ПВ_2
.pdfЛабораторная работа 2.
Задача:
По 21 региону страны изучается зависимость розничной продажи компьютеров y от среднедушевого дохода в месяц, x.
Таблица 1
№ региона |
Средний доход (руб), X |
Продажа компьютеров (шт), Y |
1 |
11200 |
28000 |
2 |
9600 |
21300 |
3 |
8400 |
21000 |
4 |
10400 |
23300 |
5 |
6800 |
15800 |
6 |
10000 |
21900 |
7 |
9600 |
20000 |
8 |
10400 |
22000 |
9 |
11200 |
23900 |
10 |
10400 |
26000 |
11 |
10400 |
24600 |
12 |
10000 |
21000 |
13 |
11600 |
27000 |
14 |
10400 |
21000 |
15 |
8800 |
24000 |
16 |
10400 |
34000 |
17 |
13200 |
31900 |
18 |
15600 |
33000 |
19 |
18400 |
35400 |
20 |
14800 |
34000 |
21 |
13600 |
31000 |
Задание
1.Постройте поле корреляции.
2.Рассчитайте параметры уравнений следующих парных регрессий:
a.линейной,
b.степенной,
c.экспоненциальной,
d.логарифмической,
e.гиперболической.
3.Оцените тесноту связи с помощью коэффициента корреляции (для линейной модели) и индекса корреляции (для нелинейных моделей). Найдите коэффициент детерминации.
4.С помощью среднего (общего) коэффициента эластичности дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5.Качество уравнений оцените с помощью средней ошибки аппроксимации.
6.Результаты вычислений оформите в виде таблицы. Выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.
7.Изобразите графики полученных зависимостей. Проверьте полученные результаты с помощью сервиса Excel Линия тренда.
1.Поле корреляции.
|
|
Объем продаж, Y |
|
|
|
|
40000 |
|
|
|
|
продаж |
35000 |
|
|
|
|
30000 |
|
|
|
|
|
25000 |
|
|
|
|
|
20000 |
|
|
|
|
|
Объем |
|
|
|
|
|
15000 |
|
|
|
|
|
10000 |
|
|
|
|
|
5000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
5000 |
10000 |
15000 |
20000 |
|
|
|
Средний доход |
|
|
a. Линейная парная регрессия.
Для вычислений удобно использовать следующую таблицу. Таблица 2.
№ |
Средний |
Объем |
|
|
|
|
|
|
|
|
доход, |
продаж, |
Xi^2 |
Yi^2 |
XiYi |
Yi* |
|Yi-Yi*|/Yi |
(Yi-Yср)^2 |
(Yi-Yi*)^2 |
||
региона |
||||||||||
Xi |
Yi |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
11200 |
28000 |
125440000 |
784000000 |
313600000 |
25719,048 |
0,0814626 |
5202743,8 |
5202743,8 |
|
|
|
|||||||||
2 |
9600 |
21300 |
92160000 |
453690000 |
204480000 |
22870,2 |
0,0737183 |
19527982 |
2465527,1 |
|
|
|
|||||||||
3 |
8400 |
21000 |
70560000 |
441000000 |
176400000 |
20733,564 |
0,0126874 |
22269410 |
70988,276 |
|
|
|
|||||||||
4 |
10400 |
23300 |
108160000 |
542890000 |
242320000 |
24294,624 |
0,0426877 |
5851791,4 |
989276,22 |
|
|
|
|||||||||
5 |
6800 |
15800 |
46240000 |
249640000 |
107440000 |
17884,716 |
0,131944 |
98387506 |
4346040,1 |
|
|
|
|||||||||
6 |
10000 |
21900 |
100000000 |
479610000 |
219000000 |
23582,412 |
0,0768225 |
14585125 |
2830509 |
|
|
|
|||||||||
7 |
9600 |
20000 |
92160000 |
400000000 |
192000000 |
22870,2 |
0,14351 |
32707506 |
8238046,3 |
|
|
|
|||||||||
8 |
10400 |
22000 |
108160000 |
484000000 |
228800000 |
24294,624 |
0,1043011 |
13831315 |
5265297,7 |
|
|
|
|||||||||
9 |
11200 |
23900 |
125440000 |
571210000 |
267680000 |
25719,048 |
0,0761108 |
3308934,2 |
3308934,2 |
|
|
|
|||||||||
10 |
10400 |
26000 |
108160000 |
676000000 |
270400000 |
24294,624 |
0,0655914 |
78934,24 |
2908308,5 |
|
|
|
|||||||||
11 |
10400 |
24600 |
108160000 |
605160000 |
255840000 |
24294,624 |
0,0124137 |
1252267,6 |
93254,712 |
|
|
|
|||||||||
12 |
10000 |
21000 |
100000000 |
441000000 |
210000000 |
23582,412 |
0,122972 |
22269410 |
6668850,1 |
|
|
|
|||||||||
13 |
11600 |
27000 |
134560000 |
729000000 |
313200000 |
26431,26 |
0,0210645 |
1640839 |
323465,64 |
|
|
|
|||||||||
14 |
10400 |
21000 |
108160000 |
441000000 |
218400000 |
24294,624 |
0,1568868 |
22269410 |
10854545 |
|
|
|
15 |
8800 |
24000 |
77440000 |
576000000 |
211200000 |
21445,776 |
0,106426 |
2955124,7 |
6524061,6 |
|
|
||||||||
16 |
10400 |
34000 |
108160000 |
1156000000 |
353600000 |
24294,624 |
0,2854522 |
68574172 |
94194330 |
|
|
||||||||
17 |
13200 |
31900 |
174240000 |
1017610000 |
421080000 |
29280,108 |
0,0821283 |
38204172 |
6863836,6 |
|
|
||||||||
19 |
15600 |
33000 |
243360000 |
1089000000 |
514800000 |
33553,379 |
0,0167691 |
53012268 |
306228,78 |
|
|
||||||||
20 |
18400 |
35400 |
338560000 |
1253160000 |
651360000 |
38538,863 |
0,0886685 |
93720839 |
9852462,7 |
|
|
||||||||
21 |
14800 |
34000 |
219040000 |
1156000000 |
503200000 |
32128,955 |
0,0550307 |
68574172 |
3500807,7 |
|
|
||||||||
22 |
13600 |
31000 |
184960000 |
961000000 |
421600000 |
29992,32 |
0,0325058 |
27888458 |
1015420 |
|
|
||||||||
Сумма |
235200 |
540100 |
2,773E+09 |
14506970000 |
6,296E+09 |
540100 |
1,7891533 |
616112381 |
175822934 |
● Для расчета параметров a и b линейной регрессии y* a bx
воспользуемся формулами
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
cov(X,Y ) |
, |
a |
y |
bx |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
yi |
|
|
|
xi2 |
|
|
|
Dx |
|
yi2 |
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
yi |
|
|
|
|||||||||||||||
где |
x |
n |
, |
y |
|
n |
, Dx |
|
x |
|
, Dy |
|
|
|
|
y |
|
|
, cov(X,Y) |
n |
|
xy. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
235200 |
11200; |
|
|
y |
|
540100 |
25719,05; |
Dx |
|
2,773E 09 |
-112002 |
6613333, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
21 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cov(X,Y) |
6,296E 09 |
11200 25719,05 11775238, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
11775238 |
1,781; |
|
a 25719,05 1,781 11200 5777. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
661333 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение регрессии будет иметь вид
y* 5777 1,781x.
Данное уравнение показывает, что с увеличением среднедушевого денежного дохода в месяц на 1 тыс. руб. доля розничных продаж компьютеров повышается в среднем на 1781 шт.
● Найдем коэффициент корреляции и коэффициент детерминации по формулам
r |
cov(X,Y |
) |
, R2 |
1 |
ост . |
|
|
|
|||||
|
|
DxDy |
|
общ |
||
Получаем |
|
|
Dy 14506970000 25719,052 29338685, 21
r |
|
11775238 |
|
0,845355, |
R2 1 |
175822934 |
|
0,714625. |
|
|
|
|
|||||
|
|
6613333 29338685 |
|
|
616112381 |
|
Полученный результат означает, что 71,4% вариации результативного признака (розничная продажа компьютеров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.
|
● Вычислим средний коэффициент эластичности по формуле |
|
|
|||||
|
|
|
E(x) |
bx . |
|
|
|
|
Получаем |
|
|
a bx |
|
|
|
||
|
1,781 11200 |
|
|
|
|
|||
|
|
E |
0,7753761. |
|
|
|
||
|
|
5777 1,781 11200 |
|
|
|
|||
Коэффициент эластичности показывает, что объем продаж компьютеров |
|
|||||||
увеличится на 0,78% по сравнению со средним объемом продаж, если |
|
|
||||||
среднедушевой доход увеличится на 1% от своего среднего значения. |
|
|
||||||
|
● Вычислим среднюю ошибку аппроксимации по формуле |
|
|
|||||
|
|
|
A 1 |
| yi yi* |100%. |
|
|
|
|
Получаем |
|
n |
yi |
|
|
|
||
|
1 1,7891533 100% 8,52%. |
|
|
|
||||
|
|
A |
|
|
|
|||
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
Качество построенной модели |
оценивается как хорошее, |
так как |
A |
не |
||||
превышает 10%. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
● Построим график полученной зависимости на том же рисунке, на |
|
||||||
котором построено поле корреляции. Для этого нужно добавить ряд данных |
||||||||
xi , yi* . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линейная регрессия y = 1,7805x + 5777,1 |
|
|
|
|||
|
50000 |
|
|
|
|
|
|
|
продаж |
40000 |
|
|
|
|
|
|
|
30000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объем |
20000 |
|
|
|
|
|
|
|
10000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
5000 |
|
10000 |
15000 |
20000 |
|
|
|
|
|
Средний доход |
|
|
|
b. Cтепенная парная регрессии.
Для расчета параметров a и b степенной парной регрессии y axb
необходимо выполнить линеаризацию переменных. Линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:
lg y lga blg x, y c bx ,
|
где c lga, |
y lg y, |
|
x lg x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Таким образом, задача сводится к отысканию параметров с и b уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
линейной регрессии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Для вычислений удобно использовать следующую таблицу. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Таблица 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
№ |
Средний |
Объем |
|
X'i |
|
|
|
|
y'i |
|
|
|
|
X'i^2 |
|
|
Y'i^2 |
|
|
|
X'iY'i |
|
|
|
|
Yi* |
|
|
|Yi-Yi*|/Yi |
|
(Yi-Yср)^2 |
(Yi-Yi*)^2 |
|||||||||||||
доход, |
продаж, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
региона |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Xi |
|
Yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
11200 |
28000 |
|
4,049218 |
|
4,447158 |
|
16,39617 |
|
19,77721 |
|
|
18,00751 |
|
25670,716 |
|
|
0,083188701 |
5202743,76 |
5425562,21 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
9600 |
21300 |
|
3,982271 |
|
|
4,32838 |
|
15,85848 |
|
18,73487 |
|
|
17,23678 |
|
22561,022 |
|
|
0,059202931 |
19527981,9 |
1590177,59 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
8400 |
21000 |
|
3,924279 |
|
4,322219 |
|
15,39997 |
|
18,68158 |
|
|
16,9616 |
|
20173,477 |
|
|
0,039358243 |
22269410,4 |
683140,438 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
10400 |
23300 |
|
4,017033 |
|
4,367356 |
|
16,13656 |
|
19,0738 |
|
|
17,54381 |
|
24125,587 |
|
|
0,035432935 |
5851791,38 |
681594,518 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
6800 |
15800 |
|
3,832509 |
|
4,198657 |
|
14,68812 |
|
17,62872 |
|
|
16,09139 |
|
16900,814 |
|
|
0,069671748 |
98387505,7 |
1211790,62 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
10000 |
21900 |
|
|
|
4 |
|
4,340444 |
|
16 |
|
18,83946 |
|
|
17,36178 |
|
23345,845 |
|
|
0,066020339 |
14585124,7 |
2090468,96 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
9600 |
20000 |
|
3,982271 |
|
|
4,30103 |
|
15,85848 |
|
18,49886 |
|
|
17,12787 |
|
22561,022 |
|
|
0,128051122 |
32707505,7 |
6558835,92 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
10400 |
22000 |
|
4,017033 |
|
4,342423 |
|
16,13656 |
|
18,85663 |
|
|
17,44366 |
|
24125,587 |
|
|
0,096617608 |
13831315,2 |
4518121,7 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
11200 |
23900 |
|
4,049218 |
|
4,378398 |
|
16,39617 |
|
19,17037 |
|
|
17,72909 |
|
25670,716 |
|
|
0,074088551 |
3308934,24 |
3135436,47 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
10 |
10400 |
26000 |
|
4,017033 |
|
4,414973 |
|
16,13656 |
|
19,49199 |
|
|
17,7351 |
|
24125,587 |
|
|
0,072092793 |
78934,2404 |
3513422,68 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
10400 |
24600 |
|
4,017033 |
|
4,390935 |
|
16,13656 |
|
19,28031 |
|
|
17,63853 |
|
24125,587 |
|
|
0,019285066 |
1252267,57 |
225067,337 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
10000 |
21000 |
|
|
|
4 |
|
4,322219 |
|
16 |
|
18,68158 |
|
|
17,28888 |
|
23345,845 |
|
|
0,111706924 |
22269410,4 |
5502990,71 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
13 |
11600 |
27000 |
|
4,064458 |
|
4,431364 |
|
16,51982 |
|
19,63698 |
|
|
18,01109 |
|
26436,504 |
|
|
0,020870213 |
1640839 |
317527,465 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
14 |
10400 |
21000 |
|
4,017033 |
|
4,322219 |
|
16,13656 |
|
18,68158 |
|
|
17,3625 |
|
24125,587 |
|
|
0,148837494 |
22269410,4 |
9769296,45 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
15 |
8800 |
24000 |
|
3,944483 |
|
4,380211 |
|
15,55894 |
|
19,18625 |
|
|
17,27767 |
|
20975,122 |
|
|
0,126036587 |
2955124,72 |
9149887,47 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
16 |
10400 |
34000 |
|
4,017033 |
|
4,531479 |
|
16,13656 |
|
20,5343 |
|
|
18,2031 |
|
24125,587 |
|
|
0,290423901 |
68574172,3 |
97504024,6 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
17 |
13200 |
31900 |
|
4,120574 |
|
4,503791 |
|
16,97913 |
|
20,28413 |
|
|
18,5582 |
|
29458,497 |
|
|
0,076536157 |
38204172,3 |
5960938,89 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
19 |
15600 |
33000 |
|
4,193125 |
|
4,518514 |
|
17,58229 |
|
20,41697 |
|
|
18,94669 |
|
33883,166 |
|
|
|
0,0267626 |
53012267,6 |
779981,85 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
20 |
18400 |
35400 |
|
4,264818 |
|
4,549003 |
|
18,18867 |
|
20,69343 |
|
|
19,40067 |
|
38908,02 |
|
|
0,099096611 |
93720839 |
12306204,5 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
21 |
14800 |
34000 |
|
4,170262 |
|
4,531479 |
|
17,39108 |
|
20,5343 |
|
|
18,89745 |
|
32421,452 |
|
|
0,046427871 |
68574172,3 |
2491812,54 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
22 |
13600 |
31000 |
|
4,133539 |
|
4,491362 |
|
17,08614 |
|
20,17233 |
|
|
18,56522 |
|
30204,45 |
|
|
0,025662906 |
27888458 |
632899,935 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Сумма |
235200 |
540100 |
84,81322 |
|
92,41361 |
342,7228 |
406,8557 |
|
|
373,3886 |
|
537270,19 |
|
|
1,715371301 |
616112381 |
174049183 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
● Рассчитаем с и b, для чего воспользуемся формулами |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
cov(X ,Y ) |
, |
c |
y |
bx |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
yi |
|
|
|
|
|
Dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xi )2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
(yi )2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
где x |
|
y |
|
, Dx |
|
|
, |
Dy |
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
, |
|
|
n |
|
|
|
(x ) |
|
n |
|
(y ) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
xi yi |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
cov(X |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
,Y ) |
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n
Получаем
x |
|
84,81322 |
4,038725; |
y |
|
92,41361 |
4,400648; |
|||
|
|
21 |
||||||||
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|||
Dx |
|
342,7228 |
-4,0387252 |
0,008835, |
||||||
|
||||||||||
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
cov(X ,Y ) 373,3886 4,038725 4,400648 0,007401, 21
b 0,007401 0,837668; c 4,400648 0,837668 4,038725 1,017536.
0,008835
Получим линейное уравнение:
y 1,017536 0,837668x .
Выполнив его потенцирование, получим:
10y 101,017536100,837668x , y* 10,41204x0,837668 .
● Найдем индекс корреляции и коэффициент детерминации по формулам
r 1 ост , R2 r2 .
общ
Получаем
r 1 174049183 0,847056, R2 0,717504.
616112381
Полученный результат означает, что 71,7% вариации результативного признака (розничная продажа компьютеров, у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц.
● Коэффициент эластичности для степенной функции является постоянным и равен b, т.е.
E(x) E(x) b 0,837668.
Коэффициент эластичности показывает, что объем продаж компьютеров увеличится на 0,84% по сравнению со средним объемом продаж, если среднедушевой доход увеличится на 1% от своего среднего значения.
● Вычислим среднюю ошибку аппроксимации по формуле
A1 | yi yi* |100%. n yi
Получаем
A 1 1,715371301 100% 8,17%. 21
Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как A не превышает 10%.
|
● Построим график полученной зависимости на том же рисунке, на |
||||
котором построено поле корреляции. Для этого нужно добавить ряд данных |
|||||
xi , yi* . |
|
|
|
|
|
|
|
Степенная регрессия y = 10,412x0,8377 |
|
||
|
60000 |
|
|
|
|
продаж |
50000 |
|
|
|
|
40000 |
|
|
|
|
|
30000 |
|
|
|
|
|
Объем |
|
|
|
|
|
20000 |
|
|
|
|
|
10000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
5000 |
10000 |
15000 |
20000 |
|
|
|
Средний доход |
|
|
c. Экспоненциальная парная регрессия.
Для расчета параметров a и b экспоненциальной парной регрессии y abx
необходимо выполнить линеаризацию переменных. Линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:
|
|
|
|
|
lg y lga xlgb, |
|
|
|
|
||
где c lga, |
y lg y, |
d lgb. |
y c dx, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, задача сводится к отысканию параметров с и b уравнения |
|||||||||||
линейной регрессии. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для вычислений удобно использовать следующую таблицу. |
|
|
|||||||||
Таблица 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
Средний |
Объем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
доход, |
продаж, |
|
y'i |
Xi^2 |
Y'i^2 |
XiY'i |
Yi* |
|Yi-Yi*|/Yi |
(Yi-Yср)^2 |
(Yi-Yi*)^2 |
|
региона |
|
||||||||||
|
Xi |
Yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
11200 |
28000 |
4,447158 |
125440000 |
19,77721 |
49808,17 |
25156,38833 |
0,10155756 |
5202743,76 |
8086127,33 |
|
|
|
||||||||||
2 |
9600 |
21300 |
|
4,32838 |
92160000 |
18,73487 |
41552,44 |
22551,62677 |
0,05876182 |
19527981,9 |
1566569,57 |
|
|
|
|||||||||
3 |
8400 |
21000 |
4,322219 |
70560000 |
18,68158 |
36306,64 |
20776,62801 |
0,010636761 |
22269410,4 |
49895,0447 |
|
|
|
||||||||||
4 |
10400 |
23300 |
4,367356 |
108160000 |
19,0738 |
45420,5 |
23818,42733 |
0,0222501 |
5851791,38 |
268766,896 |
|
|
|
||||||||||
5 |
6800 |
15800 |
4,198657 |
46240000 |
17,62872 |
28550,87 |
18625,35887 |
0,178820182 |
98387505,7 |
7982652,73 |
|
|
|
||||||||||
6 |
10000 |
21900 |
4,340444 |
100000000 |
18,83946 |
43404,44 |
23176,37339 |
0,05828189 |
14585124,7 |
1629129,02 |
|
|
|
||||||||||
7 |
9600 |
20000 |
|
4,30103 |
92160000 |
18,49886 |
41289,89 |
22551,62677 |
0,127581338 |
32707505,7 |
6510799,17 |
|
|
|
8 |
10400 |
22000 |
4,342423 |
108160000 |
18,85663 |
45161,2 |
23818,42733 |
0,082655788 |
13831315,2 |
3306677,95 |
|
|
|||||||||
9 |
11200 |
23900 |
4,378398 |
125440000 |
19,17037 |
49038,06 |
25156,38833 |
0,052568549 |
3308934,24 |
1578511,63 |
|
|
|||||||||
10 |
10400 |
26000 |
4,414973 |
108160000 |
19,49199 |
45915,72 |
23818,42733 |
0,083906641 |
78934,2404 |
4759259,32 |
|
|
|||||||||
11 |
10400 |
24600 |
4,390935 |
108160000 |
19,28031 |
45665,73 |
23818,42733 |
0,031771247 |
1252267,57 |
610855,839 |
|
|
|||||||||
12 |
10000 |
21000 |
4,322219 |
100000000 |
18,68158 |
43222,19 |
23176,37339 |
0,103636828 |
22269410,4 |
4736601,12 |
|
|
|||||||||
13 |
11600 |
27000 |
4,431364 |
134560000 |
19,63698 |
51403,82 |
25853,29453 |
0,042470573 |
1640839 |
1314933,43 |
|
|
|||||||||
14 |
10400 |
21000 |
4,322219 |
108160000 |
18,68158 |
44951,08 |
23818,42733 |
0,134210825 |
22269410,4 |
7943532,61 |
|
|
|||||||||
15 |
8800 |
24000 |
4,380211 |
77440000 |
19,18625 |
38545,86 |
21352,20193 |
0,11032492 |
2955124,72 |
7010834,64 |
|
|
|||||||||
16 |
10400 |
34000 |
4,531479 |
108160000 |
20,5343 |
47127,38 |
23818,42733 |
0,29945802 |
68574172,3 |
103664422 |
|
|
|||||||||
17 |
13200 |
31900 |
4,503791 |
174240000 |
20,28413 |
59450,04 |
28839,40584 |
0,095943391 |
38204172,3 |
9367236,6 |
|
|
|||||||||
19 |
15600 |
33000 |
4,518514 |
243360000 |
20,41697 |
70488,82 |
33977,53988 |
0,029622421 |
53012267,6 |
955584,225 |
|
|
|||||||||
20 |
18400 |
35400 |
4,549003 |
338560000 |
20,69343 |
83701,66 |
41140,08237 |
0,162149219 |
93720839 |
32948545,6 |
|
|
|||||||||
21 |
14800 |
34000 |
4,531479 |
219040000 |
20,5343 |
67065,89 |
32170,41946 |
0,053811192 |
68574172,3 |
3347364,97 |
|
|
|||||||||
22 |
13600 |
31000 |
4,491362 |
184960000 |
20,17233 |
61082,52 |
29638,3425 |
0,043924436 |
27888458 |
1854111,15 |
|
|
|||||||||
Сумма |
235200 |
540100 |
92,41361 |
2,773E+09 |
406,8557 |
1039153 |
537052,6143 |
1,8843437 |
616112381 |
209492411 |
● Рассчитаем с и d, для чего воспользуемся формулами
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
cov(X,Y ) |
, |
c |
y |
dx |
, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
xi |
|
|
|
|
yi |
(xi |
|
Dx |
|
|
|
|
(yi )2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
)2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
где |
x |
, y |
|
|
|
, Dy |
|
, |
||||||||||||||||||
n |
|
, Dx |
n |
|
(x) |
|
|
|
n |
(y ) |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cov(X,Y ) xi yi xy . n
Получаем
x |
|
235200 |
11200; |
|
y |
|
|
92,41361 |
4,400648; |
Dx |
|
2,773E 09 |
-112002 |
661333, |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
21 |
21 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1039153 |
11200 4,400648 196,211, |
|
|||||||
|
|
|
|
cov(X |
,Y ) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
21 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 196,211 2,9669E-05; c 4,400648 (2,9669E-05) 11200 4,068355386.
6613333
Получим линейное уравнение:
y 4,068355386 (2,9669E-05)x.
Выполнив его потенцирование, получим:
10y 104,06835538610(2,9669E-05)x ,
y* 11704,56793 1,000068318x .
● Найдем индекс корреляции и коэффициент детерминации по формулам
|
|
r 1 |
ост |
, R2 |
r2 . |
|
|
|
общ |
|
|
||
Получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
1 |
209492411 |
|
0,81239, |
R2 0,659977. |
|
|
||||||
|
616112381 |
|
|
|
|
Полученный результат означает, что 65,9% вариации результативного |
|
|
|||||
признака (розничная продажа компьютеров, у) объясняется вариацией |
|
|
|||||
фактора х – среднедушевой денежный доход в месяц. |
|
|
|
||||
|
● Вычислим средний коэффициент эластичности по формуле |
|
|
||||
Получаем |
|
E(x) xlnb. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
E 11200*ln(1,000068318) 0,765133. |
|
|
|
|||
Коэффициент эластичности показывает, что объем продаж компьютеров |
|||||||
увеличится на 0,77% по сравнению со средним объемом продаж, если |
|||||||
среднедушевой доход увеличится на 1% от своего среднего значения. |
|
|
|||||
|
● Вычислим среднюю ошибку аппроксимации по формуле |
|
|
|
|||
|
|
A 1 |
| yi yi* |100%. |
|
|
|
|
Получаем |
n |
yi |
|
|
|
|
|
A 1 1,8843437 100% 8,97%. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
21 |
|
|
|
|
|
Качество построенной |
модели |
оценивается как |
хорошее, так |
как |
A |
не |
|
превышает 10%. |
|
|
|
|
|
|
|
|
● Построим график полученной зависимости на том же рисунке, на |
|
|||||
котором построено поле корреляции. Для этого нужно добавить ряд данных |
|||||||
xi , yi* . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Показательная регрессия y= 11705*1,000068318x |
|
|
|
|||
|
60000 |
|
|
|
|
|
|
продаж |
50000 |
|
|
|
|
|
|
40000 |
|
|
|
|
|
|
|
30000 |
|
|
|
|
|
|
|
Объем |
|
|
|
|
|
|
|
20000 |
|
|
|
|
|
|
|
10000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
5000 |
10000 |
15000 |
20000 |
|
|
|
|
Средний доход |
|
|
|
|
d. Логарифмическая парная регрессии.
Для расчета параметров a и b логарифмической парной регрессии
y a bln x
необходимо выполнить линеаризацию переменных. Линеаризация производится путем замены x ln x:
y a bx .
Таким образом, задача сводится к отысканию параметров a и b уравнения линейной регрессии.
Для вычислений удобно использовать следующую таблицу.
Таблица 5.
№ |
Средний |
Объем |
X'i |
X'i^2 |
Yi^2 |
X'iYi |
Yi* |
|Yi-Yi*|/Yi |
(Yi-Yср)^2 |
(Yi-Yi*)^2 |
|
доход, |
продаж, |
||||||||||
региона |
|||||||||||
|
Xi |
Yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
11200 |
28000 |
9,323669 |
86,9308 |
784000000 |
261062,7 |
26237,742 |
0,062937783 |
5202743,76 |
3105552,97 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
9600 |
21300 |
9,169518 |
84,08007 |
453690000 |
195310,7 |
22928,416 |
0,076451462 |
19527981,9 |
2651739,15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
8400 |
21000 |
9,035987 |
81,64906 |
441000000 |
189755,7 |
20061,748 |
0,044678684 |
22269410,4 |
880317,507 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
10400 |
23300 |
9,249561 |
85,55438 |
542890000 |
215514,8 |
24646,783 |
0,057801843 |
5851791,38 |
1813824,28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
6800 |
15800 |
8,824678 |
77,87494 |
249640000 |
139429,9 |
15525,338 |
0,017383685 |
98387505,7 |
75439,3399 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
10000 |
21900 |
9,21034 |
84,83037 |
479610000 |
201706,5 |
23804,788 |
0,086976612 |
14585124,7 |
3628216,55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
9600 |
20000 |
9,169518 |
84,08007 |
400000000 |
183390,4 |
22928,416 |
0,146420807 |
32707505,7 |
8575621,14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
10400 |
22000 |
9,249561 |
85,55438 |
484000000 |
203490,3 |
24646,783 |
0,120308315 |
13831315,2 |
7005459,91 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
11200 |
23900 |
9,323669 |
86,9308 |
571210000 |
222835,7 |
26237,742 |
0,097813476 |
3308934,24 |
5465038,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
10400 |
26000 |
9,249561 |
85,55438 |
676000000 |
240488,6 |
24646,783 |
0,05204681 |
78934,2404 |
1831196,42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
10400 |
24600 |
9,249561 |
85,55438 |
605160000 |
227539,2 |
24646,783 |
0,001901745 |
1252267,57 |
2188,64304 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
10000 |
21000 |
9,21034 |
84,83037 |
441000000 |
193417,1 |
23804,788 |
0,133561324 |
22269410,4 |
7866834,58 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
11600 |
27000 |
9,35876 |
87,5864 |
729000000 |
252686,5 |
26991,087 |
0,000330115 |
1640839 |
79,4434561 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
10400 |
21000 |
9,249561 |
85,55438 |
441000000 |
194240,8 |
24646,783 |
0,17365633 |
22269410,4 |
13299025,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
8800 |
24000 |
9,082507 |
82,49193 |
576000000 |
217980,2 |
21060,445 |
0,122481454 |
2955124,72 |
8640982,99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
10400 |
34000 |
9,249561 |
85,55438 |
1156000000 |
314485,1 |
24646,783 |
0,27509462 |
68574172,3 |
87482669,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
13200 |
31900 |
9,487972 |
90,02161 |
1017610000 |
302666,3 |
29765,02 |
0,066927261 |
38204172,3 |
4558137,94 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
15600 |
33000 |
9,655026 |
93,21953 |
1089000000 |
318615,9 |
33351,358 |
0,010647219 |
53012267,6 |
123452,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
18400 |
35400 |
9,820106 |
96,43448 |
1253160000 |
347631,8 |
36895,311 |
0,042240418 |
93720839 |
2235954,39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
14800 |
34000 |
9,602382 |
92,20575 |
1156000000 |
326481 |
32221,196 |
0,052317764 |
68574172,3 |
3164143,62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
13600 |
31000 |
9,517825 |
90,58899 |
961000000 |
295052,6 |
30405,908 |
0,019164274 |
27888458 |
352945,888 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
235200 |
540100 |
195,2897 |
1817,081 |
14506970000 |
1,05E+08 |
540100 |
1,661142002 |
616112381 |
162758821 |
● Рассчитаем a и b, для чего воспользуемся формулами
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
cov(X ,Y) |
, a |
y |
bx |
, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
xi |
|
|
yi |
|
|
(xi )2 |
Dx |
|
|
|
|
(yi |
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
, Dx |
|
|
|
|
2 |
, Dy |
|
)2 |
|
|
2 |
, |
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
n |
, y |
|
n |
n |
(x ) |
|
|
n |
(y) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
xi yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
cov(X |
,Y) |
|
|
|
x y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n
Получаем