Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный педагогический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Алгебра лекции 2 семестр

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

6.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

A 2

2 +

(COS ϕ +

SINϕ) ,

+ B

где R =

> 0 , а аргумент ϕ с условиями

A 2 + B2

COS ϕ =

SIN ϕ

+ B

существует по предыдущему утверждению, т.к.

+ B

ЕДИНСТВЕННОСТЬ.

Если

Z = R (COS ϕ + I SINϕ) = T (COSψ + I SINψ ) , то

R (COS ϕ + I SINϕ)

= R .

COS ϕ + I SINϕ

= R

COS2 ϕ + SIN2 ϕ

Аналогично,

= T . Значит, T = R =

A 2 + B2

Тогда

COS ϕ + I SINϕ = COSψ + I SINψ

COS ϕ

= COSψ ,

= ϕ + 2πK, K .

= SINψ

SINϕ

Если при этом

0 ≤ ϕ, ψ < 2π, то ϕ = ψ . ▲

ЗАМЕЧАНИЕ. В общем случае

2πK )) ,

Z = R (COS (ϕ + 2πK ) + I SIN (ϕ +

где K ,

ϕ = ARG Z .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Тригонометрической формой ненулевого комплексного

числа

Z = A + BI

называется представление его в виде

Z = R (COS ϕ + I SINϕ) , где ϕ, R , R > 0 . Если Z = 0 , то положим

0 = 0 (COS ϕ + I SINϕ) , где

– произвольное.

ЗАМЕЧАНИЕ. По тригонометрической форме ненулевое комплексное

число

Z = R (COS ϕ + I SINϕ)

однозначно изображается на комплексной

плоскости: это пересечение окружности радиуса r с центром в начале
координат и луча, выходящего из начала координат и составляющего
угол ϕ с положительным направлением действительной оси (см.
рис.2).
ТЕОРЕМА 7 (о действиях с комплексными числами в
тригонометрической форме). Для любых комплексных чисел									,
Z = R (COS ϕ + I SINϕ)	и	U = T (COSψ + I SINψ ) , где						R ,T ,ϕ,ψ и R ,T ≥ 0	,
выполняются следующие свойства.
1) Z U = (R T ) (COS (ϕ + ψ ) + I SIN (ϕ + ψ )) .
2) Если Z ≠ 0 , то 1Z = 1R		(COS (−ϕ) + I SIN (−ϕ)) .					))
Z	R		(	(	)	(	))	.
3) Если Z ≠ 0 , то U	= T			COS ψ − ϕ		+ I SIN ψ − ϕ		.

4)(COS ϕ + I SINϕ)N = COSNϕ + I SINNϕ для любого натурального числа n.

5)ZN = (R N ) (COS Nϕ + I SINNϕ) для любого натурального n (формула

Муавра).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1) Z U = (R (COS ϕ + I SINϕ)) (T (COSψ + I SINψ )) =

=(R T ) ((COS ϕ + I SINϕ ) (COSψ + I SINψ )) =

=(R T ) (COS ϕ COSψ − SINϕ SINψ + (COS ϕ SINψ + SINϕ COSψ )I ) =

(формулы косинуса суммы и косинуса разности)

= (R T ) (COS (ϕ + ψ ) + I SIN (ϕ + ψ ) ) .

2) Пусть Z ≠ 0 . Тогда R ≠ 0 и

(

COS

−ϕ

+ I SIN

−ϕ

(

COS ϕ

+ I SINϕ

))

(

)

(

))

(

COS

−ϕ + ϕ

+ I SIN

−ϕ + ϕ

))

= 1

COS 0 + I SIN 0

= 1,

(

)

(

)

т.е. Z −1 = 1Z

= 1R

(COS (−ϕ) + I SIN (−ϕ)) . В силу единственности обратного

элемента получаем требуемое утверждение.

= U

−

(

COSψ + I SINψ

))

(

COS

−ϕ

+ I SIN

−ϕ

))

(

)

(

= T

(

))

COS ψ − ϕ

)

+ I SIN ψ − ϕ

(

4) Индукция по N, начиная с N = 2 .

(COS ϕ + I SIN ϕ)2

= (COS ϕ + I SINϕ) (COS ϕ + I SINϕ) =

= COS

(ϕ + ϕ) + I SIN

(ϕ + ϕ)

= COS 2ϕ + I SIN 2ϕ.

Пусть утверждение верно для всех натуральных чисел 2 ≤ K < N . Тогда

для

K = N

(COS ϕ + I SINϕ)N = (COS ϕ + I SINϕ)N −1 (COS ϕ + I SIN ϕ) =

=(COS ((N − 1) ϕ) + I SIN ((N − 1) ϕ) ) (COS ϕ + I SIN ϕ) =

=(COS ((N −1)ϕ + ϕ) + I SIN ((N −1)ϕ + ϕ) ) = COS Nϕ + I SINNϕ .

5) Z N = (R (COS ϕ + I SIN ϕ))N = (R N ) (COS ϕ + I SIN ϕ)N =

= R N (COS Nϕ + I SINNϕ) . ▲

СЛЕДСТВИЕ. ARG (Z U ) = ARG Z + ARG U + 2πK, где K = 0 или K = −1.

Извлечение корней n-й степени из комплексных чисел

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Корнем n-й степени (N ) из комплексного

числа z называется комплексное число α такое, что αN = Z .

ТЕОРЕМА 8 (о корнях n-й степени из 1). Существует ровно n

различных комплексных корней n-й степени из 1, которые

находятся по формулам

2πK

UK = COS N

+ I SIN

где K = 0, 1,…, N −1 .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим, что

(UK )N = COS 2πK + I SIN 2πK = 1,

т.е. все числа UK являются корнями n-й степени из 1. Так как

аргументы 0 ≤

2π 0 ,

2π 1, …, 2π (N − 1) < 2π и все различны,

то и числа

все различны при K = 0, 1,…, N −1 .

Докажем, что если u

– комплексный корень n-й степени из 1,

то u совпадает с одним из UK . Пусть UN = 1 и

U = Z (COS ϕ + I SINϕ) . Тогда

N = 1 и

= 1, т.е. R = 1

и U = COS ϕ + I SIN ϕ.

UN = (COS ϕ + I SINϕ)N = COS Nϕ + I SINNϕ = 1 = COS 0 + I SIN 0 .

Значит,

COS Nϕ + I SINNϕ = COS 0 + I SIN 0

COS Nϕ = COS 0,				2πK
		Nϕ = 0	+ 2πK, K ϕ =		,
				N
SIN Nϕ = SIN 0
и если	0 ≤ ϕ < 2π , то K = 0, 1,…, N −1, т.е. U = UK				для
некоторого K = 0, 1,…, N −1			. ▲

ОБОЗНАЧЕНИЕ.

2πK

+ I SIN

2πK

K = 0, 1,…, N −

–

COS

множество всех корней n-й степени из 1.

ПРИМЕР. Найти все корни третьей степени из 1.

РЕШЕНИЕ.

N = 3, K = 0,1, 2 .

K = 0 : U0 = COS 2π3 0 + I SIN 2π3 0 = COS 0 + I SIN 0 = 1 .

K = 1 : U1 = COS

2π 1

2π

I .

+ I SIN

= COS 3

+ I SIN

= − 2

K = 2 : U2 = COS

2π 2

4π

I .

+ I SIN

= COS 3

+ I SIN

= −

−

СЛЕДСТВИЕ. Все n различных комплексных корней n-й степени

из 1 можно изобразить точками, расположенными в

вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность

радиуса 1 с центром в начале координат и с одной из вершин

в точке

1; 0

)

соответствующей корню

U0 .

(

Это утверждение следует из того, что

= 1 , т.е. все корни

расположены на единичной

окружности,

соответствует точке M 1; 0

)

2) число

U0 = 1

(

и UK+1

3) угол между радиус-векторами соседних корней UK

2π

(

+ 1

равен

)

−

N .

ТЕОРЕМА 9 (о корнях n-й степени из комплексного числа).

Существует ровно n различных комплексных корней n-ной

степени из комплексного числа

Z ≠ 0

Z =

(COSϕ + I SINϕ) ,

которые находятся по формулам

αK =

2πK

+ I SIN

+ 2πK

K = 0, 1,…, N −1.

COS

UK , где K = 0, 1,…, N −1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заметим, что

αK

= α0

и UK

– корни n-й степени из 1. Значит, все

αK

различны и

+ I SIN

αK

= (α0 UK )

= α0

COS

1 =

(COSϕ + I SINϕ) = Z ,

т.е. числа αK

являются корнями n-й степени из z.

Если же α и αN = Z , то

αN

= 1.

α0

Поэтому

KN = {U 0;U1;…; UN −1} и α = α0 UK = AK,

α0

K = 0, 1,…, N −1. ▲

Z ≠ 0 можно

СЛЕДСТВИЕ.

Корни n-й степени из числа

изобразить точками, расположенными в вершинах

правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса

R = N

с центром в начале координат.

ПРИМЕР. Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни 4-й степени из комплексного числа

Z				= (	3	+ 1) + (						3			−1)I							.
Z							1	+ I														.
Имеем
	((			3 + 1 +									3 − 1 I									)		1 − I
Z =	((						)				(								)			)			(					)		=				3	− I =	3	+ (−1)I ,
Z =							(		+ I			)				(					)											=				3	− I =	3	+ (−1)I ,
							1		+ I								1 − I				(						)				(				)
																					(						)	2			(				)	2 = 2 .
A =			3, B = −1,											Z				=							3				+					−1
A =			3, B = −1,											Z				=							3				+					−1

																							ϕ =						3
																	COS												3				,
																	COS												2				,
																													2
																													1			,
Решаем систему SINϕ = −																													2			,
																													2
																	0			≤ ϕ < 2π ,

	11π																					11π													11π
ϕ =	11π						и	Z = 2														11π						+ I sin							11π
ϕ =		6					и	Z = 2									cos							6				+ I sin								6	. Затем применяем
		6																						6												6
формулу нахождения																							αK
α0 =		4								11π							+ I SIN							11π
		4		2						11π														11π						,
				2			COS				24														24					,
											24														24
α1 =		4								23π							+ I SIN								23π
		4		2						23π															23π						,
				2			COS				24														24						,
											24														24
		4									35π															35π
		4									35π															35π
α2 =				2			COS											+ I SIN														,
α2 =				2			COS				24							+ I SIN							24							,
											24														24
α3 =		4									47π							+ I SIN								47π
		4		2							47π															47π
				2			COS				24														24					.
											24														24															12π
Разница между аргументами соседних корней																																								12π		π
Разница между аргументами соседних корней																																								24	=	2 .

ТЕМА 6. АБСТРАКТНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
§1. Основные определения и простейшие свойства
Арифметическое векторное пространство является частным случаем
более общего понятия векторного пространства. Рассмотрим
основные определения и обозначения.
Пусть V – непустое множество, а P – некоторое поле. Элементы V
будем называть векторами, а элементы P – скалярами.
V называется векторным (линейным) пространством над полем P,
если на нём заданы операция сложения векторов и операция
умножения векторов на скаляры и выполняются следующие свойства
(аксиомы).
I) V; + – коммутативная (абелева) группа, т.е. сложение	θ и
коммутативно, ассоциативно, существует нейтральный элемент	θ и
для любого A V существует противоположный элемент −A V .
II) Для любых элементов A,B V , скаляров α,β P :
а) α (A + B) = α A + α B ,
б) (α + β ) A = α A + β A ,
в) α (β A) = (α β ) A ,
г) 1 A = A .
ЗАМЕЧАНИЕ. Так как V; + – абелева группа, то для V выполняются
все свойства группы. В частности, при сложении векторов можно не
ставить скобки; вектор θ определён однозначно; для любого вектора
a однозначно определён противоположный −A ; однозначно
определён вектор A − B = A + (−B) , а так же другие свойства групп.
ПРИМЕРЫ. 1) Множество всех матриц размерности K × N с элементами
из поля P образует векторное пространство над полем P.
2) Множество всех многочленов от одной переменной с
действительными коэффициентами образует векторное пространство
над полем .
3) Множество всех непрерывных функций из в с операциями:
а) сложение функций ( f + g ) (x ) = f (x ) + g (x ) ;

б) умножение функции на скаляр (λ F ) (X ) = λ F (X ) ,									.
образует векторное пространство над полем действительных чисел
4)	Множество всех комплексных чисел над полем .
ТЕОРЕМА 10 (о простейших свойствах векторных пространств). Для
любых векторов A,B,A1,A2,…,AK V и скаляров α, β,A1,A2,…,AK P
выполняются следующие свойства.
1)	Если A + B = A			, то	B = θ .
2)	Если A + B = θ			, то	B = −A .
3)	0		A = θ, α θ = θ .
4)	(	−1 A = −A .
5)			)
	Если α A = θ , то α = 0 или A = θ .
6) Если α A = α B и						α	≠ 0	, то A = B .
7)	Если α A = β A и A ≠ θ							, то α = β .
8) (α1 + α2 + …+ αK ) A = α1 A + α2 A + …+ αK A и
α (A1 + A2 + …+ AK ) = α A1								+ α A2 + …+ α AK .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Свойства 1) и 2) следуют из того, что V; + – группа.
3)	Заметим, что				(		)
0	A + A = 0 A + 1 A =					0	+ 1 A = 1 A = A ,

т.е. 0 A + A = A . Тогда по свойству 1) получаем, что 0 A = θ .

Аналогично α θ + α

A =

α (θ

+ A) = α A , т.е. α θ + α A = α A

α θ = θ .

A = 0 A = θ .

A +

(

−1 A = 1 A +

(

−1 A = 1 +

(

−1

)

(

))

Значит,

(

−1 A = −A .

)

1 ,

5) Пусть α A = θ

и α ≠ 0 . Умножив обе части равенства на

получим

α A

θ ,

, 1 A = θ, A = θ .

(

)

α A = θ

6) Пусть α

A = α B . Умножив обе части равенства на α −1, получим

A = B .

7) Пусть α A = β A . Тогда α A − β A = θ, (α − β ) A = θ и т.к. A ≠ θ , то

(α − β ) = 0 и α = β .

8) Доказывается индукцией по k, начиная с K = 2 . ▲

Линейная выражаемость. Линейная зависимость и

независимость

ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Линейной комбинацией векторов A1,A2,…,AK V

с коэффициентами α1,α2,…,αK P называется вектор

α1

+ α2 A2

+ …+ αK

V .

Последовательностью векторов векторного пространства V

над полем P

называется непустая упорядоченная совокупность

векторов из

Вектор B V

линейно выражается через последовательность

A1,A2,…,AK из V, если существуют скаляры α1,α2,…,αK P

такие, что

AK .

B = α1

+ α2

+ …+ αK

Векторным уравнением

последовательности векторов

A1,A2,…,AK V и вектора B V называется уравнение вида

B = X1

+ X2

+ …+ XK

AK .

Однородным векторным уравнением последовательности

векторов A1,A2,…,AK V

называется уравнение вида

X1 A1 + X2 A2

+ …+ XK

= θ .

ЗАМЕЧАНИЕ. Если векторное уравнение

B = X1

+ X2

+ …+ XK

имеет решение, то вектор b

линейно выражается через последовательность векторов

A1,A2,…,AK . Однородное векторное уравнение для любой

последовательности всегда имеет по крайней мере одно

решение – нулевое: X1 = X2 = … = XK = 0 .

Последовательность векторов A1,A2,…,AK называется линейно

независимой

(ЛНЗ), если её однородное векторное уравнение

имеет единственное нулевое решение, и линейно зависимой

(ЛЗ), если однородное векторное уравнение этой

последовательности имеет хотя бы одно ненулевое решение.

Другими словами, если для последовательности A1,A2,…,AK

найдутся не все равные нулю скаляры λ1,λ2,…,λK P такие,

что λ1A1 + λ2A2 + …+ λKAK

= θ , то данная последовательность

линейно зависима. Если же равенство

λ1A1 + λ2A2 + …+ λKAK

= θ

возможно лишь для

λ1

= λ2 = …= λK = 0 , то последовательность линейно

независима; и наоборот.

Как и для арифметических векторных пространств, для абстрактных векторных пространств верны все свойства линейной зависимости.

ТЕОРЕМА (о свойствах линейной зависимости и линейной независимости). 1) Последовательность векторов, содержащая хотя бы один нулевой вектор θ , линейно зависима.

2) Последовательность, в которой есть два равных вектора, линейно зависима.

3) Последовательность, содержащая хотя бы два пропорциональных вектора, линейно зависима.

4) Если подпоследовательность линейно зависима, то и вся последовательность линейно зависима.

5) Если последовательность линейно независима, то и любая её подпоследовательность линейно независима.

6) Если последовательность линейно зависима, то хотя бы один её вектор линейно выражается через остальные.

7) Если хотя бы один вектор последовательности линейно выражается через остальные, то последовательность линейно зависима.

8) Если последовательность A1,A2,…,AK линейно независима, а последовательность A1,A2,…,AK, B линейно зависима, то

вектор b линейно выражается через остальные.

ТЕОРЕМА (основная лемма о линейной зависимости). Если каждый вектор последовательности


A1,A2,…,AK ,AK+1			( )
линейно выражается через последовательность векторов
B1,B2,…,BK ,		( )	линейно зависима.
то последовательность ( )
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО этих теорем для арифметического векторного
пространства годится и для случая произвольного векторного
пространства. ▲
СЛЕДСТВИЕ.	Если каждый вектор последовательности (1)
A1,A2,…,AM	линейно выражается через последовательность

(2) B1,B2,…,BK и M > K , то последовательность (1) линейно

зависима.

Базис последовательности векторов и векторного пространства

Базисом последовательности векторов ( ) A1,A2,…,AK

векторного пространства V над полем P называется такая её подпоследовательность Б, что 1) подпоследовательность Б линейно независима;

2) каждый вектор последовательности ( ) линейно

выражается через векторы последовательности Б.

Для базисов верна такая же теорема, что и для базисов арифметических векторных пространств с таким же доказательством.

ТЕОРЕМА (о свойствах базиса последовательности векторов). 1) Конечная последовательность, содержащая хотя бы один ненулевой вектор, имеет базис.

2) Количество векторов в любых двух базисах одной и той же последовательности векторов одинаково.

Рангом конечной последовательности векторов, содержащей хотя бы один ненулевой вектор, называется количество векторов в базисе этой последовательности. Ранг последовательности нулевых векторов считается равным нулю.

СЛЕДСТВИЕ. Если вектор b линейно выражается через последовательность A1,A2,…,AK , содержащую ненулевые

векторы, то он выражается и через её базис.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если в векторном пространстве V над полем P существует конечная последовательность векторов ( )

A 1 , A 2 , … , A N	такая, что она линейно независима и
через неё линейно выражается каждый вектор V, то
пространство V называется конечномерным,
последовательность	( ) называется базисом пространства V, а

число n называется его размерностью и обозначается
DIMP V = N .
Из основной леммы о линейной зависимости и следствия из
неё вытекает, что в любых двух базисах конечномерного
векторного пространства количество векторов одинаково.
Эквивалентные последовательности векторов
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательности векторов
и	A1,A2,…,AK	(I)
	B1,B2,…,BM	(II)

векторного пространства V называются эквивалентными,
если каждый вектор последовательности (I) линейно
выражается через векторы последовательности (II), и наоборот
каждый вектор последовательности (II) линейно выражается
через векторы последовательности (I).
ОБОЗНАЧЕНИЕ: (I ) (II ) .
ЗАМЕЧАНИЯ. 1) Базис последовательности векторов
эквивалентен всей последовательности.
2) Если (I), (II) и (III) последовательности векторов из одного
пространства, то:
(I ) (I ) ;
если	(I ) (II ) , то (II ) (I ) ;
если	(I ) (II ) и (II ) (III ) , то (I ) (III ) .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарными преобразованиями
последовательности векторов (I) называются преобразования
следующих типов:
1) удаление из последовательности нулевого вектора θ ;
2) умножение любого вектора последовательности на
ненулевой скаляр;
3) прибавление к некоторому вектору последовательности
любого другого, умноженного на произвольный скаляр.
ТЕОРЕМА 11 (об элементарных преобразованиях). Если к
последовательности (I) A1,A2,…,AK применить конечное число
элементарных преобразований, то получится
последовательность, эквивалентная исходной.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно доказать, что если к
последовательности применить одно элементарное
преобразование, то получится последовательность,
эквивалентная исходной, а затем воспользоваться индукцией
по количеству преобразований.
Так как вектор θ линейно выражается через любую
последовательность и не влияет на выражаемость других
векторов, то применение преобразований типа 1) дает
эквивалентную последовательность.
Пусть
(I) a1,…,aM ,…,aK ,		(α ≠ 0) ,
(II) A1,…,α AM ,…,AK

т.е. (II) получена из (I) умножением вектора
AM (M = 1,…,K ) на α . Тогда					при I ≠ M
иaI	= 0 a1 + …+ 1 aI + …+ 0 aK
AM = 0 A1 + …+ α1 (α AM ) + …+ 0 AK .
Наоборот:					при I ≠ M ,
aI	= 0	a1 + …+ 1 aI + …+ 0 aK
α AM		= 0 A1 + …+ α AM + …+			0	AK .
Таким образом, каждый вектор последовательности (I) линейно
выражается через векторы последовательности (II) и,
наоборот, каждый вектор последовательности (II) линейно
выражается через векторы последовательности (I).
Следовательно, (I ) (II ) .
Пусть
(I)	A1,…,Ai ,…,Aj ,…,Ak ,					, α P ,
(II)	A1,…, Ai + α Aj ,…, Aj ,…,Ak
т.е. последовательность (II) получена из (I) заменой вектора аI
на вектор Ai + α Aj ,			i ≠ j и	1 ≤ i, j ≤ k . Тогда
aS = 0 a1 + …+ 1 aS + …+ 0 aK						при S ≠ I ,
Ai = 0 A1 + …+ 1 (Ai + α Aj ) + …+ (−α ) Aj + …+ 0 Ak ,
Ai	+ α Aj = 0 A1 + …+ 1 Ai + …+ α Aj + …+ 0 Ak .
Отсюда следует, что			(I ) (II ) .
Завершает доказательство индукция по количеству
преобразований и свойство транзитивности. ▲
Координатная строка вектора в данном базисе
Если		Б = a1; a2;…; aN	– базис пространства V над полем P,
A V и					,
A = α1 A1 + α2 A2 + …+ αN AN
A = γ1		A1 + γ2 A2 + …+ γN AN ,
то вычитая почленно из одного равенства другое, получим
(α1 − γ1) a1 + (α2 − γ2 ) a2 + …+ (αN − γN ) aN = θ .
Так как последовательность Б линейно независима, то
α1 − γ1 = 0, α2 − γ2 = 0,…,αN −					γN = 0		или
α1	= γ1, α2 = γ2,…,αN		= γN .
Таким образом, коэффициенты разложения векторов в
произвольном векторном пространстве V по базису Б
определены однозначно.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Координатной строкой (столбцом) вектора
A V		в базисе Б= a1; a2;…; aN				называется такая вектор-
строка (вектор-столбец)						α1

[A]Б = (α1; α2;…; αn )			( [A]Б	T		α
					= 2		),

что						αn

A = α1 A1 + α2 A2 + …+ αN AN .

ЗАМЕЧАНИЕ. Все свойства координатных вектор-строк легко переносятся на координатные вектор-столбцы и обратно. Поэтому достаточно изучить свойства координатных векторстрок или просто координатных строк.

ТЕОРЕМА 12 (о свойствах координатных строк). Пусть V –

конечномерное векторное пространство над полем P,

Б = a1; a2;…; aN

– его базис. Тогда выполняются свойства:

1) θ Б

(

0; 0;…; 0

)

;

[

]

= A

Б ;

2) A + B

+ B

[

]

[

]

[

]

3) α A

= α A

Б ;

[

]

[

]

4) [α A + β B]Б = α [A]Б + β [B]Б ;

5) [α1 B1 + α2 B2 + …+ αk Bk ]Б =

= α1 [B1

]Б

+ α2

[B2

]Б

+ …+ αk [Bk ]Б

и скаляров

для любых векторов A, B, B1, B2,…, BK V

α, β, α1, α2,…,αK P .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) В любом базисе

θ =

0 A1

A2 + …+

0 AN .

Поэтому

(

0; 0;…; 0

)

2) Пусть

[ ]

A =

α1 A1 + α2 A2 + …+ αN AN

B = β1 A1

+ β2

A2 + …+ βN

–

разложение векторов a

и b по базису Б. Тогда

[A]Б =

(α1; α2;…; αn ) ,

[B]Б = (β1; β2;…; βn ) ,

A + B

]Б

α1 + β1

)

A1 +

(

α2 + β2

)

A2 + …+

(

αn + βn

)

[

(

= (α1 + β1; α2 + β2;…; αN + βN ) = (α1; α2;…; αN ) + (β1; β2;…; βN ) =

[

]

[

]

= A Б

Б .

3) α A = (α α1) A1 + (α α2 ) A2 + …+ (α αN ) AN . Поэтому

[α A]Б = (α α1; α α2;…; α αn ) = α (α1; α2;…; αn ) = α [A]Б .

α A + β B =

= α (α1а1 + α2a2 + …+ αNaN ) + β ( β1a1 + β2a2 + …+ βNaN ) =

= (α α1

+ β β1)A1 + (α α2 + β β2 )A2 + ... + (α αN + β βN )AN .

Поэтому

[α A + β B]Б = (α α1 + β β1; α α2 + β β2;…; α αn + β βn ) =

= (α α1; α α2;…; α αN ) + (β β1; β β2;…; β βN ) =

= α (α1; α2;…; αn ) + β (β1; β2;…; βn ) = α [A]Б + β [B]Б .

5) Доказывается индукцией по k, начиная с K = 2 , с

использованием свойства 4). ▲

§2. Подпространства векторного пространства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Непустое подмножество

U векторного пространства V

над полем

называется его подпространством, если U

само является

векторным пространством над полем

ТЕОРЕМА 13 (критерий подпространства). Непустое подмножество U

векторного пространства V над полем P является его

подпространством тогда и только тогда, когда

1) для любых

A,B U

сумма

+ B U ;

2) для любого

A U

и любого

α P произведение α A U .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем, что

U является векторным пространством

над полем

P. Для этого достаточно проверить выполнимость для U

всех аксиом векторного пространства. Из свойства 1) и 2) следует, что сумма и умножение на скаляры являются операциями на множестве U.

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.05.201523.44 Кб428Активные методы обучения.docx
#
24.11.2019111.1 Кб0Акцентуации для студентов.doc
#
18.05.2015670.27 Кб65Алгебра 3 семестр Лекцииi.pdf
#
19.03.20166.39 Mб46Алгебра 7 Мерзляк 2015 непол.pdf
#
18.05.20155.99 Mб193Алгебра лекции 1 семестр.pdf
#
18.05.20156.46 Mб50Алгебра лекции 2 семестр.pdf
#
14.11.2019456.7 Кб295Алкоголь и иные наркотики.doc
#
23.09.201928.89 Кб4АЛЬТЕРНАТИВНАЯ ГРАЖДАНСКАЯ СЛУЖБА.docx
#
18.05.201557.38 Кб92анализ монографии.rtf
#
18.05.201514.52 Кб34Анализ текста.docx
#
19.03.2016614.78 Кб498анализ тихомирова (1).docx