученные из простейших функций, изу- чаемых в школьном курсе математики, с помощью арифметиче- ских операций, а также операции образования сложной функции. Данная нам функция f(x) не является элементарной, она

есть результат "склеивания" двух элементарных функций x2 −a

èx − 3:

Âсоответствии с (10), мы должны выбрать число a так, чтобы выполнялось условие

		lim f(x) =	lim f(x) = f(0):		(11)
		x!0+	x!0
Найдем пределы в точке x = 0 слева и справа.
lim		f(x) = lim f(x) =	[ïðè x < 0 f(x) = x2	−	a] =
x	0	x 0		−
	!	!

x<0

= lim(x2 − a) = [в силу непрерывности, предел элементарной

x!0 x<0

функции в точке, где она определена, равен значению функции в этой точке] = 02 − a = −a;

lim

f(x) = lim f(x) = [ ïðè x > 0 f(x) = x

−

x 0+

x>0

lim(x

−

3) = 0

−

3 =

−

= x!0

x>0

Наконец, найдем значение f(0), оно вычисляется по формуле

f(x) = x2 − a : f(0) = 02 − a = −a:

x = 0;

С учетом (11), функция будет непрерывна в точке

åñëè −3 = −a = −a; òî åñòü ïðè a = 3:

Задача 4

Исследовать функцию f на непрерывность и выяснить характер разрывов, если

	x + 2;			x 6 0	;
f(x) =	−x2 + 3; 0 < x 6 2 ;
	1=(x	−	3);	x > 2 :

Решение. При решении этой задачи мы опять будем испрользовать то, что элементарная функция непрерывна в любой точке

области определения. Кроме того, нам потребуются определение точек разрыва и их классификация.

Если при некотором значении x = x0; принадлежащем области определения функции f(x) или являющемся предельной точ-

кой этого множества, равенство (10) не выполнено (то есть или не существует число f(x0), или не существует хотя бы один из односторонних пределов, или все части формулы имеют смысл, но нарушается равенство между какими-то из них), то точка x0 называется точкой разрыва функции f(x): Различают точки

разрыва первого рода, для которых существуют конечные од-

носторонние пределы lim f(x) è lim f(x); è точки разры-

x!x0+ x!x0

ва второго рода - все остальные. Если выполняется равенство

lim f(x) = lim f(x); точка x0 называется точкой устрани-

x!x0+ x!x0

мого разрыва.

Рассматриваемая нами функция f(x) непрерывна на промежутке (−∞; 0); так как здесь она совпадает с элементарной функцией x + 2; которая непрерывна при всех x:

На промежутке (0; 2) функция f(x) также непрерывна, так как совпадает здесь с элементарной функцией −x2 + 3; которая непрерывна при всех x:

На промежутке (2; +∞) f(x) совпадает с функцией 1 ; êî- x − 3

торая имеет точку разрыва x = 3; так как не определена в этой точке. Следовательно, x = 3 является точкой разрыва функции f(x): Чтобы определить тип этой точки разрыва, найдем пределы слева и справа.

lim f(x) = lim

lim

= −∞ :

= 0

x 3

−

3 = x 3 x

−

x<3

Так как один из односторонних пределов уже равен ∞; заключа- ем, что x = 3 - точка разрыва второго рода ( точка бесконечного

разрыва). Найдем тем не менее еще и предел справа, это поможет нам построить график функции.

lim f(x) = lim				1	lim	1		1
lim f(x) = lim					lim		= 0+ = +∞:
x 3+	x	!	3+ x 3		= x 3 x 3		= 0+ = +∞:
!		!		−	!	−
				−	x>3	−

Нам осталось исследовать непрерывность функции f(x) в точках x = 0 è x = 2: Для этого нам нужно найти в каждой из

этих точек значение функции, значения пределов справа и слева, и сравнить эти три значения между собой. В случае равенства всех трех значений точка будет являться точкой непрерывности функции, в противном случае - точкой разрыва.

Исследуем точку x = 0 :

f(0) = [ ïðè x = 0 действует формула f(x) = x + 2 ] = 2;

lim	f(x) = lim f(x) = [f(x) = x+2 ïðè x < 0] = lim (x+2) =
x!0			x!0							x!0
			x<0
						= 0 + 2 = 2 ;
lim			f(x) = lim f(x) = [f(x) =					−	x2	+ 3 ïðè 0 < x < 2] =
x	!	0+	x 0					−
	!		!
			x>0
			lim (			−	x2 + 3) = 0 + 3 = 3 :
			= x	!	0+	−
				!

Так как в точке x = 0 существуют конечные односторонние пре-

делы, причем lim f(x) ≠ lim f(x) ; òî x = 0 - точка разрыва первого рода. x!0 x!0+

Рассмотрим точку x = 2:

f(2) = [ ïðè x = 2 действует формула f(x) = −x2 + 3 ] = −1;

lim f(x) = lim f(x) = [f(x) =

+ 3 ïðè 0 < x < 2] =

x 2

−

x<2

lim (

−

+ 3) =

+ 3 =

−

1 ;

−

lim

f(x) = lim f(x) = f(x) =

ïðè x > 2

x!2+

x!2

[

−

]

x>2

lim

−

1 :

= x

2+ x

−

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.05.201529.11 Кб11Сборник текстов №2.docx
#
18.05.20151.01 Mб189Свирюкова Библиография.rtf
#
29.08.2019167.42 Кб3СГФП 057_00_00 РЭ.doc
#
23.08.2019358.4 Кб3сегодня.doc
#
12.11.20195.25 Mб6селиверстов.doc
#
18.05.2015615.56 Кб38семенко задания.pdf
#
18.05.2015202.17 Кб49семинар 1 по психологии дошкольников.docx
#
23.08.2019235.52 Кб2семинар 10.doc
#
18.05.201531.74 Кб9Семинар 3.doc
#
18.05.201531.77 Кб26семинар 3.docx
#
18.05.201533.28 Кб27Семинар 4.doc

y =	x2 − 1;	\|x\| < 1;
	{ lg \|x\|;	\|x\| ≥ 1: