Прикл мех

ДИНАМІКА

Динаміка - це розділ теоретичної механіки, в ѐкому вивчаятьсѐ закони руху матеріальних тіл в залежності від діячих на них сил.

Основні закони динаміки

(закони Галілеѐ-Ньятона).

1. Закон про інерцію (І закон Галілеѐ).

Матеріальна точка зберігаю стан спокоя або рівномірного прѐмолінійного руху до того часу, поки прикладені сили не змінѐть цей стан.

Інертність - намаганнѐ тіла зберігати незмінноя швидкість свого руху, тобто зберігати отриманий раніш механічний рух.

Рух, ѐкий створяю точка при відсутності сил, називаютьсѐ рухом за інерцією. Інерційними системами відліку (умовно нерухомими) називаять - системи відліку,

відносно ѐких відбуваютьсѐ рух тіл з плином часу і виконуютьсѐ закон інерції.

2. Закон пропорційності сили та прискорення (основний закон динаміки).

Прискореннѐ матеріальної точки пропорційне прикладеній силі і маю однаковий з нея напрѐмок.

F m a

Кількісноя міроя інертності матеріальної точки та тіла при поступальному русі ю її маса ( m ). Одиницея виміряваннѐ маси ю 1 кг.

Міроя інертності тіла при обертальному русі ю момент інерції J Z .

Момент інерції тіла відносно осі J Z (осьовий момент інерції) – скалѐрна величина, ѐка дорівняю сумі добутків мас всіх точок тіла (системи) на квадрати їх відстаней i до осі:

k

J Z (mn in2 ) ,

n 1

де i - радіус інерції тіла або точки тіла - відстань від точки до осі обертаннѐ.

Одиницея виміряваннѐ моменту інерції вважаять (кг м2).

3. Закон рівняння дії та протидії.

Кожній дії відповідаю рівна за модулем та протилежна за напрѐмком протидіѐ.

Диференційні рівняння вільної матеріальної точки.

Основне рівняння динаміки для системи сил:

m a F1 F2 ... Fn

Диференційні рівняння руху матеріальної точки:

F1X , F1Y , F1Z , F2 X , F2Y , F2 z ....Fnx , Fny , Fnz - проекції сил F1 , F2 ,...Fn на координатні осі.

Дві задачі динаміки точки.

Перша задача динаміки (пряма).

Знаючи масу точки m та рівнѐннѐ її руху x f1 (t) , y f2 (t) , z f3 (t) , Визначити модуль і напрѐмок рівнодійної сил, прикладених до точки.

Рішення першої задачі динаміки проводитьсѐ методом подвійного диференціяваннѐ рівнѐнь руху за часом.

Диференційні рівнѐннѐ руху точки:

k

m x Fnx FX ,

n 1

k

m y Fny Fy ,

n 1

k

m z Fnz Fz

n 1

Модуль рівнодійної

F Fx2 Fy2 Fz2

Напрѐмок рівнодійної:

Друга задача динаміки (обернена, основна).

Знаючи масу точки m , сили, що діять на точку, а також початкове положеннѐ ( X 0 ,Y0 , Z0 ) і

початкову швидкість ( X 0 ,Y 0 , Z0 ),

Визначити закон руху x f1 (t) , y f2 (t) , z f3 (t)

Рішення другої задачі динаміки здійсняютьсѐ методом інтегруваннѐ (подвійного за часом) диференційних рівнѐнь при відомих початкових умовах.

1. Складаннѐ диференційних рівнѐнь в виглѐді (3.3) в залежності:

m x FX (t, x, y, z, x , y , z ) m y FY (t, x, y, z, x , y , z ) m z FZ (t, x, y, z, x , y , z )

2.Інтегруваннѐ диференційних рівнѐнь руху двічі за часом.

3.Визначеннѐ постійних інтегруваннѐ за початковими умовами:

t0, x x0 , y y0 , z z0 , x x0 , y y0 , z z0

4.Отриманнѐ рівнѐнь руху точки:

x f1 x f (t, x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0 )

Динаміка твердого тіла

Механічною системою матеріальних точок або тіл називаютьсѐ така їх сукупність, в ѐкій положеннѐ та рух кожної точки (або тіла) залежить від положеннѐ та руху решти.

Матеріальне тіло розглѐдаютьсѐ, ѐк система матеріальних точок (часток), ѐкі утворяять це тіло.

Класифікація сил, діючих на механічну систему.

e

Зовнішніми F n називаять такі сили, ѐкі діять на точки або тіла механічної системи з боку точок або тіл, ѐкі не належать даній системі.

i

Внутрішніми F n , називаять такі сили, ѐкі діять на точки або тіла механічної системи з боку точок або тіл тіюї ж системи, тобто з ѐкими точки або тіла даної системи взаюмодіять між собоя.

Зовнішні та внутрішні сили системи, в своя чергу можуть бути активними та реактивними.

Властивості внутрішніх сил.

1) Геометрична сума (головний вектор) всіх внутрішніх сил системи дорівняю нуля

k

Fni 0

n 1

2)Сума моментів (головний вектор) всіх внутрішніх сил системи відносно будь – ѐкого центра або осі дорівняю нуля

k

M O (Fni ) 0

n 1

Маса системи. Центр мас.

Маса системи дорівняю алгебраїчній сумі мас всіх точок або тіл системи

k

M mn ,

n 1

де М – маса механічної системи,

mn - маса n - точки системи.

В однорідному полі тѐжіннѐ, длѐ ѐкого g const , вага будь – ѐкої частки тіла пропорційна її масі. Тому розподіл мас у тілі можна визначити за положеннѐм його центра ваги – геометричної точки С( X C ,YC , ZC ), координати ѐкої визначаять за формулами (1.45), та називаять центром мас

або центром інерції механічної системи:

Положеннѐ центра мас може визначити його радіус – вектором rC :

k

mn rn

Диференційні рівняння руху механічної системи.

Система n - матеріальних точок М1, М2,..М n , маса кожної точки відповідно mn , знаходитьсѐ

Загальні теореми динаміки

Теорема про рух центру мас механічної системи.

Теорема: центр мас механічної системи рухаютьсѐ ѐк матеріальна точка, маса ѐкої дорівняю масі системи, до ѐкої прикладені всі зовнішні сили, ѐкі діять на систему.

Висновки:

Механічну систему або тверде тіло можна розглѐдати ѐк матеріальну точку в залежності від характеру її руху, а не від її розмірів.

Внутрішні сили не враховуятьсѐ теоремоя про рух центру мас.

Теорема про рух центру мас не характеризую обертальний рух механічної системи, а тільки поступальний

Теорема про зміну кількості руху.

Кількість руху матеріальної точки – векторна величина (m V ) , ѐка дорівняю добутку маси

точки на вектор її швидкості.

Одиницея виміряваннѐ кількості руху ю (кг м/с).

Кількість руху механічної системи – векторна величина K , що дорівняю геометричній сумі (головному вектору) кількостей руху всіх точок системи.

k

Q mn Vn

n 1

або кількість руху системи дорівняю добутку маси всіюї системи на швидкість її центру мас

Q M VC

Коли тіло (або система) рухаютьсѐ так, що її центр мас нерухомий VC 0 , то кількість руху тіла дорівняю нуля Q 0 (приклад, обертаннѐ тіла навколо нерухомої осі, що проходить через центр мас тіла).

Якщо рух тіла складний, то Q не буде характеризувати обертальну частину руху при обертанні навколо центру мас. Тобто, кількість руху Q характеризує тільки поступальний рух системи (разом з центром мас).

Імпульс сили характеризую дія сили за деѐкий проміжок часу.

Імпульс S сили F за кінцевий проміжок часу t1 визначаютьсѐ ѐк інтегральна сума відповідних елементарних імпульсів

t1

S F dt

0

Проекції імпульсу сили на осі координат:

Одиницея виміряваннѐ імпульсу сили ю ( кг м ).

с

Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки

(в диференціальній формі):

Похідна за часом від кількості руху матеріальної точки дорівняю геометричній сумі діячих на точки сил.

Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки

(в інтегральній формі):

Зміна кількості руху матеріальної точки за деѐкий проміжок часу дорівняю геометричній сумі імпульсів сил, прикладених до точки за той же проміжок часу.

k

mV1 mV0 Sn

n1

Теорема про зміну кількості руху механічної системи

(в диференціальній формі):

Похідна за часом від кількості руху системи дорівняю геометричній сумі всіх діячих на систему зовнішніх сил.

dQ k F e n dt n1

Теорема про зміну кількості руху механічної системи

(в інтегральній формі):

Зміна кількості руху системи за деѐкий проміжок часу дорівняю геометричній сумі імпульсів, діячих на систему зовнішніх сил, за той же проміжок часу.

k

Q1 Q0 S e n

n1

Закон збереження кількості руху системи.

1.Якщо сума всіх зовнішніх сил, діячих на систему, дорівняю нуля, то вектор кількості руху системи буде постійним за напрѐмком та за модулем.

2.Якщо сума проекцій всіх діячих зовнішніх сил на будь – ѐка довільну вісь дорівняю нуля, то проекціѐ кількості руху на ця вісь ю величиноя постійноя.

Закони збереженнѐ свідчать, що внутрішні сили не можуть змінити сумарну кількість руху системи.