Алгебра лекции 2 семестр

ТЕМА 8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

§1. Основные определения и простейшие свойства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отображение ϕ векторного пространства V в себя

называется

линейным оператором

пространства V, если

выполняются свойства:

= ϕ

(A )

+ ϕ(B ) ;

1) для любых векторов A,B V :ϕ(A + B )

2) для любого вектора A V и любого скаляра α P :

ϕ (α A) = α ϕ

(A) .

ПРИМЕРЫ. 1) Проекция вектора на одну из координатных плоскостей

в трехмерном пространстве.

2) Дифференцирование в пространстве многочленов от одной

переменной с коэффициентами из поля P.

3) (основной пример) Пусть V – ненулевое n-мерное векторное

пространство над полем

P,

Б = a1; a2;…; aN

– базис

V над P,

α11 α12 … α1N

A =

α21 α22

… α2N

– матрица размерности N ×N с элементами из

…

…

…

…

αN1

αN2

… αNN

однозначно определён его

поля P. Для любого вектора

α V

координатный вектор-столбец, который в данном параграфе будем

обозначать как координатную вектор-строку через

γ1

A

= γ2 .

[ ]Б

γn

Определим правило ϕ его действием на каждый вектор из

пространства V:

ϕ (A)

=

β1 A1 + β2 A2 + …+ βN AN , где

β1

α11

α12 … α1n

γ1

β2

= A

A

=

α21

α22 … α2n

γ2

[ ]Б

… … … …

βn

γn

αn1

αn2 … αnn

или

β1 = γ1 α11 + γ2 α12 + …+ γN α1N ,

β2 = γ1 α21 + γ2 α22 + …+ γN α2N ,

βN = γ1 αN1

+ γ2

αN2

+ …+ γN αNN .

В силу однозначности умножения матриц (а координатный вектор-

столбец является матрицей размерности N ×1 ) ϕ

– отображение из V

в V. По свойствам действий с матрицами и координатных вектор-

столбцов получаем, что

Б

)

= A A

Б

+ A B

Б ,

A A + B

Б = A

A

Б

+ B

[

]

= ϕ

([ ]

[ ]

[ ]

[ ]

α

A Б

= α

A

A Б

, т.е.

т.е. ϕ

A + B

A

+ ϕ

B

, и

A α A

Б = A

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

[ ]

[ ]

ϕ (α A) = α ϕ (A) .

Значит, ϕ – линейный оператор пространства V над P.

ТЕОРЕМА

23 (простейшие свойства линейного оператора). Пусть ϕ –

линейный оператор векторного пространства V над полем P. Тогда

выполняются следующие свойства.

1) ϕ (θ ) = θ .

и скаляров α1,α2,…,αK P

2) Для любых векторов A1,A2,…,AK V

= ϕ (α1 A1 + …+ αK−1 AK−1) + ϕ (αK AK ) =

= α1 ϕ (A1) + …+ αK−1 ϕ (AK−1) + αK ϕ (AK ) . ▲

векторного

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейные операторы ϕ1

и ϕ

2

пространства V над полем P равны, если для любого вектора A V :

ϕ1 (A) = ϕ2 (A) .

Ядро и образ линейного оператора

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть ϕ – линейный оператор векторного

пространства V

над полем P. Ядром оператора ϕ

называется

множество

KER ϕ = { A V

ϕ

(A ) = θ } .

Образом оператора ϕ называется множество

IMϕ = {ϕ(A )

A V } .

ТЕОРЕМА 24.

Если ϕ – линейный оператор векторного

пространства V над полем P, то KER ϕ и IMϕ –

подпространства пространства V.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как ϕ (θ ) = θ , то θ KER ϕ, θ IMϕ и

KER ϕ ≠ , IMϕ ≠ . По определению

KER ϕ, IMϕ

V .

Если A,B KER ϕ

, то

ϕ (A) = ϕ (B) = θ и ϕ (A + B) = ϕ (A) + ϕ (B) = θ + θ = θ ,

т.е. ϕ (A + B) = θ

и A + B KER ϕ .

Если A KER ϕ

и α P , то ϕ (α A) = α ϕ (A) = α θ = θ , т.е.

α A KER ϕ .

, то существуют A,B V такие, что

Если X, Y IMϕ

x = ϕ(a ) , y = ϕ(b) . Тогда x + y = ϕ (a ) + ϕ (b) = ϕ (a + b) IMϕ ,

α X = α ϕ (A ) = ϕ (α A ) IMϕ .

Таким образом, все свойства критерия подпространства для

обоих множеств выполняются и

KERϕ,

IMϕ – подпространства

пространства V. ▲

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть V – конечномерное векторное

пространство над полем P, ϕ – линейный оператор

пространства V. Рангом оператора ϕ

называется число

rang ϕ = dim Imϕ, дефектом – число

DEF ϕ = DIM KER ϕ .

ТЕОРЕМА 25.

Пусть V – n-мерное векторное пространство над

полем P и ϕ

– линейный оператор пространства V. Тогда

N = dimV = dim Kerϕ + dim Imϕ = rang ϕ + def ϕ.

, KER ϕ = θ

и

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если N = 0 , то V = θ

}

, IMϕ = θ

}

}

{

{

{

0 = dimV = 0 + 0 = dim Kerϕ + dim Imϕ = rang ϕ + def ϕ.

Пусть N > 0 . Выберем в IMϕ базис Б1= a1; a2;…; aK

. Тогда

dim Imϕ = rang ϕ = K . Так как AI

IMϕ (I = 1,2,…,K ) , то

существуют векторы B1,B2,…,BK

V

такие, что ϕ (bI

) = aI .

Докажем, что последовательность Б2= b1; b2;…; bK

– линейно

независима. Действительно, если λ1 B1 + …+ λK BK = θ , то

λ1 ϕ (B1) + …+ λK ϕ (BK ) = θ ,

λ1 a1 + …+ λK aK = θ ,

а т.к. последовательность Б1 – линейно независима, то

λ1 = λ2 = …= λK = 0 и Б2 – линейно независима.

Пусть L = { β1 B1 + …+ βK BK

βI P} – линейная оболочка

последовательности векторов

Б2 . Тогда Б2 – базис L,

DIM L = K .

}

и 2)

Докажем, что V = KER ϕ L , т.е. 1) KER ϕ ∩ L = θ

V = KER ϕ + L .

{

1) Пусть C KER ϕ ∩ L . Тогда C Kerϕ и C L , ϕ (с) = θ и

с = γ1 b1 + …+ γK bK .

Из этих условий последовательно получаем:

ϕ (C ) = ϕ (γ1 B1 + …+ γK BK ) ,

θ = γ1 ϕ (B1) + …+ γK ϕ (BK ) ,

γ1 A1 + …+ γK AK = θ .

–

линейно

Так как последовательность Б1 = a1; a2;…; aK

независима, то γ1,…,γK – нулевые скаляры,

C = 0 B1 + …+ 0 BK = θ и KER ϕ ∩ L = θ

.

{ }

2) Пусть A V . Тогда ϕ(A) IMϕ и

ϕ(B ) = ϕ(T1 B1 + …+ TK BK ) = T1 ϕ(B1) + …+ TK ϕ(BK ) =

= T1 A1 + …+ TK AK ,

т.е. ϕ(A) = ϕ(B) .

Рассмотрим вектор C = A − B . Тогда

ϕ (C ) = ϕ (A − B ) = ϕ (A ) − ϕ (B ) = θ ,

т.е. C KER ϕ. Из этого следует, что A = C + B , причём C KER ϕ

и B L . Поэтому

KER ϕ + L .

A KER ϕ + L и V

С другой стороны

KERϕ + L

V . Поэтому

V = KER ϕ + L , KER ϕ L =V .

Так как сумма прямая, то

DIMV = DIM(KERϕ L) = DIM KERϕ + DIM L =

= dimKerϕ + dimImϕ = def ϕ + rangϕ.▲

Задание линейного оператора образами базисных

векторов

В дальнейшем будут рассматриваться ненулевые

конечномерные пространства и линейные операторы этих

пространств. При изучении линейных операторов важное

значение имеет способ их задания.

ТЕОРЕМА 26. Пусть V – n-мерное векторное пространство над

полем P, Б = a1; a2;…; aN

– базис пространства V и

( ) B1,B2,…,BN – произвольная последовательность векторов

из V. Тогда существует единственный линейный оператор ϕ

пространства V такой, что

(1) ϕ(A1) = B1,ϕ(A2 )

= B2,…,ϕ

(AN ) = BN .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. СУЩЕСТВОВАНИЕ. Если C1 V , то существует

единственное представление

C1 = α1 A1 + α2 A2 + …+ αN AN .

Определим ϕ (C1) = α1 B1 + α2 B2 + …+ αN BN и докажем, что ϕ

– искомый линейный оператор.

Действительно, ϕ

– отображение из V в V. Если C2 V и

C2 = β1

A1 + β2

A2 + …+ βN

AN , то

ϕ (C2 ) =

β1 B1

+

β2 B2 + …+

βN BN ,

C1+C2 = (α1 +

β1) A1 + (α2 + β2 ) A2 + …+ (αN + βN ) AN ,

ϕ (C1+C2 ) = (α1 + β1) B1 + (α2 + β2 ) B2 + …+ (αN + βN ) BN =

= α1 B1 + α2 B2

+ …+ αN BN + β1 B1 + β2 B2 + …+ βN BN =

= ϕ(C1) + ϕ(C2 ) .

Если

λ P , то

λ C1 = (λ α1) A1 + (λ α2 ) A2 + …+ (λ αN ) AN и

ϕ (λ C1) = (λ

α1) B1 + (λ α2 ) B2 + …+ (λ αN ) BN =

= λ (α1 B1 + α2

B2

+ …+ αN BN ) = λ ϕ (C1) .

Таким образом, ϕ

удовлетворяет всем аксиомам линейного

оператора. Кроме того, так как

AI = 0

A1 + …+ 1 AI + …+ 0

AN

для любого

I = 1,2,…,N , то

ϕ (AI )

= 0 B1

+ …+ 1 BI + …+ 0 BN = BI

и условие (1) выполнено.

ЕДИНСТВЕННОСТЬ. Пусть ϕ1,ϕ2 – два линейных оператора, для

которых выполнено условие (1). Возьмём произвольный вектор

C V

,

C = γ1

A1 + …+ γN AN ,

тогда

ϕ1 (C ) = ϕ1 (γ1 A1 + …+ γN AN ) = γ1 ϕ1 (A1) + …+ γN ϕ1 (AN ) =

= γ1 B1 + …+ γN BN и

ϕ2 (C ) = ϕ2 (γ1 A1 + …+ γN AN ) = γ1 ϕ2 (A1) + …+ γN ϕ2 (AN ) =

= γ1 B1

+ …+ γN BN .

В результате

ϕ1 (C ) = ϕ2 (C )

для любого C V и ϕ1 = ϕ2 . ▲

§2. Матрица линейного оператора

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть V – n-мерное векторное пространство над полем

P, Б = a1; a2;…; aN

– некоторый базис V, а ϕ – линейный оператор

пространства V. Вычислим векторы ϕ(A1),ϕ(A2 ),…,ϕ(AN ) и выразим

их через базис:

(

)

= α11

A1 + α21 A2 + …+ αN1 AN ,

ϕ

(

A1

)

= α12

A1 + α22 A2 + …+ αN2 AN ,

ϕ

A2

ϕ (AN ) = α1N A1 + α2N A2 + …

+ αNN

AN .

Тогда матрицей линейного оператора ϕ в базисе Б называется

матрица

α11 α12

… α1n

MБ (ϕ ) =

α21 α22

… α2n

… …

… … .

αn1 αn2

… αnn

k-й столбец этой матрицы является координатным столбцом

вектора ϕ(AK )

в базисе Б.

Если [A]Б обозначает вектор-столбец вектора a в базисе Б, то по

определению

) Б

(

) Б

(

) Б )

(

)

(

(

MБ

ϕ

=

ϕ

A1

ϕ

A2

… ϕ

An

.

Очевидно, матрицы одного и того же оператора в разных базисах

будут разными.

Каждому линейному оператору ϕ пространства V над P однозначно

сопоставляется матрица MБ (ϕ) . Наоборот, пусть ϕ,ψ – линейные

операторы пространства V и MБ

(

ϕ

)

= MБ ψ

)

для некоторого базиса

Б = a1; a2;…; aN

. Тогда

(

) Б

(

) Б )

(

)

(

(

) Б

(

MБ

ϕ

=

ϕ

A1

ϕ

A2

…

ϕ

An

и

( )

(

(

) Б

(

) Б

(

) Б )

MБ ψ

=

ψ

A1

ψ

A2

…

ψ

An

.

Из равенства этих матриц следует, что

ϕ

Ai

= ψ

(

Ai

для любого I = 1,2,…,N .

(

) Б

) Б

Но тогда ϕ (AI

) = ψ (AI )

и ϕ =ψ .

В результате установлено взаимно однозначное соответствие между

линейными операторами и квадратными матрицами размерности

N ×N .

27 (о вычислении линейного оператора по его матрице).

ТЕОРЕМА

Пусть V – n-мерное векторное пространство над полем P,

Б = a1; a2;…; aN

– его базис и

ϕ – линейный оператор пространства

V. Тогда для любого вектора A V выполняется равенство

ϕ

A

= MБ

(

ϕ

)

A

Б ,

(

) Б

[

]

где ϕ

A

)

и

A

Б – координатные столбцы соответствующих

(

Б

[

]

векторов.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть A V и

A = α1 A1 + α2 A2 + …+ αN AN ,

ϕ (A)

= γ1 A1 + γ2 A2 + …+ γN AN .

Тогда

+ (α1 α21 + α2 α22 + …+ αN α2N ) A2

+ …+

+ (α1

αN1 + α2

αN2 + …+ αN αNN ) AN .

Получаем систему равенств

= γ1,

α1

α11

+ α2

α12

+ …+ αN α1N

α1

α21

+ α2

α22

+ …+ αN α2N

= γ2,

αN1

+ α2 αN2

+ …+ αN αNN

= γN .

α1

α11

α12 … α1N

α1

γ1

α21 α22 … α2N

α2 γ2

,

… … … …

=

αN1

αN 2

αNN

αN

γN

…

или, используя обозначения, это можно записать так:

MБ

(

ϕ

)

A

]

Б

= ϕ

A

)

.▲

[

(

Б

и Imϕ по M

Б (ϕ) .

Нахождение базисов Kerϕ

Пусть V – n-мерное векторное пространство над полем P, ϕ –

линейный оператор пространства V, Б = a1; a2;…; aN

– базис

этого пространства, а MБ (ϕ)

– матрица оператора ϕ

в базисе

Б. Тогда

(

ϕ

ϕ

ϕ

MБ

(

ϕ

)

=

(

A1

A2

…

An

.

) Б

(

) Б

(

) Б )

Из взаимно однозначного соответствия между векторами и их

координатными столбцами и аксиом 1) и 2) оператора следует,

что базису последовательности векторов соответствует базис

их координатных столбцов и наоборот. Так как любой вектор

из

IMϕ

линейно выражается через

( )

ϕ

(A1) ,ϕ(A2 ) ,…,ϕ(AN ) ,

то базисом IMϕ является любой базис последовательности

векторов ( ) . Значит, найдя базис последовательности вектор-

столбцов

ϕ

A1

,

ϕ

(

A2

)

,

…,

ϕ

(

An

, найдем и базис

(

) Б

Б

) Б

последовательности ( ) .

(

)

С другой стороны, если A KER ϕ, то MБ

ϕ

A

Б

= θ

Б , а т.к.

[

]

[ ]

вектор A – произвольный, то возьмем

X1

. От

A

]Б

= X2

[