Математика
.pdf
131-140. Дана функция y = f (x) . Записать уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x = x0 . Сделать чертеж.
131. |
y = 4 − (x −1)2 , x0 |
= 0. |
136. |
y = x +1, |
x0 = 3 . |
|||||||||
132. |
y = |
(x +1)2 |
− 3, x0 |
= 3. |
137. |
y = 2 x − 3, x0 = 4 . |
||||||||
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
133. |
y = x2 − 4x, |
x0 = 3. |
138. |
y = ln(x +1), x0 = 0 . |
||||||||||
134. |
y = 2 − x2 , |
|
x0 =1. |
139. |
y = x3 , |
x0 |
= −1. |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ 4x |
|
||
135. |
y = − |
|
, |
x0 |
= −2 . |
140. |
y = |
|
, x0 = −1. |
|||||
x |
|
|||||||||||||
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
141-150. Найти y′′ |
функции y = f (x) и y′x |
функции, задан- |
||||||||||||
|
ной параметрически x =ϕ(t), |
y =ψ(t) . |
|
|||||||||||
141.y = x2 e3x ;
142.y = x e−2 x ;
143.y = e3x ;
|
|
x |
|
||
144. |
|
x |
|
|
|
y = ln 2x ; |
|
||||
|
|
||||
145. |
y = |
ln(1 + x) |
; |
||
x |
|||||
|
|
|
|||
146.y = x cos3x ;
147.y = x sin 2x ;
x = cos 4t, |
y = 3t 2 −t . |
|||||
x = tg t, y = t 3 − 4t . |
||||||
x = sin 3t, |
y = cost +t . |
|||||
x = t 3 + et , |
y = cos |
t |
−t . |
|||
|
||||||
|
|
2 |
|
|||
x = ctg t, |
y = e3t |
−t 2 . |
||||
x = ln t 2 , |
y = sin |
t |
+ 2 . |
|||
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
x = 1 −t , |
y = e−2t . |
|||||
71
148. |
|
ln x |
|
|
|
2 |
|
||
y = x +1 ; |
x = arcsin t, |
y =1 −t . |
|||||||
|
|||||||||
149. |
y = e−2 x sin x ; |
x = arccos t, |
y = e−3t+1 . |
||||||
150. |
|
−x |
4 |
2 |
|
5t |
|||
y = e cos 2x ; |
|
|
|
|
|
||||
x = t |
−t , |
y = sin 2 . |
|||||||
|
|||||||||
151-160. Найти пределы по правилу Лопиталя.
151. |
lim ln(1 + sin x); |
|
|||||||||
|
x→0 |
sin 4x |
|
|
|
|
|
||||
152. |
lim |
3x2 −5x ; |
|
|
|
|
|
||||
|
x→0 |
sin 3x |
|
|
|
|
|
||||
153. |
lim |
2x |
|
−1 |
; |
|
|
|
|
||
ln(1 + 2x) |
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|||||
154. |
lim |
2xsin x |
; |
|
|
|
|||||
1 − cos 2x |
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|||||
155. |
lim |
1 − cos10x |
; |
|
|
||||||
e |
x |
2 |
−1 |
|
|
|
|
||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
156. |
lim |
tgx − x |
; |
|
|
|
|
||||
sin x − x2 |
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|||||
157. |
lim |
x + 2 − |
|
|
2 |
; |
|||||
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
||||
158. |
lim |
ln(1 − 7x) |
|
|
; |
||||||
sin(π(x + 7)) |
|||||||||||
|
x→0 |
|
|||||||||
lim x2 −1 . x→1 ln x
lim |
2x −16 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
sinπ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
1 − x2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sinπ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
|
tgπ x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→−2 |
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
|
x3 + 4x2 +5x + 2 |
. |
||||||||||
|
x3 −3x − |
2 |
|
|
|||||||||
x→−1 |
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
|
x3 −3x + 2 |
|
|
|
. |
|
|
||||
|
x3 − x2 − x +1 |
|
|
||||||||||
x→1 |
|
|
|
||||||||||
lim |
|
x3 − 2x −1 |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→−1 x4 + 2x +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
x2 + 3x + 2 |
|
. |
|
||||||||
|
x3 + 2x2 − x − 2 |
|
|||||||||||
x→−1 |
|
|
|
||||||||||
72
159. |
lim |
9 ln(1 − 2x); |
|
|
x→0 |
4arctg3x |
|
160. |
lim |
arcsin 3x |
; |
|
x→0 |
2 + x − |
2 |
lim |
x3 |
−3x − 2 |
|
. |
|
x2 |
+ 2x +1 |
||||
x→−1 |
|
||||
lim |
x3 |
−3x − 2 |
|
. |
|
|
x + x2 |
||||
x→−1 |
|
|
|||
161-170. Провести полное исследование функций и построить их графики. Для первой функции найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке [a; b].
161. |
y = 2x3 +3x2 , |
[− 2; |
1]; |
|
||||
162. |
y = 4x3 −3x4 , |
[−1; |
2]; |
|
||||
163. |
y = 3x2 − 2x3 −1, |
|
[−1; |
2]; |
||||
164. |
3 |
1 |
4 |
[ |
− |
4; 1]; |
|
|
y = x + 4 x , |
|
|||||||
|
|
|
||||||
165. |
y = x3 −3x2 , |
[−1; |
3]; |
|
||||
166. |
y = 3x4 |
− 4x3 +1, |
|
|
[−1; |
2]; |
||
167. |
y = 3 + 2x2 |
− x4 , |
|
[− 2; |
2]; |
|||
168. |
y = 2x3 + 3x2 −1, |
|
[− 2; |
1]; |
||||
y= x3 −1 . x4
y = 1 −x3x4 . y = 2x−2 x .
y = (x −3)2 . x
y= x2 −1 . x2 +1
y = |
|
|
x2 |
. |
|
1 |
− x |
||||
|
|
||||
y= (x +1)2 . x2
y= x +1 2 .
x −1
73
169. |
y = x3 −3x + 2, |
|
[− 2; 2]; |
y = |
x |
. |
|||||
|
(x +1)2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
170. |
y = |
1 |
(12x − x |
3 |
), |
[−3; 1]; |
y = |
|
x2 |
|
|
8 |
|
|
. |
|
|||||||
|
x + 2 |
|
|||||||||
Вопросы к экзамену
1.Матрицы и действия над ними.
2.Определители и способы их вычисления.
3.Решение системы линейных уравнений методом Крамера.
4.Решение систем линейных уравнений матричным способом.
5.Понятие вектора. Линейные операции над векторами.
6.Скалярное произведение векторов.
7.Векторное произведение векторов.
8.Смешанное произведение векторов.
9.Условия коллинеарности, перпендикулярности и компланарности векторов.
10.Уравнения плоскости.
11.Уравнения прямой в пространстве.
12.Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола.
13.Полярная система координат.
14.Определение функции, области определения и ее графика.
15.Основные элементарные функции и их графики.
16.Правила построения графиков путем преобразований.
17.Понятие предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
18.Понятие непрерывной функции и точек разрыва функции.
19.Определение производной. Ее геометрический смысл.
74
20.Уравнение касательной к графику функции.
21.Правила нахождения производной и таблица производных.
22.Определение возрастающей и убывающей функции, правила нахождения интервалов возрастания и убывания.
23.Нахождение максимума и минимума функции.
24.Определение выпуклости(вогнутости) графика функции, точки перегиба.
25.Асимптоты графика функции.
26.Правило Лопиталя.
27.План полного исследования функции.
Библиографический список
1.Высшая математика для экономистов: Учеб. для вузов / Под ред. Крамера Н.Ш. – М.: ЮНИТИ, 2000.
2.Высшая математика: Метод. руководство / А.Р. Данилин, И.Я. Кац. –УрГУПС, Екатеринбург, 2002.
3.Высшая математика: Метод. руководство / В.И.Белугин, Т.В.Величко, Э.Е.Поповский.– УрГУПС, Екатеринбург, 2002.
4.Конспект лекций по высшей математике: Учебн.для ву- зов /Д.Т.Письменный.–М. Рольф, 2001.
75
|
Оглавление |
|
ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................. |
3 |
|
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И РЕКОМЕНДАЦИИ |
||
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ................................. |
4 |
|
I. ЭЛЕМЕНТЫВЕКТОРНОЙАЛГЕБРЫ ИАНАЛИТИЧЕСКОЙ |
|
|
ГЕОМЕТРИИ............................................................................................ |
4 |
|
1. |
Матрицы и действия с ними.......................................................... |
4 |
2. |
Определители.................................................................................. |
5 |
3.Системы линейных уравнений......................................................... |
8 |
|
4. |
Векторная алгебра........................................................................ |
12 |
5. |
Уравнения плоскости и прямой в пространстве...................... |
16 |
6. |
Линии второго порядка ................................................................ |
20 |
7. |
Уравнения линий в полярной системе координат...................... |
23 |
Задания для контрольной работы №1 ............................................ |
26 |
|
II. ВВЕДЕНИЕВМАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ............................ |
29 |
|
1. |
Функции и их графики................................................................... |
29 |
2. |
Предел функции............................................................................. |
39 |
3. |
Непрерывность функции.............................................................. |
44 |
Задания для контрольной работы № 2 ........................................... |
47 |
|
III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕИСЧИСЛЕНИЕФУНКЦИИОДНОЙ |
|
|
ПЕРЕМЕННОЙИЕГОПРИЛОЖЕНИЯ ............................................. |
54 |
|
1. |
Производная................................................................................... |
54 |
2. |
Производные высших порядков.................................................... |
60 |
3. |
Производные функций, заданных параметрически.................... |
61 |
4. |
Вычисление пределов по правилу Лопиталя................................ |
62 |
5. |
Исследование функций и построение графиков......................... |
63 |
Задания для контрольной работы №3 ............................................ |
70 |
|
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ .................................................................... |
74 |
|
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.................................................. |
75 |
|
76
Ирина Николаевна Пирогова Эдуард Евгеньевич Поповский Надежда Олеговна Борисова
Высшая математика
Методическое руководство по дисциплине «Высшая математика»
для студентов заочной формы обучения технических
специальностей (6,5 лет обучения)
В четырех частях
Часть I
Редактор С.В. Пилюгина
620034, Екатеринбург, ул. Колмогорова 66, УрГУПС Редакционно-издательский отдел
|
Подписано в печать |
|
|
|
Бумага писчая №1 |
Формат 60х84 |
1/16 |
Усл.п.л. |
|
Уч.-изд.л. |
Тираж |
Цена договорная |
Заказ |
|