математика
.pdf225. |
Кривой y = 4(cos t + t sin t); x = 4(sin t −t cos t), , |
|
( 0 ≤ t ≤ 2π). |
4 ). |
|
226. |
Кривой y = x3 ( 0 ≤ x ≤ |
|
|
|
3 |
227.Кривой x = −ln(cos y ) , ( 0 ≤ y ≤ π3 ).
228.Кривой x =10 cos3 t , y =10 sin3 t , ( 0 ≤ t ≤ π2 ).
229.Кривой y = ln x , ( 43 ≤ x ≤ 125 ).
230.Кривой x = t − sin t , y =1 −cos t, ( 0 ≤ t ≤ 2π ).
231-240. Вычислить объем тела вращения.
231.Вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y = 2x − x2 , y = 2 − x, x = 0 .
232.Вокруг оси Оy фигуры, ограниченной линиями
y = x2 , y = x2 , y = 4, x ≥ 0 . 4
233.Вокруг оси Оy фигуры, ограниченной линиями y2 = x −1, y = 0, y =1, x = 0,5, x ≥ 0 .
234.Вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y = 2x2 , y2 = 4x .
235.Вокруг оси Оy фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x , y ≥ 0, x =1.
236.Вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями x = 4, y = x , y = 2 x .
237.Вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y = sin x, y = 3 sin x,0 ≤ x ≤ π.
238.Вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями
x = 0,5, y = 0, y = 1, y = x −1 .
41
239. Вокруг оси Оy фигуры, ограниченной линиями
y= 0, y = 2x − x2 .
230.Вокруг оси Оy фигуры, ограниченной линиями x = 2, y = 0, y = x2 .
IV. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Комплексные числа
Комплексным числом называется выражение вида z = x + iy , где x, y – действительные числа; i – мнимая еди-
ница, удовлетворяющая равенству i2 = −1. Такая форма записи комплексных чисел называется алгебраической формой. Число x называется действительной частью числа
z |
и обозначается Re( z ) , а число y – мнимой частью числа |
||
z |
и обозначается |
Im( z ). Действительное число является |
|
частным |
случаем |
комплексного числа при y = 0 . Числа |
|
z = x + iy |
и z = x −iy называются сопряженными. Два ком- |
плексных числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части.
Арифметические операции над комплексными числа-
ми:
Пусть даны два комплексных числа z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 .
1.Суммой ( разностью) двух комплексных чисел называется комплексное число z1 ± z2 = ( x1 ± x2 ) + i( y1 ± y2 ) .
2.Произведением комплексных чисел называется ком-
плексное число z1 z2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i( x1 y2 + x2 y1 ) .
42
3. Частным двух комплексных чисел называется ком-
плексное число |
z1 |
= |
(x1 x2 + y1 y2 ) +i(x2 y1 − x1 y2 ) |
. |
||
z2 |
|
|||||
|
|
x2 |
2 + y2 |
2 |
|
Примечание. Надо заметить, что запоминать эту формулу не стоит. При делении двух комплексных чисел достаточно домножить числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Этот алгоритм решения продемонстрирован на примере.
Пример
Даны два комплексных числа z1 = 2 + 5i и z2 = 3 − 4i .
Найти z1 ± z2 , z1 z2 , z1 . z2
Решение
z1 + z2 = 2 + 3 + i( 5 − 4 ) = 5 + i .
z1 − z2 = ( 2 − 3 ) + i( 5 + 4 ) = −1 + 9i .
z z |
2 |
= ( 2 + |
5i )( 3 − 4i ) = 6 +15i −8i − 20i2 = 26 + 7i . |
||||
1 |
|
|
|
|
|
||
z1 |
|
= |
2 +5i |
= |
( 2 +5i )( 3 + 4i ) |
= |
|
z2 |
3 − 4i |
( 3 − 4i )( 3 + 4i ) |
|||||
|
|
|
= |
6 +15i +8i + 20i2 |
= |
−14 + 23i |
= −0,56 |
+ 0,92i . |
||
9 |
−16i2 |
25 |
|||||
|
|
|
|
||||
Комплексное число |
z = x + iy изображается в плоско- |
сти Oxy точкой М(x, y) либо вектором, начало которого находится в точке О(0,0), а конец – в точке М(x, y) . Длина
43
вектора ОМ называется |
модулем комплексного числа и |
обозначается r = z = x2 |
+ y2 . |
Ось Ox, на которой расположены действительные числа, называется действительной осью, а ось Oy, где располагаются мнимые числа, – мнимой осью (рис. 9).
y |
|
|
|
y |
|
M(x,y) |
|
r |
|
||
|
|
||
|
ϕ |
x |
|
0 |
x |
||
|
|||
|
Рис. 9 |
|
Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
Угол, образованный радиус-вектором OМ с осью Ox,
называется аргументом комплексного числа и обозначается arg z . Аргумент комплексного числа ϕ находится из фор-
мул sinϕ = xr , cosϕ = ry , tgϕ = xy . Так как главное значе-
ние аргумента удовлетворяет условию −π <ϕ ≤ π , то из формулы tgϕ = xy получаем, что
44
|
y |
|
|
|
arctg |
|
, |
x > 0, |
|
x |
||||
|
|
|
||
y |
|
|
||
|
|
|
||
arg z = arctg |
|
+π, |
x < 0, y ≥ 0, |
|
x |
||||
|
|
|
||
|
y |
|
|
|
arctg |
|
−π, |
x < 0, y < 0. |
|
x |
||||
|
|
|
Из рис. 9 очевидно, что x = r cosϕ, y = r sinϕ , откуда
комплексное число можно представить в виде
z = r(cosϕ +i sinϕ ) . Такая форма комплексного числа на-
зывается его тригонометрической формой.
Кроме того, комплексное число можно записать в по-
казательной форме z = reiϕ .
Пример
Решить данное уравнение и представить его корни в алгебраической, тригонометрической и показательной формах. Изобразить их на комплексной плоскости.
z2 − 2z + 4 = 0 .
Решение
Ищем корни квадратного уравнения
z2 + 2z + 4 = 0 ,
z1,2 = |
− 2 ± |
4 −16 = |
− 2 ± 2 |
3i = 1 ± 3i . |
|
2 |
2 |
|
|
Имеем два комплексных числа, записанных в алгеб- |
||||
раической |
форме |
z1 = 1 + |
3i , z2 |
= 1 − 3i . Запишем эти |
числа в двух других формах. Для этого найдем их модули и аргументы:
45
z |
1 |
= 1 + 3i ; z |
= |
1 + 3 = 2 ; arg z |
1 |
= arctg |
3 = π . |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= 2(cos( π ) +i sin( |
π |
|
|
|
|
|
||
Тогда z1 |
π )) = 2e 3 i . |
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Аналогично, |
для |
|
второго |
числа |
z2 |
= 1 − 3i , |
||||
z2 = |
|
1 + 3 = 2 , arg z2 = arctg − 3 |
= − |
π . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
Откуда |
z2 = 2(cos( − |
π ) +i sin( − π )) = 2e−π3 i . |
|
|
||||||
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
Изобразим эти корни на рисунке (рис. 10).
y
Z1 π
3
x 0
− π
Z2 3
Рис. 10
Кроме того, приведем формулы возведения в степень комплексных чисел ( формула Муавра), а также извлечения корней из них.
zn = rn (cos nϕ + i sin nϕ ) ;
46
n z = n |
r(cos ϕ + 2πk |
+i sin ϕ + 2πk |
), |
|
||||||
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
где k = 0,1,2,...,n −1 . |
|
|
|
|
|
|
||||
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( i −1) |
4 |
π i |
+ 4 |
|
|
− 2π |
+ i sin |
− 2π |
||
|
+ 4e 6 |
3 cos |
3 |
3 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ записать в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.
Решение
Представим данное выражение в виде суммы трех
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
комплексных |
|
чисел: |
z1 |
4 = ( i −1)4 ; |
z2 = 4e 6 i ; |
|||||||
z3 = 4 |
3(cos − 2π |
+ i sin − 2π ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем данные числа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z1 |
|
= (−1 + i) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
= 1 +1 = |
2 , ϕ = arctg |
|
1 |
|
+π = −π +π = |
3π |
. |
|||
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
−1 |
4 |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда z1 |
4 = ( |
2 )4 (cos |
3π 4 |
|
+i sin 3π 4 ) = |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
= 4(cos( π) +i sin( π)) = −4 .
47
|
π |
|
π |
|
|
π ) = 2 3 + 2i . |
|
|
|
z2 |
= 4e 6 i = 4(cos |
+ i sin |
|
|
|
||||
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
z3 |
= 4 3(cos |
− 2π |
+i sin |
− 2π ) = 4 3( − |
1 |
− |
3i ) = |
||
|
|
3 |
|
|
|
3 |
2 |
|
2 |
= −2 3 −6i .
z = z14 + z2 + z3 = −4 + 2 3 + 2i − 2 3 −6i = −4 −4i .
Мы нашли алгебраическую форму данного выражения. Запишем тригонометрическую и показательную формы:
z= 16 +16 = 4 2 ;
ϕ= arctg −−44 −π = π4 −π = − 34π .
Окончательно имеем
z = −4 −4i = 4 2e− |
3π |
i = 4 2(cos(− |
3π ) +i sin(− |
3π )) . |
4 |
||||
|
|
|
4 |
4 |
Осталось изобразить это число на комплексной плоскости (рис.11).
y
x 0
ϕ
Z
Рис. 11.
48
2.Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальным уравнением называется уравне-
ние, связывающее независимую переменную x , искомую функцию y и производные этой функции. Общий вид диф-
ференциального уравнения F(x, y, y′, y′′,..., y(n) ) = 0 . Поря-
док n старшей производной, входящей в уравнение, назы-
вается порядком дифференциального уравнения. Решением дифференциального уравнения называется функция y = f ( x ) , которая при подстановке ее в это уравнение об-
ращает его в верное тождество.
Рассмотрим уравнения первого порядка F( x, y, y′) = 0 .
Будем рассматривать уравнения, которые можно разрешить относительно производной y′, то есть записать в виде
y′ = f ( x, y ) . Общим решением уравнения первого порядка называется функция y =ϕ( x,C ) , которая удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению при любом С, при этом найдется такое С0 , что функция y =ϕ( x,C0 ) удовлетворяет данному начальному условию y( x0 ) = y0 . Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y =ϕ( x,C0 ) ,
которая получается из общего решения, если произвольной постоянной С придать определенное значение C = C0 . Гео-
метрически общее решение y =ϕ( x,C ) представляет собой семейство интегральных кривых на координатной плоскости. Кривая семейства, проходящая через точку M 0 ( x0 , y0 ) ,
представляет график частного решения y =ϕ( x,C0 ) . Рас-
смотрим три типа дифференциальных уравнений первого порядка.
49
2.1.Уравнения с разделяющимися переменными
Такое уравнение может быть представлено в виде dydx = f ( x )g( y ) . Для решения такого уравнения его следует
преобразовать к виду, в котором дифференциал и функция переменной x окажутся в одной части равенства, а переменной y – в другой. Затем проинтегрируем обе части полученного равенства и придем к решению уравнения.
Пример
Решить уравнение 1 + y2 = xyy′.
Решение
Представим y′ = dydx и подставим в исходной уравне-
ние 1 + y2 = xy dydx . Разделим переменные. Для этого ум-
ножим обе части уравнения на dx , разделим на х, 1 + y2 и
получим |
|
dx |
= |
ydy . |
Интегрируя, |
получим |
|
|
|
|
x |
|
1 + y2 |
|
|
∫dx |
= |
∫ |
ydy |
2 |
, ln x = |
1 + y2 + C . При этом, если инте- |
|
x |
|
|
1 + y |
|
|
|
|
грал в левой части был табличным, то второй интеграл можно было вычислить отдельно:
ydy |
|
u =1 + y2 |
1 du |
|
2 |
|
1 |
|
|||
= |
= |
u 2 |
+ C = |
||||||||
|
= |
1 |
|
|
|||||||
∫ 1 + y2 |
|
du = 2 ydy |
2 ∫u |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
= 1 + y2 +C .
50